朱維耀 劉青 岳明 張燎原

1.北京科技大學(xué)土木與資源工程學(xué)院 2.中國石化勝利油田分公司石油工程技術(shù)研究院

中國石油近幾年探明石油儲量的60%～80%都為低滲透油藏[1]，非常規(guī)油氣田的開發(fā)已成為油氣田開發(fā)的主體。對于區(qū)域地質(zhì)低孔、低滲、高壓油藏，須通過儲層改造后才能獲得有效產(chǎn)能，體積壓裂是非常規(guī)儲層增產(chǎn)作業(yè)的主要方式[2]。油井經(jīng)過壓裂措施改造后，地層中的流體沿著壓裂支撐裂縫滲流至井底，而后被采出至地面。因此，支撐劑裂縫的導(dǎo)流能力將直接影響油井的產(chǎn)能[3]。目前，大多數(shù)是通過實驗來研究裂縫的導(dǎo)流能力[4]，而對于其理論計算模型的研究較少[5-6]。

國內(nèi)外學(xué)者通過實驗分析了影響導(dǎo)流能力的因素，例如支撐劑的破碎、支撐劑的尺寸以及支撐劑的嵌入等[7-9]，在理論研究方面已總結(jié)出一些半經(jīng)驗方程、經(jīng)驗公式[10-11]。但是，這些公式是在一些特定的條件下導(dǎo)出的，在一般應(yīng)用中受到限制。國內(nèi)一些學(xué)者還總結(jié)出了一些單因素對導(dǎo)流能力的影響公式[12-13]。

本研究在支撐劑六方最密排列的基礎(chǔ)上，建立了考慮鋪砂濃度、閉合壓力、支撐劑材料、支撐劑粒徑的導(dǎo)流能力公式，將導(dǎo)流能力與上述因素直接聯(lián)系，從而為油氣開采提供理論依據(jù)。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

設(shè)支撐劑在裂縫內(nèi)的排列是六方最密堆積排列，其兩層排列形狀如圖1所示。

以支撐劑的最密排列為基礎(chǔ)，得出裂縫內(nèi)填充支撐劑后的孔隙度，再根據(jù)孔隙度-滲透率公式得出裂縫填充支撐劑后的滲透率。對于高閉合壓力的情況，則需要考慮支撐劑嵌入壁面對導(dǎo)流能力的影響?？稍O(shè)支撐劑為彈性球體，將裂縫壁面設(shè)為平面且符合彈性力學(xué)假設(shè)。求出每個支撐劑所受到的壓力F，依據(jù)彈性力學(xué)求出受壓后支撐劑與平面接觸減少的距離，可視為支撐劑嵌入壁面的距離。再依據(jù)支撐劑在裂縫中的最密排列求出支撐劑在裂縫內(nèi)填充的高度，用支撐劑填充的高度減去支撐劑嵌入壁面的距離，即可得出受壓后裂縫的寬度，最后依據(jù)裂縫內(nèi)的滲透率以及裂縫寬度，可得導(dǎo)流能力如下：

(1)

式中：wfh為受壓后裂縫的寬度，m；no為單位面積支撐劑個數(shù)；r為支撐劑直徑，m；τ為迂曲度；C為鋪砂濃度，kg/m2；mo為單個支撐劑質(zhì)量，kg；F為一個支撐劑所受的壓力，N；p為閉合壓力，Pa；h1為支撐劑嵌入裂縫內(nèi)的距離，m；μ為支撐劑的彈性模量，Pa；E為支撐劑的泊松比；μ1為壁面材料的彈性模量，Pa；E1為壁面材料的泊松比。

2 導(dǎo)流能力影響分析

2.1 粒徑對導(dǎo)流能力的影響

為了分析不同支撐劑粒徑對導(dǎo)流能力的影響，設(shè)計了支撐劑不同粒徑的導(dǎo)流能力模擬方案進行計算。設(shè)置鋪砂濃度為10 kg/m2，支撐劑粒徑分別設(shè)置為0.1 mm、0.2 mm、0.3 mm、0.4 mm、0.5 mm、0.6 mm和0.7 mm，支撐劑材料為陶粒，其彈性模量E為100 GPa，泊松比為0.25。計算結(jié)果如圖2所示。

由圖2可看出，其他條件相同的情況下，導(dǎo)流能力隨著支撐劑粒徑的增大而增大，當粒徑為0.1 mm時，導(dǎo)流能力為0.8 μm2·cm；當粒徑為0.2 mm時，導(dǎo)流能力為3.3 μm2·cm，導(dǎo)流能力增加了3倍；當粒徑為0.7 mm時，導(dǎo)流能力為40.5 μm2·cm。相比于粒徑為0.1 mm時，增加了約50倍左右。導(dǎo)流能力與粒徑呈二次函數(shù)關(guān)系。

2.2 鋪砂濃度對導(dǎo)流能力的影響

為了分析不同鋪砂濃度對導(dǎo)流能力的影響，設(shè)計了不同鋪砂濃度的導(dǎo)流能力模擬方案進行計算。設(shè)置鋪砂濃度為1～10 kg/m2，支撐劑粒徑分別設(shè)置為現(xiàn)場常用粒徑0.6 mm、0.425 mm、0.325 mm。其中迂曲度可近似取τ=1.2，計算結(jié)果如圖3所示。

由圖3可看出，其他條件相同的情況下，導(dǎo)流能力隨著鋪砂濃度的增大而增大。當支撐劑粒徑為0.6 mm，鋪砂濃度為1 kg/m2時，導(dǎo)流能力為2.9 μm2·cm；鋪砂濃度為2 kg/m2時，導(dǎo)流能力為5.9 μm2·cm，導(dǎo)流能力增加了1倍。

在裂縫內(nèi)支撐劑的濃度并不會影響孔隙度的大小，從而也不會影響滲透率的大小。但隨著鋪砂濃度的增加，會使支撐劑在壁面堆積的高度增高，從而導(dǎo)致裂縫寬度增加。由于支撐劑排列的方式不變，這種裂縫寬度的增加是線性的，所以，導(dǎo)流能力與鋪砂濃度呈線性關(guān)系。

2.3 支撐劑嵌入對導(dǎo)流能力的影響

對考慮支撐劑嵌入壁面與不考慮支撐劑嵌入壁面的情況進行模擬計算。壁面材料設(shè)置為頁巖，其彈性模量為30 GPa，泊松比為0.2。其模擬方案見表1。

表1 支撐劑嵌入壁面導(dǎo)流能力模擬方案Table 1 Conductivity simulation scheme of proppant embedment序號支撐劑類型支撐劑粒徑/mm鋪砂濃度/(kg·m-2)閉合壓力/MPa嵌入不嵌入陶粒0.3250.3251～1010/90

其模擬結(jié)果如圖4所示。

通過計算發(fā)現(xiàn)，當其他條件相同時，考慮支撐劑嵌入壁面下的裂縫導(dǎo)流能力相比于支撐劑不嵌入壁面時會減小。在閉合壓力較小的情況下，依據(jù)支撐劑嵌入對導(dǎo)流能力的影響很小，但是在閉合壓力較大的情況下，這種影響會變得較為顯著。

支撐劑嵌入壁面會影響裂縫的縫寬。在閉合壓力較小的情況下，支撐劑嵌入壁面的距離可忽略不計，對導(dǎo)流能力幾乎無影響。但是，在高閉合壓力的情況下，支撐劑嵌入壁面的距離較大，導(dǎo)致裂縫寬度有所減小。對于低鋪砂濃度、高閉合壓力的情況，支撐劑嵌入對導(dǎo)流能力的影響是一個不可忽略的因素。

3 裂縫支撐劑分布

對支撐劑在裂縫中的運移進行模擬，其設(shè)置為：縫長150 m、縫高33 m，在左側(cè)縫高中間設(shè)置一個半徑為0.1 m的半圓形排沙孔；支撐劑密度2 200 kg/m3，直徑0.325 mm；進口速度5 m/s，進口處支撐劑體積分數(shù)為0.1，對于整個模型施加方向豎直向下的重力g=9.8 m/s2。

對其進行劃分網(wǎng)格求解，分別設(shè)置求解時間為15 min、50 min和85 min，并換算出鋪沙濃度隨縫長的分布，如圖5所示。由圖5可看出:無論運算時間為15 min、50 min還是85 min，都是靠左邊進口處的鋪沙濃度較大，之后會有一個劇烈下降的階段；隨后都是隨縫長的增加，鋪沙濃度在平穩(wěn)減小，到裂縫的最遠處也就是150 m左右時，達到了最小值。與計算15 min與50 min的結(jié)果相比，85 min時計算出的鋪砂濃度均高于前兩種情況。

將上述模擬與如表2的現(xiàn)場數(shù)據(jù)(義171-斜5VF)相對比：上述模擬85 min時裂縫內(nèi)鋪砂濃度平均值為7.13 kg/m2，與現(xiàn)場數(shù)據(jù)(6.9 kg/m2)誤差為3.3%，誤差很小，可為現(xiàn)場施工提供依據(jù)。

表2 現(xiàn)場數(shù)據(jù)Table 2 Local data壓裂目的層段/m支撐半縫長/m支撐縫高/m鋪砂濃度/(kg·m-2)總時間/min3 717.0～3 766.0 150336.985.52

將數(shù)據(jù)帶入上述導(dǎo)流能力計算公式，計算導(dǎo)流能力如圖6所示。從圖6可看出，導(dǎo)流能力的計算結(jié)果趨勢與鋪砂濃度的趨勢近乎一致。也是靠近進口處的導(dǎo)流能力最大，然后大幅度下降。隨著縫長的增加，其導(dǎo)流能力隨之減小，到裂縫的最遠端，其導(dǎo)流能力最小。這也說明鋪砂濃度直接影響了裂縫的導(dǎo)流能力，鋪砂濃度越大，其導(dǎo)流能力越大，反之亦然。

4 結(jié)論

(1) 基于 Carman-Kozeny 公式，建立了鋪砂濃度與裂縫導(dǎo)流能力計算模型，為油氣田壓裂裂縫導(dǎo)流能力計算提供了理論依據(jù)。

(2) 支撐劑粒徑與鋪砂濃度是影響導(dǎo)流能力的關(guān)鍵因素。鋪砂濃度越大，裂縫的導(dǎo)流能力越大，導(dǎo)流能力與鋪砂濃度呈線性關(guān)系；導(dǎo)流能力與支撐劑直徑呈二次函數(shù)關(guān)系。導(dǎo)流能力隨支撐劑直徑增加而增加的幅度更為顯著。

(3) 考慮支撐劑嵌入壁面下的裂縫導(dǎo)流能力相比于支撐劑不嵌入壁面時會減小。在閉合壓力較小的情況下可以忽略不計，但是在閉合壓力較大、鋪砂濃度較低時，上述現(xiàn)象尤為顯著。而當鋪砂濃度較大時，即使發(fā)生支撐劑的嵌入，嵌入對支撐劑充填裂縫總體的導(dǎo)流能力影響也不會太大。

(4) 裂縫內(nèi)的支撐劑在注入裂縫后，其濃度先有一個大的下降，然后平穩(wěn)下降，隨著縫長的增加，支撐劑濃度減小，到裂縫的最遠處，支撐劑濃度最小。