韋知辰

思考一道“無窮層指數(shù)塔”方程

有的小伙伴看到這題可能會覺得沒有思路.那么，先來看一道簡單點的題目，把0.333…轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù).

因為0.333…×10=3.333…，

首先設(shè)A=0.333…，

即10A=3+A，

則

對于方程∞x=2也可以利用此方法.

首先，設(shè)∞x=A，

所以A=2.

注意到底數(shù)x的指數(shù)還是一個相同的“無窮層指數(shù)塔”，

于是有xA=2

所以x2=2，

最后x=.

那么，大家來試試手，解一下∞x=4，

設(shè)∞x=A，

所以A=4，

所以xA=4，

x4=4，

x=

一氣呵成.等等，不知道大家有沒有發(fā)現(xiàn)問題，這兩道題的答案都是也就是說且也就是2=4.

這明顯違背了我們的常識，問題到底出在哪？為什么會得出這么離奇的結(jié)論？

來看一下問題出在哪里，對于m 個x（x＞0）組成的指數(shù)塔方程，我們把方程左邊（非常數(shù)項）記為mx，先取一些x的值，計算從1x到25x的值，探究它們的遞變規(guī)律.

圖1

可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x在一定范圍的時候，隨著m 從1增大到25，mx越來越接近一個值，而超過一個值之后，就會趨于無窮大.所以我猜想，在這兩種情況中，存在一個x0，使得當(dāng)x＞x0時，∞x為無窮大，而0＜x ≤x0時，∞x無限趨于一個定值N0.

假設(shè)∞x=N，由我們之前的算法可以得到

圖2

可以發(fā)現(xiàn)F（N）確實是有上確界的，也就是x是有范圍的，超過了這個范圍的x都是不可取的.

看看這個函數(shù)的極限：

由洛必達法則，

由此看來，該函數(shù)先增加到一個最大值，再逐漸遞減至1.

我們對該函數(shù)求導(dǎo)：

當(dāng)F′（N）=0時，解得N=e，

進一步解得

其實不難理解，就如同x2=N 取N 為-1一樣，我們便一眼就能看出來方程對于x∈R是無解的.那么對于∞x=4也是如此，當(dāng)N=4時，方程也無意義.

可以看到由于簡單直觀的方法，使很多人誤入了陷阱，忽略了小小的定義域從而得出了2=4的荒謬結(jié)論.禍患常積于忽微，不要為了圖方便就去忽視一些看起來正確的東西，畢竟“簡單直觀≠正確”！