2蔡敢為

(1.廣西大學機械工程學院， 廣西南寧530004；2.柳州鐵道職業(yè)技術學院汽車技術學院， 廣西柳州545616)

0 引言

當并聯(lián)機構處于奇異位形時，機構的雅可比矩陣行列式的值為零或雅可比矩陣的秩不為滿秩，導致機構無法有效地在該位形下傳遞動力與運動，使得機構處于失常狀態(tài)，所以對并聯(lián)機構進行奇異位形的研究是學者們廣泛討論的熱點，并取得了較好的研究成果。Lu等[1-3]對一種2R1T型的3-UPU并聯(lián)機構用雅可比矩陣法分析其奇異性；吳鑫等[4]對2T1R并聯(lián)機構進行了位置及奇異性分析；Qin等[5]對2U+UPS非對稱并聯(lián)機構進行了構態(tài)與驅(qū)動分析；Gan等[6-7]對一種2T2R型的2RPS-2UPS的并聯(lián)機構進行了奇異性分析；YE等[8]分析了一類支鏈可重構并聯(lián)機構的動態(tài)變化過程；吳金波等[9]分析了一種1T2R的3-UPU并聯(lián)機構奇異性；Xu等[10]設計了一種多級有序可展并聯(lián)機構并對其進行了分析；柴馨雪等[11]根據(jù)2-UPR-RPU并聯(lián)機構的雅可比矩陣求出了該機構的三類運動學奇異位形；杜晴晴等[12]利用3-PRRS六自由度并聯(lián)機構速度的輸入輸出關系分析了該機構的邊界奇異并推導出位形奇異軌跡的解析式；殷開明等[13]根據(jù)4-SPS/SP并聯(lián)機構的運動學和動力學分析結果得到了該機構的降維運動學和靜力學奇異位形曲線并進行分析；曹永剛等[14]尋找到了一種間接表征6-RSS型并聯(lián)機構奇異位形空間分布的方法；劉知輝等[15]定義了雅克比矩陣轉置矩陣的∞-范數(shù)的指標來求取并分析了3-CRR型并聯(lián)機構的奇異性。

從以上研究成果可看出，極少學者對三分支類型的并聯(lián)機構進行奇異性分析，尤其是奇異軌跡的分析，目前尚未見到對三分支且各分支類型可相互轉換的六自由度可重構并聯(lián)機構進行奇異性分析。因此，本文以新型六自由度可重構并聯(lián)機構為研究對象，先建立機構的位置反解方程，然后對其求導，最后分別對其雅可比矩陣行列式進行討論，以得到機構在奇異時的奇異軌跡與奇異位形。

1 機構的運動學反解

本研究工作以一種新型六自由度可重構并聯(lián)機構為研究對象，對其進行奇異性分析。該機構的三條分支均由一長桿和一滾珠絲杠組成，當三條分支的長桿與滾珠絲杠分別平行時，滾珠絲杠滑塊滑動，機構為3-SPS結構，此為構型一；當任意兩條分支的長桿與滾珠絲杠分別平行，其余一條分支的滾珠絲杠滑塊固定在末端位置，且其長桿相對滑塊轉動時，該機構為2-SPS-SRS結構，此為構型二；當任意兩條分支的滾珠絲杠滑塊固定在末端位置，長桿分別相對滑塊轉動，其余一條分支的長桿相對滾珠絲杠平行時，該機構為2-SRS-SPS結構，此為構型三；當三條分支的滾珠絲杠滑塊均固定于末端位置，長桿相對絲杠滑塊轉動時，該機構為3-SRS結構，此為構型四。圖1所示為4種構型轉換示意圖。

(a) 3-SPS(b) 2-SPS-SRS(c) 2-SRS-SPS (d) 3-SRS

分別在SPS分支與SRS分支上建立機構分支的局部坐標系Oij-XijYijZij(i=1,2,3;j=1,2,3,4)，其中,i表示第i分支，j表示分支中第j個轉動副軸線，該坐標建立在各個轉動副軸線的交點上,Zij為轉動副軸線方向，Xi1的方向垂直于Zi1與Zi2，Xi2的方向垂直于Zi2與Zi3，Xi3的方向垂直于Zi3與Zi4，θi1為Xi0與Xi1的夾角，θi2為Xi1與Xi2的夾角，θi3為Xi2與Xi3的夾角，θi4為BiCi與Xi4的夾角；在動平臺建立動坐標系O5-X5Y5Z5，其中，X指向驅(qū)動電機方向，Z垂直于動平臺，則Y的方向由由右手定則判定；在定平臺建立基坐標系O-XYZ，其中，X指向驅(qū)動電機方向，Z垂直于基座，則Y的方向由由右手定則判定。定平臺的等邊三角形外接圓半徑為R，動平臺的正三角形外接圓半徑為r，其中，Ai(i=1,2,3)分別為與定平臺相連的各個復合球鉸的中心點，Bi(i=1,2,3)分別為各個分支中間轉動副的中心點，Ci(i=1,2,3)分別為與動平臺相連的復合球鉸的中心點。坐標系的建立分別如圖2、圖3和圖4所示。其中，當分支為SPS時(如圖2所示)，Li為分支的移動副移動距離，當分支為SRS時(如圖3所示)，li1與li2分別為連桿一的長度與連桿二的長度。

圖2 SPS分支坐標系建立
Fig.2 SPS branch coordinate system established

圖3 SRS分支坐標系建立
Fig.3 SRS branch coordinate system established

圖4 總體坐標系建立Fig.4 Overall coordinate system is established

動平臺上任意一點相對于定平臺的位姿矩陣[16]為：

(1)

動平臺在定平臺上的坐標轉換表達式為：

S=TS′，

(2)

因此，可求得分支為SPS時的位置反解參數(shù)θi1與Li分別為：

(3)

分支為SRS時，反解參數(shù)θi1、θi2與θi4的約束方程可表示為：

(4)

其中，Aij(i=1,2,3;j=1,2,3)為關于機構本身的尺寸與位姿參數(shù)，sij=sinθij，cij=cosθij,j=1,2,3。

通過結式消元法，式(4)可化為：

(5)

通過對式(5)的求解便可求出分支為SRS時的所有反解參數(shù)。

2 機構雅可比矩陣的建立

對機構的SPS分支的位置反解方程進行求導，可得：

(6)

對機構的SRS分支的位置反解方程進行求導，可得：

(7)

將以上對各分支位置反解方程求導所得的方程進行組合，即可得到機構的任意構型下的雅可比矩陣，可統(tǒng)一表示為：

(8)

除了3-SPS構型的輸出雅可比矩陣J1為方陣以外，其他構型的輸出雅可比矩陣J1都不為方陣，所有構型的輸入雅可比矩陣J2都為方陣。

3 機構的逆向奇異分析

逆向奇異是對雅可比矩陣J2進行分析。由于所有的J2均為方陣，所以可直接用雅可比法對其行列式進行直接求解。

當機構支鏈類型為SPS時，令det(J2)=0，可得：

-2Li[(ki1cηi+ki2sηi)si1+ki3ci1]=0，

(9)

圖5 Ci奇異時的運動軌跡Fig.5 Ci singular trajectory

此時可分三種情形討論。

情形一：由于Li為連桿二相對連桿一的滑動長度，即AiCi的長度，其不可能為零，因此可排除。

情形二： 當θi1=0與ki3=0時，有det(J2)=0，在物理意義上為Ci點在Z=0的平面上，但是當θi1=0時，只有當θi2=0或θi2=-π時，Ci點才可能在Z=0的平面上，θi1與θi2不能同時滿足上述角度關系，這種情形可以排除。

當θi1=±π/2和ki1cηi+ki2sηi=0時，也有det(J2)=0，此時Ci點在如圖5所示的直線上運動，機構處于逆向奇異。

此時SPS分支對應的位姿關系如圖6所示。

(a) i=1時的位姿關系圖 (b) i=2時的位姿關系圖 (c) i=3時的位姿關系圖

情形三：如果{θi1<|π/2|}∪{θi1≠0}，有：

(10)

結合式(3)可推出：

(11)

式(11)明顯不成立，因此，此情形可排除。

當機構支鏈類型為SRS時，令det(J2)=0，有：

(12)

其中，Hi(i=1～6)為與θi1、θi2、Ai1、Ai2、Ai3相關的參數(shù)，并且存在如式(13)的關系，即:

(13)

此時同樣可分三種情形討論。

情形一：當θi2=0或θi2=-π時，由式(12)可得det(J2)=0，此時連桿AiBi與Z=0位于同一平面上。

情形三：當-π<θi2<0時，可分四種情況討論。

圖7 Ci奇異時的運動軌跡Fig.7 Ci singular trajectory

情況1：當θi1=0時，如果Ai3=0則可推出det(J2)=0，此時在物理意義上可得Ci點位于Z=0的平面上時，機構才處于邊界奇異。但是當θi1=0時，只有θi2=0或θi2=-π時，才可得到Ci點位于Z=0的平面上這一結論，這與-π<θi2<0所給區(qū)間并不符合，因此可排除。

此時SRS分支對應的位姿關系如圖8所示。

(a) i=1時的位姿關系圖 (b) i=2時的位姿關系圖 (c) i=3時的位姿關系圖

情況3：如果Ai2與Ai3同時為零時，也可得到det(J2)=0，這種情況與情形二的結論一樣，此時該分支對應的位姿關系如圖9所示。

(a) i=1時的位姿關系圖 (b) i=2時的位姿關系圖 (c) i=3時的位姿關系圖

情況4：如果Ai1與Ai2與Ai3的值都等于零，也可推出det(J2)=0，此時Ci點與Ai點重合在一起，此種情況只有當AiBi桿與BiCi桿相互重合時才會發(fā)生，因此，只要保證兩桿在運動中不重合在一起，則該情況可排除。

綜上所述，機構分支在運動過程中處于邊界奇異的位形圖，如圖10所示。

(d) SRS結構Ai2與Ai3同時為零的邊界位形

圖10 機構分支邊界奇異圖
Fig.10 Institutional branch boundary singularity

4 機構的正向奇異分析

機構正向奇異是對雅可比矩陣J1進行分析，當det(J1)=0時，在物理意義上，當機構處于正向運動學奇異時，即使鎖住所有的驅(qū)動電機，動平臺依然會存在一個不可控制的運動，即多出了一個自由度。因為該機構只有在構型一時其雅可比矩陣J1為方陣，因此，可直接采取雅可比法進行求解，但是對于構型二、構型三和構型四來說，其雅可比矩陣并不為方陣，當并聯(lián)機構動平臺上3個點的速度法平面的交點落在該三點所組成的平面上時，即使將所有驅(qū)動副剛化，動平臺也會存在一個不可控制的自由度。所以這里對構型一采用雅可比法分析，對構型二、構型三、構型四采取機構奇異定理分析。

當機構為構型一時，令det(J1)=0，可得：

f(θi1,α,β,γ,X,Y,Z)=0，

(14)

將SPS分支的運動學反解式(3)代入到式(14)當中，可得：

f(α,β,γ,X,Y,Z)=0，

(15)

圖11 構型一在(0,0,0)下的奇異軌跡Fig.11 A singular trajectory under (0,0,0)

構型一在姿態(tài)角為(0,0,0)時的奇異軌跡如圖11所示。

下面采用機構運動的奇異定理建立構型二、構型三與構型四的正向奇異判別方程。首先對SPS分支進行分析，當鎖住SPS分支上的驅(qū)動副Li與θi1時，如果Ci點仍可運動，速度vi方向應與AiCi方向垂直，則Ci點速度法平面的方向向量就為Ci點的速度方向向量，如圖12(a)所示。當分支為SRS類型時，如果鎖住驅(qū)動副θi1、θi2與θi4，如果Ci點仍可運動，速度vi方向應與AiBiCi平面相垂直，則Ci點速度法平面就為AiBiCi平面，如圖12(b)所示。

(a) SPS分支速度方向

(b) SRS分支速度方向

圖12 分支速度方向圖
Fig.12 Branch speed pattern

當分支為SPS時的速度法平面方程為：

Ei2x+Bi2y+Ci2z+Di2=0，

(16)

其中：

Ei2=-ki2Ci1-ki2Di1+ki3Bi1，
Bi2=-Ai1ki3+ki1Ci1+ki1Di1，
Ci2=-ki1Bi1+Ai1ki2，
Di2=-Cix(-ki2Ci1-ki2Di1+ki3Bi1)+Ciy(Ai1ki3-ki1Ci1-ki1Di1)-Ciz(-ki1Bi1+Ai1ki2)，

式中，Ei1、Bi1、Ci1、Di1分別為平面AiCiDi方程中的參數(shù)，Cix、Ciy、Ciz分別為Ci點的坐標。

當分支為SRS時的速度法平面方程為：

Ej3x+Bj3y+Cj3z+Dj3=0，

(17)

其中：

Ej3=acηiBiz-acηiCi3+RsηiBiz+CizBiy-CizBiz-RsηiCiz，
Bj3=-asηiCiz+RcηiCiz+asηiBiz-RcηiBiz-BixCiz+CixBiz，
Cj3=CixsηiR+asηiCiy+RcηiBiy-aBixcηi-RcηiCiy+aCixcηi-RBixsηi-CixBiy-asηiBiy+BixCiy，
Dj3=aBixcηiCiz-asηiCiyBiz-RCixsηiBiz+asηiCizBiy-RcηiCizBiy+RcηiCiyBiz-
aCixcηiBiz+RBixsηiCiz，

式中，Bix、Biy、Biz分別為Bi點的坐標，Cix、Ciy、Ciz分別為Ci點的坐標，R、a、r、li1、li2分別為機構尺度參數(shù)，sij、cij(j=1,2)分別為分支轉角參數(shù)。

圖13 構型二、三、四的奇異軌跡
Fig.13 Two, three, four singular trajectories

5 結論

①對新型六自由度可重構并聯(lián)機構進行了運動學反解數(shù)學模型的建立，并對機構的運動學反解方程進行求導，得到了機構在各構型下的正、逆雅可比矩陣。

②通過分析機構的逆向雅可比矩陣的行列式，對各個構型的逆向雅可比矩陣進行求解，得到了機構處于邊界奇異下的分支位形與位姿關系圖。

③對構型一用雅可比矩陣法求出了正向奇異的奇異軌跡，對構型二、構型三和構型四采用機構的運動奇異原理求出了其奇異軌跡，并將它們進行對比分析，為以后該機構的工作空間、動力學分析等提供了理論參考。