范運(yùn)靈

第Ⅰ卷（必做題?共160分）

一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分）

1.設(shè)集合A={x|1+log2x≤0}，B={x|14≤x≤2}，則A∩（瘙綂

RB）=????.

2.（2+2i）4（1-3i）5=????.

3.已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>0，b>0），A是橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，B是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).若AO·BF=BO·BF，則該橢圓的離心率為????.

4.已知一組正數(shù)x1，x2，x3，x4的方差為s2=14（x21+x22+x23+x24-16），則數(shù)據(jù)x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均數(shù)為????.

5.已知函數(shù)f（x）=3+log4x（1≤x≤16），則T=f2（x）+f（x2）的最大值是????.

6.如圖所示的程序框圖，其作用是：輸入x的值，輸出相應(yīng)的y值.若要使輸入的x值與輸出的y值相等，則這樣的x值有????個(gè).

7.加工某一零件需經(jīng)過(guò)三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為170、169、168，且各道工序互不影響，則加工出來(lái)的零件的次品率為????.

8.對(duì)于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an+1-an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1=2，數(shù)列{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)為2n，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=????.

9.已知函數(shù)f（x）=Acos（x+φ）+1（A≠0，-π2<φ<π2），其導(dǎo)函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸為x=π4，則函數(shù)f（x）與y軸最近的對(duì)稱(chēng)中心為????.

10.已知拋物線(xiàn)C：y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線(xiàn)為l，過(guò)M（1，0）且斜率為3的直線(xiàn)與l相交于點(diǎn)A，與C的一個(gè)交點(diǎn)為B.若AM=MB，則p=????.

11.函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意的x1，x2∈D，當(dāng)x1

12.若x，y滿(mǎn)足約束條件x+y≥1x-y≥-12x-y≤2，目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點(diǎn)（1，0）處取得最小值，則a的取值范圍是????.

13.已知坐標(biāo)平面內(nèi)定點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），M（4，0），N（0，4）和動(dòng)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），若AP·BP=3，OQ=（12-t）OM+（12+t）ON，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|PQ|的最小值是????.

14.在△ABC中，a、b、c分別為三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊，設(shè)向量m=（b，c+a），n=（b-c，c-a），且m⊥n.若直線(xiàn)y=bx+c過(guò)圓C1：x2+y2-2x-2y=1的圓心，則S△ABC的最大值為????.

二、解答題（本大題共6小題，共計(jì)90分）

15.（本小題滿(mǎn)分14分）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且滿(mǎn)足sinA+3cosA=2.

（1）求角A的大小;

（2）現(xiàn)給出三個(gè)條件：①a=2;②B=45°;③c=3b.

試從中選出兩個(gè)可以確定△ABC的條件，寫(xiě)出你的選擇，并以此為依據(jù)求△ABC的面積（只需寫(xiě)出一個(gè)選定方案即可，選多種方案以第一種方案記分）.

16.（本小題滿(mǎn)分14分）如圖所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，點(diǎn)M是棱BB1上一點(diǎn).

（1）求證：B1D1∥平面A1BD;

（2）求證：MD⊥AC;

（3）試確定點(diǎn)M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.

17.（本小題滿(mǎn)分14分）某單位有員工1000名，平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)10萬(wàn)元.為了增加企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力，決定優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，調(diào)整出x（x∈N*）名員工從事第三產(chǎn)業(yè)，調(diào)整后他們平均每人每年創(chuàng)造利潤(rùn)為10（a-3x500）萬(wàn)元（a>0），剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤(rùn)可以提高0.2x%.

（1）若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)不低于原來(lái)1000名員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，則最多調(diào)整出多少名員工從事第三產(chǎn)業(yè)？

（2）在（1）的條件下，若調(diào)整出的員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)始終不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)，則a的取值范圍是多少？

18.（本小題滿(mǎn)分16分）已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為2，且過(guò)點(diǎn)（4，-10）.

（1）求雙曲線(xiàn)方程;

（2）若點(diǎn)M（3，m）在雙曲線(xiàn)上，求證：MF1·MF2=0;

（3）求△F1MF2的面積.

19.（本小題滿(mǎn)分16分）已知函數(shù)f（x）=（a+1a）lnx+1x-x（其中a>0為常數(shù)）.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，判斷f（x）的極值是否存在，若存在，求出其極值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

（2）討論f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性;

（3）當(dāng)a∈[3，+∞）時(shí)，有f（e）>1e+k（k∈R），試求k的取值范圍.

20.（本小題滿(mǎn)分14分）將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多兩項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表：

a1

a2?a3?a4

a5?a6?a7?a8?a9

…

已知表中的第一列數(shù)a1，a2，a5，…構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，記為數(shù)列{bn}，且b2=4，b5=10.表中每一行正中間一個(gè)數(shù)a1，a3，a7，…構(gòu)成數(shù)列{cn}，其前n項(xiàng)和為Sn.

（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;

（2）若上表中，從第二行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，公比為同一個(gè)正數(shù)，且a13=1.

①求Sn;

②記M={n|（n+1）cn≥λ，n∈N*}，若集合M的元素個(gè)數(shù)為3，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

第Ⅱ卷（附加題共40分）

21.（本題包括A、B、C三小題，請(qǐng)選定其中兩小題作答）

A.（選修42：矩陣與變換）（本小題滿(mǎn)分10分）

已知a，b∈R，若矩陣M=-1ab3所對(duì)應(yīng)的變換把直線(xiàn)l：2x-y=3變換為自身，求M-1.

B.（選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）（本小題滿(mǎn)分10分）

在極坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)2ρcosθ+ρsinθ+a=0（a>0）被圓ρ=4sinθ截得的弦長(zhǎng)為2，求a的值.

C.（選修45：不等式選講）（本小題滿(mǎn)分10分）

已知a>0，b>0，n∈N*.求證：an+1+bn+1an+bn≥ab.

[必做題]第22題、第23題，每題10分

22.（本小題滿(mǎn)分10分）已知向量a=（x，3y），b=（1，0），且（a+3b）⊥（a-3b）.

（1）求點(diǎn)Q（x，y）的軌跡C的方程;

（2）設(shè)曲線(xiàn)C與直線(xiàn)y=kx+m相交于不同的兩點(diǎn)M、N，又點(diǎn)A（0，-1），當(dāng)|AM|=|AN|時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

23.在楊輝三角形中，每一行除首末兩個(gè)數(shù)之外，其余每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.

（1）試用組合數(shù)表示這個(gè)一般規(guī)律;

（2）在數(shù)表中試求第n行（含第n行）之前所有數(shù)之和;

（3）試探究在楊輝三角形的某一行能否出現(xiàn)三個(gè)連續(xù)的數(shù)，使它們的比是3∶4∶5，并證明你的結(jié)論.

第0行1

第1行1?1

第2行1?2?1

第3行1?3?3?1

第4行1?4?6?4?1

第5行1?5?10?10?5?1

第6行1?6?15?20?15?6?1

……

參考答案

一、填空題

1.（0，14）

2.-1+3i

3.5-12

4.4

5.21

6.3

7.370

8.2n+1-2

9.（π4，1）

10.2

11.1

12.（-4，2）

13.22-2

14.316

解析：1、解由a，所以0

2、解>0a

=f（x）.

3、解由k得a=0，即f（x）=2lnx+1x-x，

∴f′（x）=2x-1x2-1=-x2-2x+1x2=-（x-1）2x2=-1，即≤0，即f（x），（0，+∞）

兩邊同除以f′（x）=a+1ax-1x2-1=x2-（a+1a）x+1x2=-（x-a）（x-1a）x2，得x>0，a>0，解得0<a<1，由0<1a>1<1，∴x∈（0，a）時(shí)，f′（x）<0.

4、解由方差公式，s2=1n（x21+x22+…+x2n-nx2），得x=2，則所求平均數(shù)為

14[（x1+2）+（x2+2）+（x3+2）+（x4+2）]=x+2=4.

5、解∵函數(shù)>0的定義域滿(mǎn)足不等式a∴f（x），∴f（x）.

∵a∈[3，+∞）=f（e）>1e+k（k∈R），

∴ka的最大值為21.

6、解?由程序框圖可知：y=（x2（x2）2x3（2<x5）1x（x>5））

由（x2x2x）或（2<x52x3x）或（x>51xx）得x=0或x=1或x=3，所以滿(mǎn)足條件的x值有3個(gè)

7、解：加工出來(lái)的正品率為P1=6970×6869×6768=6770，∴次品率為P=1-P1=370.

8、解析：∵an+1-an=2n，

∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1

=2n-1+2n-2+…+22+2+2

=22n12+2=2n-2+2=2n.

∴Sn=22n112=2n+1-2.

9、解∵k的一條對(duì)稱(chēng)軸為a，則f（x）=2lnx+1x-x，

∴f′（x）=2x-1x2-1=-x2-2x+1x2=-（x-1）2x2.由-≤00，a>0，∴0

令1a>1，則x∈（0，a）時(shí)，f′（x）<0，

∴函數(shù)x∈（a，1）時(shí)，f′（x）>0的對(duì)稱(chēng)中心為f（x）（0，a）.其中與（a，1）軸最近的對(duì)稱(chēng)中心為a.

10、解?過(guò)B作BE垂直于準(zhǔn)線(xiàn)l于E，∵AM=MB，∴M為AB中點(diǎn)，∴|BM|=12|AB|.又斜率為3，∠BAE=30°，∴|BE|=12|AB|，∴|BM|=|BE|，

∴M為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，∴p=2.

11、解由f（0）=0，f（1-x）+f（x）=1，f（x3）=12f（x），得f（1）=1，f（13）=12，f（23）=12，因?yàn)?3<512<23，所以f（13）≤f（512）≤f（23），所以f（512）=12，所以f（13）+f（512）=1.

12、解畫(huà)出可行域，目標(biāo)函數(shù)可化為y=-a2x+12z，根據(jù)圖象判斷，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的斜率-1<-a2<2時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=ax+2y僅在點(diǎn)（1，0）處取得最小值，這時(shí)a的取值范圍是（-4，2）.

13、解由已知得P的坐標(biāo)滿(mǎn)足（x1+1，y1）·（x1-1，y1）=3，即x21+y21=4，動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿(mǎn)足（x2，y2）=（12t）（4，0）+（12t）（0，4），故x2=2-4t，y2=2+4t，即x2+y2=4.|PQ|的最小值即圓x2+y2=4上的點(diǎn)到直線(xiàn)x+y=4上的點(diǎn)的最小距離：最小距離為22-2，故|PQ|的最小值是22-2.

14.解?由x∈（0，a）時(shí)，f′（x）<0，得x∈（a，1）時(shí)，f′（x）>0，即f（x），

則（0，a）（a，1）.

圓a：x∈（0，1）的圓心為（1，1），又直線(xiàn)f′（x）=-（x-1）2x2<0過(guò)圓心，則f（x），

所以（0，1），當(dāng)且僅當(dāng)a>1時(shí)取等號(hào)，

因此0<1a<1=x∈（0，1a）.

二、解答題

15.解：（1）依題意得2sin（A+π3）=2，

即sin（A+π3）=1，

∵0

∴A+π3=π2，∴A=π6.

（2）方案一：選擇①②;

由正弦定理asinA=bsinB，得b=asinBsinA=22.

∵A+B+C=π，

∴sinC=sin（A+B）

=sinAcosB+cosAsinB=2+64.

∴S=12absinC=12×2×22×2+64=3+1.

方案二：選擇①③.

由余弦定理b2+c2-2bccosA=a2，

即b2+3b2-3b2=4，解得b=2，c=23，

所以S=12bcsinA=12×2×23×12=3.

說(shuō)明：若選擇②③，由c=3b得，sinC=3sinB=62>1不成立，這樣的三角形不存在.

16.（1）證明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)面BB1C1C是平行四邊形，得BB1∥DD1，

又∵BB1=DD1，∴BB1D1D是平行四邊形，

∴B1D1∥BD.

而B(niǎo)D平面A1BD，B1D1平面A1BD，

∴B1D1∥平面A1BD.

（2）證明：∵BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

∴BB1⊥AC.

又∵BD⊥AC，且BD∩BB1=B，

∴AC⊥平面BB1D.

而MD平面BB1D，∴MD⊥AC.

（3）解：當(dāng)點(diǎn)M為棱BB1的中點(diǎn)時(shí)，

平面DMC1⊥平面CC1D1D.

取DC的中點(diǎn)N，D1C1的中點(diǎn)N1，連接NN1交DC1于O，連接OM，如圖所示.

∵N是DC的中點(diǎn)，BD=BC，

∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD與平面DCC1D1的交線(xiàn)，

∵D1D⊥平面ABCD，而D1D平面DCC1D1，

∴平面ABCD⊥平面DCC1D1，

∴BN⊥平面DCC1D1.

∵NN1平面DD1C1C，∴BN⊥NN1.

又可證得O是NN1的中點(diǎn)，

∴BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四邊形.

∴BN∥OM.∴OM⊥DC，且OM⊥NN1，

又DC，NN1平面CC1D1D，且DC∩NN1=N，

∴OM⊥平面CC1D1D.

∵OM平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.

17.解：（1）由題意得：

10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，

即x2-500x≤0，又x>0，所以0

即最多調(diào)整500名員工從事第三產(chǎn)業(yè).

（2）從事第三產(chǎn)業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤(rùn)為10（a-3x500）x萬(wàn)元，從事原來(lái)產(chǎn)業(yè)的員工的年總利潤(rùn)為10（1000-x）（1+0.2x%）萬(wàn)元，

則10（a-3x500）x≤10（1000-x）（1+0.2x%），

所以ax-3x2500≤1000+2x-x-1500x2，

所以ax≤2x2500+1000+x，即a≤2x500+1000x+1恒成立，

因?yàn)?500x+1000x≥22x500×1000x=4，

當(dāng)且僅當(dāng)2x500=1000x，即x=500時(shí)等號(hào)成立.

所以a≤5，又a>0，所以0

18.（1）解：∵e=2，∴設(shè)雙曲線(xiàn)方程為x2-y2=λ.

又∵雙曲線(xiàn)過(guò)（4，-10）點(diǎn)，∴λ=16-10=6，

∴雙曲線(xiàn)方程為x2-y2=6.

（2）證明：法一?由（1）知a=b=6，c=23，

∴F1（-23，0），F(xiàn)2（23，0），

∴kMF1=m3+23，kMF2=m3-23，

∴kMF1·kMF2=m29-12=m2-3，

又點(diǎn)（3，m）在雙曲線(xiàn)上，∴m2=3，

∴kMF1·kMF2=-1，MF1⊥MF2，

∴MF1·MF2=0.

法二?∵M(jìn)F1=（-3-23，-m），

MF2=（23-3，-m），

∴MF1·MF2=（3+23）（3-23）+m2

=-3+m2.

∵M(jìn)在雙曲線(xiàn)上，∴9-m2=6，

∴m2=3，∴MF1·MF2=0.

（3）解：∵在△F1MF2中，|F1F2|=43，且|m|=3，

∴S△F1MF2=12·|F1F2|·|m|=12×43×3=6.

19.解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2lnx+1x-x，

f′（x）=2x-1x2-1=-x2-2x+1x2

=-（x-1）2x2≤0，

故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，因此不存在極值.

（2）f′（x）=a+1ax-1x2-1=-x2-（a+1a）x+1x2

=-（x-a）（x-1a）x2（x>0，a>0）

①當(dāng)01，故x∈（0，a）時(shí)，f′（x）<0，x∈（a，1）時(shí)，f′（x）>0，

此時(shí)f（x）在區(qū)間（0，a）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（a，1）上單調(diào)遞增;

②當(dāng)a=1時(shí)，由（1）知，x∈（0，1）時(shí)，有f′（x）=-（x-1）2x2<0恒成立，

此時(shí)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減;

③當(dāng)a>1時(shí)，則0<1a<1，故x∈（0，1a）時(shí)，f′（x）<0，x∈（1a，1）時(shí)，f′（x）>0，

此時(shí)f（x）在區(qū)間（0，1a）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1a，1）上單調(diào)遞增.

（3）由題意f（e）>k+1e，即a+1a+1e-e>1e+k，即e+k

設(shè)h（a）=a+1a（a≥3），則h′（a）=1-1a2=（a+1）（a-1）a2>0對(duì)a∈[3，+∞）恒成立，

∴h（a）在區(qū)間[3，+∞）上單調(diào)遞增，

∴h（a）min=h（3）=103.

所以e+k<103，∴k的取值范圍為（-∞，103-e）.

20.解：（1）設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，

則b1+d=4，b1+4d=10，解得b1=2，d=2，

所以bn=2n.

（2）①設(shè)每一行組成的等比數(shù)列的公比為q.

由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n2個(gè)數(shù)，且32<13<42，a10=b4=8，

所以a13=a10q3=8q3，又a13=1，所以解得q=12.

由已知可得cn=bnqn-1，

因此cn=2n·（12）n-1=n2n-2.

所以Sn=c1+c2+c3+…+cn

=12-1+220+321+…+n2n-2，

12Sn=120+221+…+n-12n-2+n2n-1，

因此12Sn=12-1+120+121+…+12n-2-n2n-1

=4-12n-2-n2n-1=4-n+22n-1，

解得Sn=8-n+22n-2.

②由①知cn=n2n-2，不等式（n+1）cn≥λ，可化為n（n+1）2n-2≥λ.

設(shè)f（n）=n（n+1）2n-2，

計(jì)算得

f（1）=4，f（2）=f（3）=6，f（4）=5，f（5）=154.

因?yàn)閒（n+1）-f（n）=（n+1）（2-n）2n-1，

所以當(dāng)n≥3時(shí)，f（n+1）

因?yàn)榧螹的元素個(gè)數(shù)為3，所以λ的取值范圍是（4，5].

附加題參考答案

21.A.對(duì)于直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)（x，y），在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下變換成點(diǎn)（x′，y′），

則-1ab3xy=-x+aybx+3y=x′y′，

因?yàn)?x′-y′=3，

所以2（-x+ay）-（bx+3y）=3，

所以-2-b=2，2a-3=-1，解得a=1，b=-4.

所以M=-11-43，

所以M-1=3-14-1.

B.直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為

2x+y+a=0，

圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4y，即x2+（y-2）2=4，

因?yàn)榻氐玫南议L(zhǎng)為2，所以圓心（0，2）到直線(xiàn)的距離為4-1=3，

即|2+a|5=3，因?yàn)閍>0，所以a=15-2.

C.證明：先證an+1+bn+1an+bn≥a+b2，

只要證2（an+1+bn+1）≥（a+b）（an+bn），

即要證an+1+bn+1-anb-abn≥0，

即要證（a-b）（an-bn）≥0，

若a≥b，則a-b≥0，an-bn≥0，

所以（a-b）（an-bn）≥0，

若a

所以（a-b）（an-bn）>0，

綜上，得（a-b）（an-bn）≥0.

從而an+1+bn+1an+bn≥a+b2，

因?yàn)閍+b2≥ab，

所以an+1+bn+1an+bn≥ab.

22.解：（1）由題意得a+3b=（x+3，3y），

a-3b=（x-3，3y），

∵（a+3b）⊥（a-3b），

∴（a+3b）·（a-3b）=0，

即（x+3）（x-3）+3y·3y=0.

化簡(jiǎn)得x23+y2=1，

∴Q點(diǎn)的軌跡C的方程為x23+y2=1.

（2）由y=kx+m，x23+y2=1

得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0，

由于直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

∴Δ>0，即m2<3k2+1.?①

（i）當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P（xP，yP），xM、xN分別為點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)，

則xP=xM+xN2=-3mk3k2+1，

從而yP=kxP+m=m3k2+1，

kAP=yP+1xP=-m+3k2+13mk，

又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN.

則-m+3k2+13mk=-1k，即2m=3k2+1，?②

將②代入①得2m>m2，解得0

由②得k2=2m-13>0，解得m>12，

故所求的m的取值范圍是（12，2）.

（ii）當(dāng)k=0時(shí)，|AM|=|AN|，

∴AP⊥MN，m2<3k2+1，解得-1

綜上，當(dāng)k≠0時(shí)，m的取值范圍是（12，2），

當(dāng)k=0時(shí)，m的取值范圍是（-1，1）.

23.解：（1）Crn+1=Crn+Cr-1n.

（2）1+2+22+…+2n=2n+1-1.

（3）設(shè)Cr-1n∶Crn∶Cr+1n=3∶4∶5，

由Cr-1nCrn=34，得rn-r+1=34，

即3n-7r+3=0.?①

由CrnCr+1n=45，得r+1n-r=45，

即4n-9r-5=0.?②

解①②聯(lián)立方程組，得n=62，r=27，

即C2662∶C2762∶C2862=3∶4∶5.