新喬 趙曉寧 任熙俊

（接上期）

4 數(shù)學(xué)方法：工具、語言及表達(dá)形式

用數(shù)學(xué)方式研究人們?nèi)粘Ｉ钪幸子诶斫獾暮暧^世界，以及揭示后來的X射線、放射性和電子等人們沒有直接經(jīng)驗的微觀現(xiàn)象，表明人們對物質(zhì)世界的認(rèn)識在不斷深入，也指導(dǎo)著科學(xué)教育的發(fā)展。[6]

牛頓時代，科學(xué)一般都被認(rèn)為是“自然哲學(xué)”，其中只有光學(xué)和數(shù)學(xué)才被看作獨立的學(xué)科。這種區(qū)分反映在所用的儀器上，它們被分成“哲學(xué)的”“光學(xué)的”和“數(shù)學(xué)的”三類。數(shù)學(xué)對教育技術(shù)裝備的影響是普遍、深刻而又具體的，無論是發(fā)明、制造還是應(yīng)用。數(shù)學(xué)內(nèi)容、形式和方法全面融入、貫穿了整個教育技術(shù)裝備知識體系，構(gòu)成教育技術(shù)裝備知識體系的基本內(nèi)核和主要內(nèi)在依據(jù)，如同材料、工藝、結(jié)構(gòu)一樣，它的影響無處不在。可以說，沒有數(shù)學(xué)就沒有教育技術(shù)裝備的持久深入發(fā)展，包括它的體系化、知識化和教學(xué)屬性。

實驗方法與數(shù)學(xué)形式：科學(xué)方法和唯一的理性話語形式? 近代科學(xué)形式分為數(shù)理科學(xué)與歸納科學(xué)兩種形式。庫恩在《必要的張力》一書中認(rèn)為，物理科學(xué)發(fā)展中表現(xiàn)出數(shù)學(xué)傳統(tǒng)和實驗傳統(tǒng)的對立。數(shù)理科學(xué)的代表人物主要有哥白尼、笛卡爾、伽利略、開普勒、牛頓等，分別在天文學(xué)、動力學(xué)、光學(xué)、數(shù)學(xué)和聲學(xué)方面取得重大成就。歸納科學(xué)的代表人物主要有吉爾伯特、波義耳、胡克、富蘭克林、卡文迪許、庫侖、拉瓦錫等，分別在電學(xué)、磁學(xué)、熱學(xué)、化學(xué)方面取得重大突破。

自然的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是近代科學(xué)的先驅(qū)們深信不疑的真理，它的數(shù)學(xué)化的根源是自然內(nèi)在的數(shù)學(xué)關(guān)系。雖然頂尖的分析學(xué)者都沒有闡述一套明確的數(shù)學(xué)哲學(xué)，但在他們對諸如普遍性和純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的關(guān)系那樣一些論題的處理中，仍然明顯表現(xiàn)出一種隱含的哲學(xué)態(tài)度，數(shù)學(xué)的每一部分被理解為是在某種客觀的意義上被給予的;它的應(yīng)用范圍和確定性都由這種客觀本性所導(dǎo)出，而不是數(shù)學(xué)家所采用的特定方法或者概念組合的結(jié)果。數(shù)學(xué)的普遍性是它的對象的普遍特征的結(jié)果，不論這些對象是代數(shù)公式還是幾何圖形。[3]275

通過數(shù)學(xué)，人們能夠以完全客觀的方式來了解宇宙的秘密。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)不僅發(fā)展了新的、不同形式的微積分、解析幾何和其他先進(jìn)的數(shù)學(xué)體系，還使得如下的觀念深入人心：人類的語言在某種程度上是不完美的，一個真正理性的體系需要用數(shù)學(xué)語言（最初由霍布斯提出，他認(rèn)為數(shù)學(xué)語言是唯一一種理性的話語形式。接著數(shù)學(xué)語言被諸如戈特弗里德·萊布尼茨和牛頓等思想家和科學(xué)家當(dāng)作新的物理語言來使用，認(rèn)為數(shù)學(xué)語言是理性至高無上的象征）表述。同時，對數(shù)學(xué)的重視也預(yù)示著人類最終能夠通過數(shù)學(xué)語言全面地了解宇宙的本質(zhì)，反過來，這使得人們甚至更加重視自然科學(xué)知識的探索。[7]

意大利數(shù)學(xué)家利昂納多·斐波納契（意大利數(shù)學(xué)家，約1170—1250年）的工作彌補(bǔ)了古代遺著的一大缺陷。無論是古羅馬還是古希臘，所采用的數(shù)字都無法直接用于計算，人們在進(jìn)行計算時必須借助于算盤之類的工具。阿拉伯?dāng)?shù)字原本是用來清算賬目的，特別是在14世紀(jì)引入復(fù)式簿記以后更是如此。斐波納契所著《計算手冊》（1202年）一書成功地普及了阿拉伯的十進(jìn)位數(shù)字系統(tǒng)，這種系統(tǒng)極為完美，因此一直沿用到現(xiàn)在。在其所著《平方手冊》（1225年）一書中還論述了阿拉伯?dāng)?shù)字在純數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。[8]42-43

到15世紀(jì)時又出現(xiàn)新的數(shù)學(xué)工具，兩位德國天文學(xué)家喬治·范·帕巴赫（1423—1461）和約翰尼斯·穆勒（1436—1476）提出三角學(xué)的方法，并且制作了最早的三角計算表和天文數(shù)據(jù)表?？死锼苟喔ァじ鐐惒迹?451—1506，意大利航海家、探險家）于1492年發(fā)現(xiàn)美洲，為科學(xué)打開一個新大陸。他在航行途中經(jīng)常使用穆勒的天體位置表，從而不得不對世界的范圍作徹底的修正，并且擴(kuò)大到把所有的人類文化和前所未知的天然物種都包括在內(nèi)。[8]43

伽利略成功地建立了關(guān)于運動的數(shù)理科學(xué)的基礎(chǔ)。伽利略認(rèn)為，自然界是按密碼寫就的，解開密碼的鑰匙是數(shù)學(xué)。在接受建立在幾何簡單性原理上的天文學(xué)時，伽利略同開普勒是一致的。對開普勒而言，天上的完美而永恒的運動為幾何分析提供了用武之地。伽利略提出幾何學(xué)也可以應(yīng)用于地上的運動的主張，最終意思是地球應(yīng)成為哥白尼體系中的一個天體物體。如果說伽利略在力學(xué)中致力于解決的基本問題是由哥白尼革命提出的，那么他在回答時形成的慣性原理，則為發(fā)展他青年時期的著作《論運動》所試圖發(fā)展的關(guān)于運動的數(shù)理科學(xué)提供了方法。[2]21

拉普拉斯不止一次指出，天文學(xué)的成就是分析的勝利，他指的是數(shù)學(xué)和力學(xué)的分析。數(shù)學(xué)分析，這種意思部分地出自牛頓之口。牛頓說過：“哲學(xué)的全部困難看來在于：應(yīng)該從運動現(xiàn)象研究自然界的各種力，然后由這些力說明其余的現(xiàn)象?！迸ｎD的方法是分析的，他的原理是用某種分析和分解的方法從觀測和實驗中抽取出來的。從這樣建立的（可以修正的、具有“可能性”而不是“數(shù)學(xué)確定性”的）原理出發(fā)，然后再從數(shù)學(xué)上證明其結(jié)果。牛頓這種“新的探索方法”，就避免了求助于假設(shè)和諸如笛卡兒關(guān)于接觸力那樣的形而上學(xué)的承諾。[3]304

1798年，亨利·卡文迪什測得了萬有引力定律常數(shù)值，同年發(fā)表論文《測定地球密度的實驗》。他從物體之間的萬有引力的測量結(jié)果間接計算出地球的質(zhì)量，從而給出地球的密度。

17世紀(jì)就已經(jīng)有著名的實驗家，包括法國的埃德梅·馬略奧特、英國的羅伯特·波義耳，還有在其1704年的《光學(xué)》一書中用一種給人印象特別深刻的方式把實驗和數(shù)學(xué)結(jié)合起來的牛頓[9]51。1687年，牛頓出版《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，第一次正式提出萬有引力定律，即兩個物體間的引力與它們的質(zhì)量的乘積成正比，與它們之間的距離的平方成反比。[6]

實驗的還是數(shù)學(xué)的，實際上一直都存在爭論。一方面，伏爾泰及其《哲學(xué)通信》，英國哲學(xué)家培根、洛克和牛頓都曾說，不訴諸實驗就不能從第一原理獲得關(guān)于物理世界的知識;另一方面，直到整個18世紀(jì)，數(shù)學(xué)對于實驗物理學(xué)的重要性爭論仍未完全明朗。狄德羅、德·布豐，甚至還有本杰明·富蘭克林，都譴責(zé)物理學(xué)中過多地應(yīng)用數(shù)學(xué)，聲稱這會使科學(xué)家遠(yuǎn)離自然而錯誤地信賴抽象形式?？锥嗳罹粽驹谶_(dá)朗貝爾一邊，聲稱除了數(shù)學(xué)家，法國科學(xué)院沒有任何人在做有用的工作，都是毫無價值的“Physicaille”——

空談的戲法和漫無目的的沒事找事。這些爭論涉及實驗和數(shù)學(xué)之間的適當(dāng)均衡，理智采取了一條中間路線，兩者都被認(rèn)為是處于理性范圍之內(nèi)，都是獲得知識所必要的，應(yīng)把實驗和定量測量結(jié)合起來，讓理論不斷接受檢驗。[9]50-51

進(jìn)入18世紀(jì)以后，在物理實驗科學(xué)研究中，人們對熱、磁、電等現(xiàn)象的研究還是定性的。一般地說，如何建立聯(lián)系各個實驗變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，仍然是最不清楚的。18世紀(jì)末期，人們逐步采用定量的數(shù)學(xué)方法去研究這些現(xiàn)象，而這種數(shù)學(xué)方法還由于科學(xué)儀器精度的提高和物理學(xué)專業(yè)化程度的提高而得到進(jìn)一步的發(fā)展。新的儀器帶來的日益增長的精密度突出了不同測量間的不一致，但是18世紀(jì)的物理學(xué)家很少有人關(guān)心怎樣對待這些不一致。18世紀(jì)的科學(xué)工作者在報告定量數(shù)據(jù)時，常常是不加評論地列出一長串?dāng)?shù)字，而事實上這些數(shù)字只是他們的數(shù)值計算的產(chǎn)物;或者，他們在少得驚人的證據(jù)的基礎(chǔ)上宣稱一些普遍性的結(jié)論。如庫侖在他著名的1785年測定兩個帶電物體之間的力的定律的工作里，僅僅給出三組實驗數(shù)據(jù)，而其中的一組甚至同他所提出的平方反比定律并不很好地符合。

實驗誤差的概念、數(shù)據(jù)的圖示以及統(tǒng)計方法的運用則在19世紀(jì)得到發(fā)展[3]322。19世紀(jì)，實驗和數(shù)學(xué)方法進(jìn)一步在科學(xué)和教育中普及，并深刻地影響了人們的思維方式。約瑟夫·布萊克、A.L.拉瓦錫和拉普拉斯等人對熱學(xué)的研究工作，T.邁耶、J.H.拉姆伯特和C.A.庫侖對靜電學(xué)的研究工作，都利用精細(xì)的實驗測量和定量來作為衡量理論好壞的依據(jù)。靜電學(xué)的定量化，建立了靜電力的定律，這是精確實驗檢測和定量化研究方法的結(jié)晶，也是從方法論角度尋求建立數(shù)學(xué)定律的一個范例。[4]15

數(shù)學(xué)方法和思維方式在更實際的廣闊主題范圍和事務(wù)中隨著時代發(fā)展得到不斷普及。隨著18世紀(jì)高深的數(shù)學(xué)（包括微積分）在法國的工科學(xué)校里第一次被列入教學(xué)計劃，成為后來教育廣泛遵循的一個范例，高等理論分析的可操作性和代數(shù)特征在一個更廣的范圍上反映在那些懂得數(shù)學(xué)本質(zhì)和應(yīng)用的“鮮明工具主義者”身上。之后在航海技術(shù)、實驗物理學(xué)、工程學(xué)、植物學(xué)、人口統(tǒng)計學(xué)、政府事務(wù)和保險業(yè)務(wù)里，都表現(xiàn)出對于數(shù)量化和理性方法的日益重視。[3]265

數(shù)學(xué)分析：重要方法和依據(jù)? 物理學(xué)有一種應(yīng)用數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)，曾在很長時間并未被稱為物理學(xué)，而被稱為“混合數(shù)學(xué)”。在17世紀(jì)，物理學(xué)仍然被當(dāng)作思辨哲學(xué)的一部分，在學(xué)校里用拉丁語傳授;而數(shù)學(xué)則大多被作為實踐科目，用本國語傳授。如笛卡兒就是帶著數(shù)學(xué)只在機(jī)械藝術(shù)上有用這種印象從大學(xué)畢業(yè)的。[9]50

就數(shù)學(xué)上的傾向而言，實驗物理學(xué)只有能夠使其規(guī)律進(jìn)化成為定量分析的規(guī)律，才有價值[9]51。隨著實驗哲學(xué)的產(chǎn)生，數(shù)學(xué)分析的真正價值得以被揭示，分析的真正價值使得“科學(xué)革命”的巨大進(jìn)展成為可能。倫哈德·歐勒，偉大的分析學(xué)家，創(chuàng)造了預(yù)測大梁和柱子的彎曲度的數(shù)學(xué)理論，設(shè)計出船殼、風(fēng)帆、錨的最佳方案，提出多色棱鏡理論，也提出描述震動繩和金屬盤運動的各種理論，設(shè)計了水輪機(jī)和渦輪機(jī)，還有許多其他應(yīng)用，但其重點始終放在數(shù)學(xué)與理論方面。新的分析法在天文學(xué)中的實踐效果可謂立竿見影，如提高了天文表的精確性，創(chuàng)立了關(guān)于地球和其他天體的運動及其形狀的新理論。[9]24

1）曲線研究。通過對依據(jù)一些力學(xué)運動定義的曲線的研究，數(shù)學(xué)和力學(xué)也取得進(jìn)展。這些曲線當(dāng)中最著名的是旋輪線。旋輪線早在17世紀(jì)就被帕斯卡（1623—1662）和惠更斯（1629—1695）研究過，是指在一個滾動的圓輪上的一個點的運動軌跡曲線。被研究過的其他類型曲線是懸鏈線（一根鏈子懸在固定兩點之間的形狀）、最速降線（一個物體在最短可能的時間內(nèi)從一個點滑到不在同一垂直線上的另一點的路徑）、漸伸線（當(dāng)繩子從另一條曲線展開繩子末端的另一頭的運動軌跡）和曳物線（物體被一根一端沿直線運動的繩拴住拖動在一個有阻力的水平面上的運動軌跡）。[9]30

很多問題促使數(shù)學(xué)家不斷去完善已知的許多方法，一些問題則引出完整的新的分析領(lǐng)域。變分學(xué)致力于發(fā)現(xiàn)類似最大化或最小化性質(zhì)的一些曲線或軌跡問題，這個學(xué)說始于牛頓試圖發(fā)現(xiàn)對液體阻力最小的固體的形狀。1696年，約翰·伯努利用它解決了最速降線的問題（證明了正確的曲線是旋輪線），使這個學(xué)說得以延續(xù)，而且由于伯努利兄弟約翰和雅可布（1654—1705）研究等周圖形（基于給定周長，尋找最大面積的圖形），這個學(xué)說得到極大的發(fā)展。解決此類問題的這些方法被歐勒歸納在他的《尋找具有最大或最小特性曲線的藝術(shù)》（1744年）—書中，拉格朗日在1750年代和1788年出版的《分析力學(xué)》中對其做了進(jìn)一步的擴(kuò)展和補(bǔ)充。[9]30

關(guān)于擺線運動的闡釋嘗試也為數(shù)學(xué)家提供了新的機(jī)會。1746年，達(dá)朗貝爾首先發(fā)現(xiàn)并解決了波動方程，而這為描述擺線運動提供了一個普遍適用的解法。這個問題要用到偏微分方程，即微分學(xué)中含有多個變量的方程，引發(fā)了關(guān)于數(shù)學(xué)函數(shù)本質(zhì)的一些問題研究。歐勒完善了上述理論，并且曾就數(shù)學(xué)函數(shù)的定義問題和達(dá)朗貝爾發(fā)生論辯。達(dá)朗貝爾認(rèn)為任何數(shù)學(xué)曲線，若想在微積分中充分地被描述，就必須像擺線一樣：是連續(xù)的，沒有任何斷裂或絞纏，并且是在兩個固定端點之間拉直。歐勒論辯說這些都是一些不必要的限制，數(shù)學(xué)函數(shù)能夠描述任何曲線，哪怕是“手畫的”一條線，只要函數(shù)按周期性的間隔定義。在這場特殊的論辯中，爭論很快就超越了物理學(xué)問題，轉(zhuǎn)向基本函數(shù)理論問題。[9]30

2）落體分析。對伽利略來說，重力或有重量性是物體的獨特性質(zhì)，并且他總是把重物向地心運動的傾向看作它們的固有運動。與此同時，伽利略確實成功地建立了關(guān)于運動的數(shù)理科學(xué)的基礎(chǔ)，給勻速運動和勻加速運動下了定義，并用數(shù)學(xué)的術(shù)語對二者進(jìn)行了描述。由于幾何學(xué)所代表的正是他心目中的科學(xué)典范，他用幾何比例而不是代數(shù)方程表達(dá)了他的結(jié)果，但是這些比例與涉及速度、加速度、時間和距離以及為今天的每一個力學(xué)新生所學(xué)習(xí)的、基本的運動方程是等價的：

v=at

s=1/2·at2

v2=2as

他也證明了，物體的所有相同的垂直平移運動，都經(jīng)歷了相同的加速過程，如果一個物體從靜止開始自由下落，而另一個物體也從靜止開始通過一個傾斜的平面下滑，通過傾斜平面下滑的物體也通過了相同的垂直距離（當(dāng)然這意味著沿著傾斜的平面，它的路徑更長，并且運動所花費的時間更多），它們獲得的垂直速度相等。[2]23

3）有關(guān)光的理論。

①斯奈爾（1580—1626，荷蘭科學(xué)家）定律。斯奈爾定律認(rèn)為，任何均勻的透明介質(zhì)都有其折射率n。設(shè)入射角為i，折射角為r，兩種介質(zhì)的折射率分別為n1及n2，它們之間存在下述關(guān)系：

n1sini=n2sinr

斯奈爾定律只考慮兩種不同介質(zhì)的折射率n1與n2的比值。在16世紀(jì)看來，所有的光線都是從地球大氣層以外傳播進(jìn)來的，因此可以假設(shè)以太的折射率為1，于是便能夠計算出任何其他透明介質(zhì)的折射率大約是1.5。這項工作的影響十分深遠(yuǎn)，尤其是玻璃在儀器設(shè)施中的廣泛應(yīng)用。

圖1中以一個平面來代表兩種介質(zhì)之間的界面，這是一種最簡單的情況，如光線從空氣中進(jìn)入水中，或者進(jìn)入玻璃的一個平面。[8]54-55

折射是光學(xué)中非常基本的一種現(xiàn)象，也可以說是波的物理學(xué)中的一種基本現(xiàn)象?！叭绻麤]有16世紀(jì)的數(shù)學(xué)，17世紀(jì)的物理學(xué)將一事無成?！碑?dāng)時德國的一位數(shù)學(xué)家雷蒂庫斯（1514—1576，曾經(jīng)促成了哥白尼的著作《天體運行論》譯書的出版）領(lǐng)導(dǎo)著三角學(xué)領(lǐng)域的研究工作，他編制了正弦函數(shù)表，其中有的有效數(shù)字達(dá)到十進(jìn)位制的15位。暫且不談斯奈爾是怎樣發(fā)現(xiàn)他的定律的，除了他自己進(jìn)行的觀察以外，雷蒂庫斯的函數(shù)表顯然也肯定了這一定律的正確性。[8]55

②笛卡爾：反射、折射定律與正弦定理。笛卡爾把光歸到光的普遍原理中，這對其自然哲學(xué)的完善至關(guān)重要。事實上他所做的還不止這些，他還將更多的東西引入光學(xué)，認(rèn)為太陽光的產(chǎn)生是漩渦中的物質(zhì)運動的必然結(jié)果。[2]54

反射定律很容易由網(wǎng)球的例子推斷出來。光的直線傳播與網(wǎng)球被球拍打出后的慣性運動相似。通過將球的運動分解成一個與反射表面平行的分運動（它不會因為球的彈跳而改變）和垂直的分運動（它的方向會反過來），笛卡爾輕易地證明了反射角與入射角相等（見圖2）。因為幾個世紀(jì)以來人們早已知道了反射定律，所以無論認(rèn)為這樣的證明如何嚴(yán)密，它也很難說是一大成就。[2]54

笛卡爾這時開始寫他自己的《曲光學(xué)》（1637年），把自己有關(guān)光的理論更具體化。從根本上講，他認(rèn)為光是由透明媒質(zhì)瞬時地傳遞的一種壓力。在《曲光學(xué)》一書中，他運用了盲人用來“看”東西的手杖這個比喻：當(dāng)手杖碰到一塊石頭，手杖底端的運動就由棍子傳到手上，于是盲人“看”到了路上的障礙物。既然自然界是一個充滿物質(zhì)的空間，可以認(rèn)為透明媒質(zhì)就是壓在眼睛上的實在的物質(zhì)。發(fā)光體產(chǎn)生的壓力給視網(wǎng)膜留下印象，引起光神經(jīng)的運動，運動被傳到大腦，大腦將其解釋為光。為了圓滿地解釋光，笛卡爾還運用了另外兩個機(jī)械的類比，其中一個是把光比做網(wǎng)球的運動。他宣稱因為壓力是另一種運動趨勢，因而它也會遵循一樣的運動規(guī)則。毋庸贅述，他是想運用這一類比來導(dǎo)出反射與折射定律。[2]54-55

然而，折射卻是另外一回事。如果說有折射定律，當(dāng)時人們也還不知道。笛卡爾用同樣的方法來研究折射，他用一塊布代替了反射面，這塊布代表折射的兩種媒質(zhì)的界面，球要從這一界面穿過（見圖2）。假設(shè)光在第二種媒質(zhì)中的傳播要慢于在第一種媒質(zhì)中的傳播。笛卡爾認(rèn)為所有的速度變化都發(fā)生在表面，而且所有的速度變化都與球通過時所具有的垂直運動相關(guān)。由這些前提得出結(jié)論，他進(jìn)而指出對光被折射到第二媒質(zhì)時的所有入射角來說，入射角的正弦與折射角的正弦成比例。[2]56

笛卡爾對發(fā)現(xiàn)“曲光”弧面，即可使光線折射并匯聚于焦點的折射表面的形狀感興趣。望遠(yuǎn)鏡的使用清楚地說明，球形透鏡不能使平行光線匯聚于焦點。人們既然早已知道光線匯聚于焦點，經(jīng)拋物柱面反射可匯聚于焦點，自然而然地會嘗試用其他圓錐面來代替拋物面鏡。通過研究橢圓面及雙曲面，笛卡爾可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)他在《曲光學(xué)》一書中所證明的內(nèi)容，即假設(shè)光按正弦定理折射，則橢圓面或雙曲面形透鏡可匯聚平行的光線。由于沒有人愿意磨制真的橢圓面狀或雙曲面狀的透鏡來檢測這個定理，這個證明本身也就不成為使人接受正弦定律的理由。[2]56-57

但另外一個經(jīng)過證明的結(jié)果則促使人們接受了正弦定理。在他的論文《氣象學(xué)》中，笛卡爾指出，一次虹從不會出現(xiàn)在高于41°37′的天空，而二次虹不會在低于51°37′

的天空出現(xiàn)。其證明的依據(jù)是正弦定理，而觀察也證實了這個結(jié)論[2]57。

（未完待續(xù)）

本文為全國教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2011年度教育部重點課題“中國教育技術(shù)裝備發(fā)展史研究”（課題批準(zhǔn)號：DCA110188）部分研究成果“近代歐洲教育變革與教育技術(shù)裝備緣起：教育技術(shù)裝備的知識系統(tǒng)——內(nèi)環(huán)境建構(gòu)”（節(jié)選）。

作者：新喬、趙曉寧、任熙俊，《中國教育技術(shù)裝備》雜志社（100081）。