楊研蒙，姚建軍，閆紅松，袁大義，王永振

(北京自動(dòng)化控制設(shè)備研究所，北京 100074)

0 引言

捷聯(lián)慣導(dǎo)是一種十分先進(jìn)的自主式導(dǎo)航系統(tǒng)。系統(tǒng)的陀螺儀和加速度計(jì)直接固連在載體上，去掉了物理機(jī)電平臺(tái)，用計(jì)算機(jī)軟件構(gòu)建了一個(gè)數(shù)字平臺(tái)加以取代。捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)與平臺(tái)慣導(dǎo)系統(tǒng)相比，其體積小、質(zhì)量小且成本低，而系統(tǒng)的可靠性卻大為提高，可以提供更多的導(dǎo)航信息，這給維護(hù)和使用都帶來(lái)了諸多方便。由于捷聯(lián)慣導(dǎo)存在著定位誤差隨時(shí)間累積的缺陷，所以在工程實(shí)踐中提高慣導(dǎo)系統(tǒng)精度一般有兩種方法[1]:一是提高制造工藝，研制高精度新型慣性敏感器件(Inertial Measurement Unit，IMU)，但系統(tǒng)成本較高；二是通過(guò)合理的系統(tǒng)編排，采用誤差補(bǔ)償?shù)姆绞教岣邞T性導(dǎo)航精度，這種方法可以以較小的成本投入獲得較大的精度提高。旋轉(zhuǎn)調(diào)制技術(shù)就是將現(xiàn)有精度IMU固定在旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)上控制其周期性旋轉(zhuǎn)，將相應(yīng)誤差源調(diào)制成周期信號(hào)形式，從而在導(dǎo)航參數(shù)解算過(guò)程中得到均化。采用旋轉(zhuǎn)調(diào)制技術(shù)與研制高精度慣性器件相比，具有成本低、見(jiàn)效快等特點(diǎn)。但由于旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)軸系的增加導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)調(diào)制型捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相對(duì)非旋轉(zhuǎn)調(diào)制型捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)要復(fù)雜得多，因此其結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模與仿真分析也要復(fù)雜得多。

目前，旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)分為單軸旋轉(zhuǎn)、雙軸旋轉(zhuǎn)和三軸旋轉(zhuǎn)三類(lèi)，其中雙軸旋轉(zhuǎn)較為普遍。雙軸旋轉(zhuǎn)調(diào)制捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)，主要由慣性測(cè)量組件、外環(huán)框架、電機(jī)、碼盤(pán)、鎖緊裝置、外殼體等部件組成，如圖1所示。其中，慣性測(cè)量組件由陀螺、加速度計(jì)、電路板等分別緊固在慣性臺(tái)體上構(gòu)成，臺(tái)體通過(guò)小電機(jī)和碼盤(pán)內(nèi)的軸承與外環(huán)框架連接；外環(huán)框架再通過(guò)大電機(jī)和另一個(gè)碼盤(pán)內(nèi)的軸承與外殼體連接，形成雙軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，該系統(tǒng)在工作時(shí)可通過(guò)鎖緊裝置來(lái)抑制軸系旋轉(zhuǎn)。

軸承是構(gòu)成旋轉(zhuǎn)軸系的關(guān)鍵元件，對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能具有重要影響。在系統(tǒng)級(jí)動(dòng)力學(xué)仿真中，軸承通常采用等效建模方法。軸承的等效建模方法主要有三種[2-5]：第一種是將軸承看作剛體，不考慮其彈性，這樣做只能在軸承連接關(guān)系對(duì)結(jié)果影響不大且為了節(jié)省時(shí)間方便計(jì)算的條件下使用；第二種是采用彈簧阻尼單元，模擬其軸向自由轉(zhuǎn)動(dòng)和徑向線運(yùn)動(dòng)剛度；第三種是采用彈簧阻尼單元，模擬其軸向自由轉(zhuǎn)動(dòng)、徑向線運(yùn)動(dòng)剛度、軸向線運(yùn)動(dòng)剛度。在旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導(dǎo)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)仿真中，這三種建模方法均存在明顯的不足。為此，本文提出了一種同時(shí)模擬其軸向自由轉(zhuǎn)動(dòng)、徑向線運(yùn)動(dòng)剛度、軸向線運(yùn)動(dòng)剛度以及徑向角運(yùn)動(dòng)剛度的三向剛度等效建模方法。本文研究認(rèn)為，在動(dòng)力學(xué)仿真中，三向剛度等效建模方法更加符合真實(shí)情況。

1 旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導(dǎo)系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)軸承建模方法

本文采用ANSYS workbench有限元分析軟件，對(duì)旋轉(zhuǎn)調(diào)制捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模與仿真分析。旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的軸系均通過(guò)雙列深溝球軸承來(lái)安裝。深溝球軸承由內(nèi)外圈和多個(gè)滾珠構(gòu)成，滾珠與內(nèi)外圈之間通過(guò)接觸關(guān)系組合在一起，其邊界條件呈非線性狀態(tài)。而模態(tài)分析一般都是視分析對(duì)象為線性變形結(jié)構(gòu)，因此，需要對(duì)軸承結(jié)構(gòu)進(jìn)行一定的簡(jiǎn)化處理。

在一般情況下，軸承受徑向力、軸向力和力矩聯(lián)合作用時(shí)，內(nèi)外圈將產(chǎn)生徑向軸向相對(duì)位移。圖2所示為深溝球軸承在三種不同外載荷的作用下的三種典型振型[6]以及相應(yīng)的動(dòng)態(tài)參數(shù)。

圖2 深溝球軸承三種不同的振型Fig.2 Three different types of vibration ofdeep groove ball bearing

這種彈性的相對(duì)位移量對(duì)轉(zhuǎn)軸有著一定的影響，反映了滾動(dòng)軸承的一種使用性能。通常，用剛度作為衡量此使用性能的指標(biāo)。所謂滾動(dòng)軸承的剛度是指軸承內(nèi)外圈產(chǎn)生的相對(duì)彈性位移量所需的外加負(fù)載[7]。按照相對(duì)位移的方向可以有軸承的徑向剛度、軸向剛度和角剛度等。

在進(jìn)行動(dòng)力學(xué)性能分析時(shí)，軸承部位的建模需要考慮連接處的剛度、質(zhì)量和阻尼的分布。軸承質(zhì)量一般作為附加質(zhì)量分配到定子和轉(zhuǎn)子上。軸承對(duì)阻尼的貢獻(xiàn)加在模態(tài)阻尼中，在單元建模時(shí)可以不考慮。此次在本文動(dòng)力學(xué)建模中主要詳細(xì)模擬其剛度。

軸承剛度的分布可通過(guò)給定Bushing單元中剛度矩陣?yán)锏腒值來(lái)模擬。Bushing單元是一種特殊的連接方式，它通過(guò)一種數(shù)學(xué)模型和軟件設(shè)置來(lái)模擬2個(gè)結(jié)構(gòu)間的彈性阻尼連接[8]，一個(gè)Bushing單元由6個(gè)自由度組成，3個(gè)平動(dòng)自由度：Ux、Uy、Uz和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度：φ、θ、φ，這些自由度可以全部潛在地被定義為自由無(wú)約束的旋轉(zhuǎn)或平動(dòng)，也可以通過(guò)剛度值來(lái)抑制這些自由度的運(yùn)動(dòng)。Bushing單元由剛度矩陣和阻尼矩陣組成，其中剛度矩陣為

(1)

式中，kx、ky、kz分別代表3個(gè)主方向的位移剛度(軸承的徑向剛度和軸向剛度)，kθx、kθy、kθz分別代表3個(gè)主方向的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度(軸承角剛度)。除了對(duì)角線上的各項(xiàng)，其余部分都代表各自由度之間的耦合項(xiàng)。

假設(shè)Z方向?yàn)檩S承的軸向，X、Y方向?yàn)檩S承的徑向，那么旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)在實(shí)際工作時(shí)，軸承的Z向轉(zhuǎn)動(dòng)是無(wú)約束狀態(tài)的，即kθz=0，且kx、ky為軸承的徑向剛度kr；kθx、kθy為軸承的徑向轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，因此有kx=ky=kr，kθx=kθy=kθr。耦合項(xiàng)對(duì)結(jié)果的影響較小，可以忽略不計(jì)[9-10]。

最終矩陣式(1)可簡(jiǎn)化為

(2)

2 軸承剛度的計(jì)算

2.1 滾動(dòng)軸承剛度的理論計(jì)算

軸承的徑向剛度、軸向剛度以及角剛度大小取決于材料、載荷、滾動(dòng)體、內(nèi)外圈曲率、接觸角以及加工、裝配等因素。

按文獻(xiàn)[11]，當(dāng)間隙為0時(shí)，單列深溝球軸承受徑向載荷時(shí)變形公式為

(3)

(4)

按文獻(xiàn)[12]，當(dāng)間隙為0時(shí)，單列深溝球軸承受軸向載荷時(shí)變形公式為

(5)

(6)

而目前關(guān)于軸承轉(zhuǎn)動(dòng)角剛度的變形公式尚未有文獻(xiàn)可供參考。

式(3)～式(6)中，δr為軸承徑向變形量，μm；δa為軸承軸向變形量，mm；Qmax為承受最大負(fù)荷的鋼球上所承受的力，kgf；Q為每個(gè)鋼球所承受的軸向負(fù)荷值，kgf；db為鋼球直徑，mm；z為鋼球個(gè)數(shù)；α為初始接觸角，(°)。

滾動(dòng)軸承的剛度是指軸承內(nèi)外圈產(chǎn)生的相對(duì)彈性位移量所需的外加負(fù)載，由于其剛度的變化規(guī)律跟很多因素有關(guān)，涉及很多非線性關(guān)系。因此為了方便計(jì)算，定義軸承的剛度為

(7)

式中：F為作用在軸承上的載荷；δ為軸承內(nèi)外圈所發(fā)生的位移量。K值越大，說(shuō)明軸承的剛度值越大。

由式(3)～式(7)，可以求得深溝球軸承的徑向、軸向剛度表達(dá)式為

(8)

(9)

式中，單位為：kgf/mm。

表1所示為本文研究的旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)中代號(hào)為618/22HV/P4DB的深溝球軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)值。

表1 深溝球軸承參數(shù)

將表1數(shù)據(jù)代入式(8)、式(9)后求得

Kr=1.2×105N/mm

Ka=1.4×105N/mm

2.2 滾動(dòng)軸承剛度的有限元計(jì)算

1)基本假設(shè)[13]

1.忽略深溝球軸承徑向游隙和油膜之間的影響；2.忽略軸承保持架和倒角等局部細(xì)節(jié)；3.軸承內(nèi)圈和外圈殼保持原來(lái)的形狀不變形，只發(fā)生剛性位移，即符合剛性套圈假設(shè)。

2)軸承有限元分析前處理

定義軸承內(nèi)外圈和滾動(dòng)體材質(zhì)為線彈性材料模型，均使用9cr18鋼，彈性模量E=2×1011Pa，泊松比μ=0.3，材料密度ρ=7700kg/m3。

對(duì)軸承部件劃分網(wǎng)格時(shí)進(jìn)行分組均勻網(wǎng)格劃分，對(duì)滾動(dòng)體使用patch conforming method協(xié)調(diào)分片四面體網(wǎng)格劃分方法。而為了得到更好的收斂結(jié)果，對(duì)內(nèi)外圈使用sweep掃略網(wǎng)格劃分，得到全部為六面體的網(wǎng)格單元，如圖3所示，整個(gè)模型共361300個(gè)節(jié)點(diǎn)，138594個(gè)單元。

圖3 深溝球軸承有限元模型Fig.3 Finite element model of deep groove ball bearing

由于該軸承為雙列類(lèi)型，因此滾動(dòng)軸承中存在四種形式的接觸，即滾動(dòng)體與內(nèi)圈、滾動(dòng)體與外圈、上內(nèi)圈與下內(nèi)圈、上外圈與下外圈的接觸，前兩種接觸類(lèi)型定義為摩擦接觸，摩擦系數(shù)為0.02；后兩種接觸類(lèi)型定義為綁定接觸。

根據(jù)軸承的實(shí)際工作情況，在計(jì)算徑向剛度時(shí)，將軸承的內(nèi)圈內(nèi)表面全約束，分別在外圈外表面施加Y軸方向的徑向許用載荷3400N和外圈下表面施加X(jué)軸方向的軸向許用載荷1750N；在計(jì)算角剛度時(shí)，對(duì)軸承外表面外圈表面全約束，在內(nèi)圈內(nèi)表面施加繞X軸方向的力矩載荷3000N·m。

2.3 軸承剛度的仿真結(jié)果及分析

圖4、圖6、圖8分別為軸承在受到徑向載荷、軸向載荷、力矩載荷時(shí)的整體位移變形圖，為了效果更加直觀，總位移經(jīng)過(guò)一定倍數(shù)的放大處理；圖5、圖7和圖9分別為對(duì)應(yīng)的內(nèi)圈應(yīng)力分布云圖。從各圖中的應(yīng)力分布可以看出有限元仿真分析的合理性。

圖4 軸承受徑向載荷時(shí)的徑向位移Fig.4 Radial displacement of bearing under radial load

圖5 軸承內(nèi)圈受徑向載荷時(shí)的應(yīng)力分布Fig.5 Stress distribution of bearinginnerring under radial load

圖6 軸承受軸向載荷時(shí)的軸向位移Fig.6 Axial displacement of bearingunder axial load

圖7 軸承內(nèi)圈受軸向載荷時(shí)的應(yīng)力分布Fig.7 Stress distribution of bearing innerring under axial load

圖8 軸承受轉(zhuǎn)動(dòng)載荷時(shí)的軸向位移Fig.8 Rotational displacement of a bearingunder rotational load

圖9 軸承內(nèi)圈受轉(zhuǎn)動(dòng)載荷時(shí)的應(yīng)力分布Fig.9 Stress distribution of bearinginner ring under rotational load

再根據(jù)式(7)對(duì)以上分析得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理計(jì)算，得到以下載荷位移曲線圖，如圖10～圖12所示。

圖10 徑向載荷-位移圖Fig.10 Radial load-displacement diagram

圖11 軸向載荷-位移圖Fig.11 Axial load-displacement diagram

圖12 轉(zhuǎn)動(dòng)載荷-位移圖Fig.12 Rotational load-displacement diagram

根據(jù)曲線圖10～圖12可以看出，在許用載荷的范圍內(nèi)，隨著外界載荷的增加，軸承的剛度基本為線性的。雖然軸承剛度是變化的，但由于跨度范圍很小，因此考慮選取各點(diǎn)所對(duì)應(yīng)剛度值的平均值進(jìn)行求解，最后求得該軸承的徑向、軸向和角剛度分別為

Kr=1.91×105N/mm

Ka=1.88×105N/mm

Krθ=1.5×106(N·mm)/(°)

通過(guò)驗(yàn)證式(8)、式(9)得出的軸承徑向和軸向剛度的數(shù)值與上文通過(guò)有限元仿真分析得到的數(shù)值結(jié)果在同一量級(jí)。由于公式求得的數(shù)值為單列球軸承剛度，而文中有限元分析得到的數(shù)值為雙列球軸承剛度，在文獻(xiàn)[12]中說(shuō)明了多列軸承剛度是大于單列軸承剛度的，數(shù)據(jù)結(jié)果也符合此理論依據(jù)。因此，證明了本次仿真結(jié)果的正確性與有效性。此外，由于經(jīng)驗(yàn)公式和擬合公式存在一定的局限性和離散性，而通過(guò)有限元仿真分析得到的數(shù)值更加精確與具體。所以，軸承剛度的數(shù)值最終選擇參考有限元仿真分析所計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行處理。

同理，可通過(guò)有限元仿真方法計(jì)算得到電機(jī)與鎖緊裝置里面的相關(guān)軸承的剛度。

3 旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導(dǎo)系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的模態(tài)分析

模態(tài)分析的基本原理[15]：將線性定常系統(tǒng)振動(dòng)微分方程組中的物理坐標(biāo)變換為模態(tài)坐標(biāo)，使方程解耦，成為一組以模態(tài)坐標(biāo)及模態(tài)參數(shù)描述的獨(dú)立方程，以便求出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。坐標(biāo)的變換矩陣為模態(tài)矩陣，其每一列為模態(tài)振型。由振動(dòng)理論，系統(tǒng)任一點(diǎn)的響應(yīng)均可表示為各階模態(tài)響應(yīng)的線性組合。因而，通過(guò)求出的各階模態(tài)參數(shù)就可得到任意激勵(lì)下任意位置處的系統(tǒng)響應(yīng)。模態(tài)分析的最終目標(biāo)是識(shí)別出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)特性分析、振動(dòng)故障診斷和預(yù)報(bào)以及結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

在對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)，得到了在旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)有、無(wú)角剛度時(shí)的模態(tài)頻率，如表2所示。

表2 旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的模態(tài)頻率

前五階的振型為：第一階，外環(huán)和臺(tái)體沿z軸做上下平動(dòng)；第二階，外環(huán)和臺(tái)體沿x軸做左右平動(dòng)；第三階，外環(huán)出現(xiàn)對(duì)角線方向擠壓變形，臺(tái)體受擠壓繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)；第四階，外環(huán)和臺(tái)體繞z軸來(lái)回轉(zhuǎn)動(dòng)；第五階，外環(huán)不動(dòng)，臺(tái)體繞y軸來(lái)回轉(zhuǎn)動(dòng)。雖然有、無(wú)角剛度時(shí)，旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)前五階的整體振型都基本相同，但在鎖緊裝置導(dǎo)向柱處的局部振型卻都不相同。例如第一階的局部振型如圖13、圖14所示?？梢钥闯?，考慮角剛度時(shí)，導(dǎo)向柱處的運(yùn)動(dòng)方向和軸承的運(yùn)動(dòng)方向相互一致，協(xié)調(diào)統(tǒng)一；而不考慮角剛度時(shí)，導(dǎo)向柱的運(yùn)動(dòng)方向與軸承運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生沖突，位移不協(xié)調(diào)。因此，考慮角剛度時(shí)的振型顯得更加真實(shí)。

圖13 考慮角剛度時(shí)的局部振型Fig.13 Local mode of vibration withconsidering angular stiffness

圖14 不考慮角剛度時(shí)的局部振型Fig.14 Local mode of vibration withoutconsidering angular stiffness

第六階的振型為外環(huán)自身四邊角處的扭轉(zhuǎn)變形，如圖15所示，由于未和臺(tái)體軸承連接處之間發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)角位移，因此出現(xiàn)了有、無(wú)角剛度時(shí)本階模態(tài)大小仍一致的情況。

圖15 第六階旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的振型圖Fig.15 Vibration pattern of the sixthorder rotating mechanism

4 結(jié)論

轉(zhuǎn)動(dòng)軸系是雙軸旋轉(zhuǎn)調(diào)制捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的主要結(jié)構(gòu)組成部分，它連接的好壞直接影響到整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。因此，準(zhǔn)確建立各部位連接處的軸承模型，計(jì)算其軸承的剛度并代入到整體結(jié)構(gòu)有限元仿真分析所需的參數(shù)中將有利于提高結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的仿真精度。

本文根據(jù)實(shí)際情況考慮了計(jì)算軸承的角剛度，在進(jìn)行對(duì)比有限元仿真分析后，得出的結(jié)果更加貼近真實(shí)情況，證實(shí)了在對(duì)旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導(dǎo)系統(tǒng)裝置進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真分析時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮軸承角剛度的合理性。