孫延修，潘 斌

(1.沈陽工學(xué)院基礎(chǔ)課部，遼寧 撫順 113122；2.遼寧石油化工大學(xué)理學(xué)院，遼寧 撫順 113001)

0 引言

觀測器的設(shè)計是控制理論的核心問題，在控制理論中具有廣泛的應(yīng)用。如系統(tǒng)的鎮(zhèn)定、故障檢測、最優(yōu)控制等，均需要引入狀態(tài)反饋得以實現(xiàn)。而許多控制問題由于系統(tǒng)狀態(tài)不易測量或無法獲取系統(tǒng)狀態(tài)，需要重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)，即設(shè)計觀測器。線性系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的設(shè)計問題已經(jīng)得到了很好的解決[1]。非線性系統(tǒng)觀測器設(shè)計方法主要有：擴(kuò)展的卡爾曼濾波器、擴(kuò)展的Luenberger觀測器[2-7]、魯棒觀測器[8]、自適應(yīng)觀測器、比例積分觀測器[9]等。在觀測器的設(shè)計方法中，擴(kuò)展的Luenberger 觀測器可以對非線性項滿足Lipschitz 條件的非線性系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計。文獻(xiàn)[10]針對一般形式的非線性系統(tǒng)，基于Lyapunov穩(wěn)定意義下觀測器存在性的概念，討論了降維觀測器的存在性并設(shè)計了系統(tǒng)降維觀測器。文獻(xiàn)[11]針對滿足Lipschitz條件的非線性系統(tǒng)的全維、降維觀測器進(jìn)行了設(shè)計，并以定理形式給出了觀測器存在的充分條件。文獻(xiàn)[12]針對存在未知干擾的Lipschitz非線性系統(tǒng)，探討了基于滑模觀測器的執(zhí)行器故障檢測的方法。文獻(xiàn)[13]利用李雅普諾夫理論隊觀測器進(jìn)行了設(shè)計，進(jìn)而獲得了原系統(tǒng)狀態(tài)與虛擬執(zhí)行器故障的漸近估計；通過線性矩陣不等式方法，實現(xiàn)了線性矩陣不等式的求解，完成了觀測器設(shè)計。

目前，針對非線性廣義系統(tǒng)的觀測器研究不足，本文針對系統(tǒng)中含有滿足Lipschitz非線性項的一類非線性廣義系統(tǒng)，提出一種全維觀測器與降維觀測器的設(shè)計方法。首先，利用 Lyapunov函數(shù)，獲得了觀測器誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的充分條件。其次，采用Schur補(bǔ)引理，給出了兩種觀測器存在的充分條件。最后，給出數(shù)值算例，通過線性矩陣不等式得到所設(shè)計的兩種觀測器的增益矩陣，驗證了觀測器設(shè)計方法的可行性。

1 問題描述

考慮如下非線性廣義系統(tǒng)：

(1)

式中：E∈Rn×n為奇異矩陣且滿足rank(E)=q

假設(shè)1 廣義系統(tǒng)(1)可觀測，且系統(tǒng)中的非線性項Φ(x,u)滿足Lipschitz條件，即：

式中：LΦ為大于0的Lipschitz常數(shù)。

TE+NC=In

根據(jù)引理1，系統(tǒng)(1)經(jīng)線性變換可轉(zhuǎn)化為：

(2)

(3)

假設(shè)2 系統(tǒng)(1)經(jīng)線性變換后得到式(3)中的非線性項Φ′(z,u)，滿足Lipschitz條件，即：

式中：LΦ′為大于0的Lipschitz常數(shù)。

2 廣義系統(tǒng)全維觀測器的設(shè)計

針對系統(tǒng)(1)的變換式(3)，可以設(shè)計如下全維觀測器：

(4)

定理1 若存在對稱正定矩陣P和增益矩陣L,滿足下列不等式(5)，則式(4)為系統(tǒng)(3)的全維觀測器：

(5)

選取李雅普諾夫函數(shù)V(t)=eT(t)Pe(t)，則有：

根據(jù)假設(shè)2，可得：

eT(t)(αPTP+αI)e(t)

式中：α=LΦ′‖T‖。

3 廣義系統(tǒng)降維觀測器的設(shè)計

假設(shè)C=(Ip0),則有y(t)=Cx(t)x1(t)。由z(t)-Ny(t)=(I-NC)x(t)可知，z1(t)=(I-NC)×x1(t)=(I-NC)y(t)。

(6)

式中：L為相應(yīng)的增益矩陣。

(7)

由于Φ′[z(t),u(t)]滿足Lipschitz條件，可知：

故有：

4 數(shù)值算例

考慮廣義系統(tǒng)(1)的參數(shù)如下：

由系統(tǒng)的可觀測性,可得行滿秩矩陣[TN]中的矩陣T、N，分別為：

對系統(tǒng)(1)進(jìn)行兩次線性變換，可以轉(zhuǎn)化為式(3)的形式。 根據(jù)文獻(xiàn)[11]中針對增益矩陣的求解方法，利用線性矩陣不等式，可以得出含Lipschitz非線性項廣義系統(tǒng)觀測器的增益矩陣。

全維觀測器的增益矩陣為：

降維觀測器的增益矩陣為：

5 結(jié)束語

觀測器可以通過重構(gòu)的途徑,解決狀態(tài)不能直接測量的問題。該方法已在控制工程的許多方面得到了實際應(yīng)用。針對一類非線性廣義系統(tǒng)，研究了系統(tǒng)全維及降維觀測器的設(shè)計問題?；趶V義系統(tǒng)的線性變換與正常系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的設(shè)計方法，設(shè)計了含Lipschitz非線性項的廣義系統(tǒng)全維觀測器和降維觀測器。根據(jù)Schur補(bǔ)引理，給出定理1和定理2。最后，通過數(shù)值算例驗證了系統(tǒng)的兩種觀測器設(shè)計方法的可行性，同時為類似系統(tǒng)觀測器的設(shè)計提供了方法。