摘 要：2018年高考數(shù)學全國卷Ⅱ（理科）21題是壓軸題，考查的是導數(shù)的知識，應該說這道題受到關(guān)注最多。對于學生而言挑戰(zhàn)高考題又可以讓同學們感受到當下所學知識的重要，還能和高考拉近距離。整節(jié)課利用探究的方式得到了不同的方法，最后用幾何畫板讓同學們直觀地感受了兩個函數(shù)的圖象的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：微課；高考；導數(shù)；直接法；構(gòu)造法；分離參數(shù)法

2018年高考落下帷幕已經(jīng)有一段時間，但是那些不論經(jīng)歷過高考還是即將經(jīng)歷高考的人，都在密切地關(guān)注著有關(guān)高考的一切。筆者所執(zhí)教的高三學生已經(jīng)進入了第一輪的復習階段，非常需要來一次大練兵。于是在進行導數(shù)復習的時候選擇了學生最為關(guān)心的壓軸題進行賞析，這樣既讓學生感受到高考并不可怕，更能感受到平時學習中積累的重要性。

2018年高考數(shù)學全國卷Ⅱ（理科）21題：已知函數(shù)f（x）=ex-ax2。

（1） 若a=1，證明：當x≥0時，f（x）≥1；

（2） 若f（x）在（0，+∞）只有一個零點，求a。

當2018年高考題出現(xiàn)在電子屏幕上時，同學們士氣高漲！第（1）小題同學們很快就有了答案，第二問激發(fā)了同學們挑戰(zhàn)的熱情，同學們一致表示，骨頭雖然難啃，但還是要挑戰(zhàn)！最終通過師生共同合作，得到了以下解法。

一、 解法一：（直接法）

因為f′（x）=ex-2ax，則令g（x）=f′（x）=ex-2ax，則g′（x）=ex-2a，

①當2a≤1，即a≤12時，g′（x）≥0，此時g（x）單調(diào)遞增，則有g(shù)（x）>g（0）=1>0，進而f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，且f（x）>f（0）=1>0，沒有零點；

②當2a>1，即a>12時，令g′（x）>0，得x>ln（2a），此時g（x）單調(diào)遞增；

令g′（x）<0，得0

則g（x）min=g（ln（2a））=eln（2a）-2aln（2a）=2a（1-ln（2a）），

當120，從而f′（x）>0，沒有零點。當a>e2時g（x）min<0，

又g（0）=f′（0）=1>0，g（1）=f′（1）=e-2a<0，則存在x1∈（0，1），使g（x1）=f′（x1）=0，

又g（2a）=f′（2a）=e2a-4a2>（2a）2-4a2=0，則存在x2∈（ln（2a），2a），使g（x2）=f′（x2）=0，

這就是說：x∈（0，x1）時f（x）單調(diào)遞增；x∈（x1，x2）時f（x）單調(diào)遞減；x∈（x2，+∞）時f（x）單調(diào)遞增。那么f（x）的零點就完全取決于f（x2）的值。

f（x2）=ex2-ax22，又f′（x2）=ex2-2ax2=0，則f（x2）=2ax2-ax22=ax2（2-x2），

當x2<2時，f（x2）>0，無零點；當x2=2時，f（x2）=0，此時a=e24，僅有一個零點；當x2>2時，f（x2）<0，但f（4a）=e4a（1-16a3e4a）=e4a（1-16a3（e2a）2）>e4a（1-16a3（2a）4）=e4a（1-1a）>0，故有兩個零點，不合題意。綜上可知，a=e24為所求。

二、 解法二：（分離參數(shù)法）

f（x）=ex-ax2在（0，+∞）有一個零點，即ex-ax2=0只有一個正根

相當于a=exx2只有一個正根，即直線y=a與y=exx2只有一個交點。

令h（x）=exx2，則h′（x）=（x-2）exx3，

當x∈（0，2）時，h′（x）<0；當x∈（2，+∞）時，h′（x）>0。

所以h（x）在（0，2）單調(diào)增減，在（2，+∞）單調(diào)遞增，

故h（2）=e24是h（x）在（0，+∞）的最小值，所以當a=e24時只有一個交點。

三、 解法三：（構(gòu)造法）

設(shè)函數(shù)h（x）=1-ax2e-x。

f（x）在（0，+∞）只有一個零點當且僅當h（x）在（0，+∞）只有一個零點。

（i）當a≤0時，h（x）>0，h（x）沒有零點；

（ii）當a>0時，h′（x）=ax（x-2）e-x。

當x∈（0，2）時，h′（x）<0；當x∈（2，+∞）時，h′（x）>0。

所以h（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增。

故h（2）=1-4ae2是h（x）在[0，+∞）的最小值。

①若h（2）>0，即a

②若h（2）=0，即a=e24，h（x）在（0，+∞）只有一個零點；

③若h（2）<0，即a>e24，由于h（0）=1，所以h（x）在（0，2）有一個零點，

由（1）知，當x>0時，ex>x2

所以h（4a）=1-16a3e4a=1-16a3（e2a）2>1-16a3（2a）4=1-1a>0。

故h（x）在（2，4a）有一個零點，因此h（x）在（0，+∞）有兩個零點。

綜上可知a=e24為所求。

最后同學們又踴躍的發(fā)表了自己的看法，分析幾種方法的優(yōu)劣以及自己的喜好，有人覺得構(gòu)造法更好，有人覺得分離參數(shù)法更快捷。其實從方法本身來講，沒有好壞之分，因為對學生而言，將來還會碰到很多題目，這幾種方法一定都有他的用武之地。

一節(jié)課很快結(jié)束了，同學獨立思考、熱烈討論和通力合作，進行了思想和思想的碰撞，讓這個導數(shù)問題已經(jīng)超過了它本身的意義。對于這個高考題引起的思考，對于筆者來講，不僅僅讓學生學會了這個數(shù)學題，更多的是讓學生增加了對數(shù)學學習的興趣，以及對高考的進一步的認識，同時還增強同學間的友誼以及師生間的和諧。

參考文獻：

《2018年高考數(shù)學全國卷Ⅱ》.

作者簡介：

卞蕾，中級職稱，甘肅省蘭州市，蘭州市五十一中。