□張偉華 郜舒竹

我國小學數(shù)學課程中，“概率”也叫作“可能性”。已有研究表明，學生在概率這一內容的學習過程中容易出現(xiàn)一些常見錯誤，其原因是這一內容會呈現(xiàn)出反直覺（Counter Intuitive）特征，這與學習者所習慣的直覺規(guī)律（Intuitive Rule）是相悖的。

一、什么是直覺規(guī)律

直覺規(guī)律是人們在看待問題時所遵循的，具有普遍性的直覺思維方式。通過研究學生的直覺規(guī)律，可以解釋學生在數(shù)學學習中發(fā)生常見錯誤的原因。斯塔維和帝羅什等人在對學生直覺的研究中，提出了“越—越”（More-More）直覺規(guī)律。在比較兩個事物時，會因為事物在A量上的不同（A1＞A2),導致在比較另一個B 量時，出現(xiàn)B1＞B2 的判斷。[1]例如在圖1 中，比較兩條線段的長度時，直覺上會認為上面線段的長度更長，理由是上面線段的總長度看起來更長，所以這條線段也就更長。

圖1 線段的比較

皮亞杰在對學生直覺的研究中也對學生做過類似的實驗。如圖2 所示，現(xiàn)在有上、下兩排小圓圈，問哪排圓圈個數(shù)比較多？有學生發(fā)現(xiàn)兩排圓圈排列長度不一樣，就認為長度比較長的圓圈個數(shù)多，出現(xiàn)了“長度越長，個數(shù)越多”的誤解。

圖2 個數(shù)的比較

皮亞杰還發(fā)現(xiàn)，4 到9 歲的兒童在判斷時間跨度問題時，會認為更快的事件用的時間更多。這表明，當兩個動作產(chǎn)生不同的量時，孩子會認為產(chǎn)生更多量的事件用的時間越長。比如，有兩輛不同速度的玩具車，兒童會認為跑得快的車用的時間多。誤以為速度越大，花費的時間越多；或誤以為距離越長，花費的時間越多。皮亞杰對此解釋為：當比較兩個持續(xù)時間時，孩子們常常只根據(jù)兩個相關因素之一——速度或距離來進行判斷，因為幼兒無法協(xié)調所涉及的各種變量，通常是根據(jù)其中一個變量來確定時間。[2]

類似的還有“同—同”（Same-Same）直覺規(guī)律。在比較兩個事物時，會因為事物在A 量上相同（A1=A2），導致在比較另一個B 量時，出現(xiàn)B1=B2 的判斷。[3]例如，斯塔維等人對學生做過這樣一個測試：有兩個杯子，其中，一個杯子有半杯水，另一個杯子有一杯水，在這兩個杯子中都加入一勺糖，問哪個杯子里的水比較甜？有很多學生都認為兩杯水一樣甜，原因是學生覺得加入的糖是相同的，所以水的甜度也是相同的。實際上，水少的那杯會比較甜，學生沒有考慮水的多少，只是認為糖一樣多就一樣甜。學生出現(xiàn)這種錯誤的原因就是遵循了“同—同”直覺規(guī)律，產(chǎn)生了“同樣多的糖—同樣甜”的誤解。

斯塔維等人在研究中發(fā)現(xiàn)，當學生被問到兩個事物中B1和B2的大小或性質時，很容易受到另一個A量的影響，做出錯誤的回答。例如在圖3中，有一個長方形甲，將它的長擴大3 倍，寬縮短3 倍，變成長方形乙。當問學生如何判斷甲、乙兩個長方形的周長大小關系時，多數(shù)學生會認為長乘3，寬除以3，都是3倍的關系，所以相互抵消，從而出現(xiàn)甲、乙兩個長方形周長相等的錯誤判斷。[4]學生在解答這個問題時出現(xiàn)錯誤的原因也是遵循了“同—同”直覺規(guī)律，產(chǎn)生了“同樣變化3 倍—同樣周長”的誤解。

圖3 周長的判斷

除此之外，還有“不同—不同”直覺規(guī)律。例如拋一枚硬幣三次，出現(xiàn)一次正面向上的可能性和兩次正面向上的可能性是否相同？有學生會認為不同。因為一次和兩次不同，所以一次向上和兩次向上的可能性也不同。實際上，這兩種結果的可能性是相同的，學生可以通過分數(shù)乘法計算出結果，也可以通過分析正、反面向上的情況來得出結論。

二、直覺規(guī)律的特征

斯塔維和帝羅什在研究中發(fā)現(xiàn)，直覺規(guī)律具有“自信性（confidence）”“頑固性（perseverance）”“整體性（globality）”“強制性（coerciveness）”“可預見性（predictive power）”等特點。對于很多問題，學生只是根據(jù)事物的表面特征來判斷，他們會對自己看到的事物深信不疑，這種自信往往會造成他們在判斷問題時產(chǎn)生誤解。[5]而且在一些問題中，即使學生知道了正確答案，還會堅持自己的想法。直覺規(guī)律的強制性體現(xiàn)于學生在日常的生活和學習中，會根據(jù)已有的生活、學習經(jīng)驗不斷認可自己的直覺規(guī)律，面對新的學習任務時，習慣性地使用這種規(guī)律，就很容易出現(xiàn)錯誤。直覺規(guī)律的整體性是指學生對任務的認知方式，學生關注任務本身的整體特征，通過直接感知事物特征得出結論，而不是通過邏輯分析來進行判斷。此外，直覺規(guī)律還具有很強的預測能力。教師在了解學生直覺規(guī)律的特點后，能夠從學生的思維層面了解他們在數(shù)學學習中的誤解，可以預見學生的判斷。教師可以在學生產(chǎn)生類似的誤解前，通過合適的教學方式來預防學生出現(xiàn)同樣的錯誤，從而能夠利用學生的誤解來改善教學。

三、直覺規(guī)律與概率學習中誤解的關系分析

在對學生的測試中，菲茨拜因發(fā)現(xiàn)，學生常常因為遵循直覺來判斷問題導致出現(xiàn)誤解。因此，他在研究中設計了很多有關概率內容的測試，目的是調查學生在概率問題中出現(xiàn)的直覺思維。比如在經(jīng)典的摸球實驗中，他給學生出示甲、乙兩個盒子，其中，甲盒子中有1個白色彈球和3個黑色彈球，乙盒子中有2 個白色彈球和6 個黑色彈球，問學生哪個盒子更容易摸到黑球？調查發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學生選擇了乙盒子，因為乙盒子中有更多的黑球。學生會認為在黑色彈球更多的盒子中拿到黑球的機會更大，而沒有考慮白球的影響。這說明對于小學生而言，絕對的“量”的多少對于偶然事件的概率是決定性的。學生出現(xiàn)這種思維符合直覺規(guī)律中的“越—越”規(guī)律，認為黑色彈球越多的盒子，從中摸到黑色彈球的可能性越大。

皮亞杰和伊勒海德對學生的概率理解做過全面的研究。兒童對概率的認識主要經(jīng)歷三個階段。一是前運算階段（7～8 歲之前），兒童不能區(qū)分因果事件和隨機事件，他們認為沒發(fā)生的事件更有可能發(fā)生。二是具體運算階段（7、8歲～12歲左右），兒童能區(qū)分必然事件、可能事件和不可能事件，開始明白概率是有大小的，但還不能具體計算出來。對于不放回的實驗，兒童經(jīng)常忽略整體的變化，沒有考慮到整體與個體的比例是變化的。最后是形式運算階段（12 歲左右開始），兒童能將邏輯和隨機概念統(tǒng)合起來，對一些復雜概率問題能做出判斷，并能準確計算一些問題的可能性大小。[6]

皮亞杰和伊勒海德做過一個摸球實驗：有兩個一樣的袋子，里面分別放著數(shù)目不等的黑球和白球，現(xiàn)要從中取出黑球，問選擇哪個袋子更容易摸到。經(jīng)過測試他們發(fā)現(xiàn)：處于具體運算階段的兒童往往只是考慮顏色球的數(shù)量，而忽視了所有顏色球的總數(shù)。例如，大多數(shù)兒童只是考慮哪個袋子中的黑球比較多，而沒有考慮到總的球數(shù)有多少，也就是沒有考慮其他因素的影響。處于形式運算階段的兒童能明白部分和整體的關系，這是理解概率知識的基礎，他們能夠計算一些簡單隨機事件的概率并用分數(shù)表示，例如他們能用分數(shù)表示出黑球占總球數(shù)的幾分之幾，再進行比較。

格林在對學生比較概率大小的研究中做過類似的摸球實驗：從兩個袋子中取出某一種顏色的球，問選擇哪個袋子更有利。通過改變兩袋中不同顏色球的比例，來了解學生的想法。通過實驗，他總結了學生常見的幾種選擇策略：一是選擇小球總數(shù)多的那個袋子；二是選擇目標顏色球數(shù)量多的袋子；三是選擇不同顏色球數(shù)量差大的袋子；四是選擇不同顏色球數(shù)量之比大的袋子。[7]這四種策略體現(xiàn)了學生四種不同的想法，而且都可以用直覺規(guī)律中的“越—越”規(guī)律來解釋。

以色列學者斯塔維、帝羅什等人重點研究了學生在數(shù)學問題中遵循的直覺規(guī)律。為了了解學生在概率中的錯誤原因，他們同樣設計了摸球實驗，經(jīng)過調查發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學生選擇了目標顏色球更多的箱子。對此，他們的解釋為學生遵循了“越—越”直覺規(guī)律，誤以為黑球越多摸到的可能性越大。[8]在此實驗的基礎上，斯塔維、帝羅什和魯文（Reuven Babai）又設計了兩組摸球實驗。其中一組實驗與上述的摸球實驗類似，在黑球多的盒子中摸到黑球的可能性并不高，學生同樣容易出現(xiàn)“越—越”直覺的錯誤；另一組實驗與之相反，在黑球多的盒子中摸到黑球的可能性大。這個對比實驗的目的是既解釋了學生容易出現(xiàn)的直覺規(guī)律誤解，還研究了反應的準確性與反應時間的關系。當直覺規(guī)律與實驗結果相符時，學生的反應準確率高，反應時間更短。[9]

英國學者彼得·布萊恩特和努涅斯在“兒童對概率的理解”文章中針對15 歲的學生設計了類似的摸球實驗，目的是研究高年級學生對概率的理解。結果發(fā)現(xiàn)多數(shù)15 歲的學生都做出了錯誤的選擇。研究者認為孩子出現(xiàn)錯誤是因為忽略了白球與黑球比例的關系，如果能考慮到比例的問題，就會更好地理解概率。[10]由此可見，摸球問題不僅在低年級學生中容易出現(xiàn)錯誤，在較高年級的學生中也會出現(xiàn)錯誤。這說明，學生在概率問題中容易忽視比例的影響，依據(jù)直覺選擇了目標球數(shù)量多的袋子，從而出現(xiàn)了符合“越—越”直覺規(guī)律思維的錯誤。

學生在概率問題中除了出現(xiàn)上述的直覺規(guī)律外，“等可能性”偏見也是概率中的主要錯誤之一。等可能性在擲骰子、拋硬幣等游戲中很常見，表示一次試驗中每一種結果發(fā)生的可能性都相等，兒童就會自然地認為類似的隨機事件可能性都是相等的。勒庫特等人在研究中設計了一個擲骰子問題：同時拋兩顆標準的骰子，出現(xiàn)一個5 和一個6 的可能性大，還是出現(xiàn)兩個6 的可能性大？他們發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學生認為兩種結果的可能性一樣大。有些學生給出的理由是：假設一顆骰子已經(jīng)擲出了6，那么另一顆骰子出現(xiàn)5 和6 的機會是一樣大的，所以擲出一個5一個6和兩個6的可能性相同。有些學生直接認為擲一顆骰子出現(xiàn)5 和6 的可能性一樣，都是六分之一，在兩顆一樣的骰子中出現(xiàn)5 和6 的機會都是一樣的。還有些學生認為這類隨機事件的可能性是相等的，出現(xiàn)哪種結果完全靠運氣。[11]這幾種學生所出現(xiàn)的思維都符合“同—同”直覺規(guī)律，即點數(shù)5和6的可能性相同—出現(xiàn)一個5一個6和兩個6的可能性相同，或同樣是隨機事件—發(fā)生的可能性是相同的。

關于學生錯誤理解概率的研究中，克諾德發(fā)現(xiàn)：有些學生會將可能性很大看作必然發(fā)生，可能性很小看作必然不發(fā)生，50%可能性看作不知道或不能確定。他將這種錯誤現(xiàn)象定義為“預言結果法”。[12]這種錯誤的特點是，學生將概率看作一種預測，在每次試驗結束后會判斷說某一概率是對了還是錯了。比如，某些學生會認為80%的機會下雨的意思就是將要下雨。出現(xiàn)“預言結果法”錯誤理解的學生會因為日常生活中出現(xiàn)的現(xiàn)象是確定的，比如某一天能確定到底下沒下雨，如果下雨，那么下雨的可能性就很大；如果沒下雨，下雨的可能性就很小，而把已經(jīng)確定的現(xiàn)象和概率聯(lián)系在一起，但如果把這種“經(jīng)驗”用到還沒發(fā)生的事情上，也就必然會出現(xiàn)對問題的誤解。

除了“越—越”直覺規(guī)律，學生是否會出現(xiàn)其他的直覺規(guī)律呢？如圖4 所示，在一個摸球游戲中，一個箱子中有兩個白球、三個黑球，現(xiàn)在向箱子中再放入兩個白球和兩個黑球，問：現(xiàn)在從箱子中摸到黑球的可能性相對之前怎么變化？

圖4 摸球游戲

通過對學生直覺規(guī)律的研究，可以做出這樣的推測：學生可能會認為可能性不變，因為放入的白球個數(shù)和黑球個數(shù)相同，根據(jù)“同—同”直覺規(guī)律，放入同樣多的球，摸球的可能性不變。可能還有部分學生認為摸到黑球的可能性變大，因為黑球的數(shù)量增加了，根據(jù)“越—越”直覺規(guī)律，黑球越多，摸到黑球的可能性越大。