結(jié)果。而有時(shí)用洛必達(dá)法則可輕松解決問題。洛必達(dá)法則是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，運(yùn)用洛必達(dá)法則要滿足以下條件。［例1］已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)，（1）當(dāng)a=4時(shí)，求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程；（2）若當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞0，求a的取值范圍。分析：根據(jù)已知條件，容易將參數(shù)a分離出來，接著構(gòu)造函數(shù)g(x)，并對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，通過判斷其函數(shù)的單調(diào)性，求g(x)的極值。我們發(fā)現(xiàn)g(x)在x=1 處沒有意義，不能求出g(x)的極值，這

究背景1.1 洛必達(dá)法則極限理論作為數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)，主要研究?jī)?nèi)容包含兩個(gè)部分：首要任務(wù)是對(duì)極限能否存在，即存在性進(jìn)行研究[1]，其次是求解極限的值。求極限值一直以來是眾多學(xué)者探討的問題，然而沒有形成一致的方法和步驟，只能根據(jù)具體情況進(jìn)行分析再采取合適的方法進(jìn)行求解。求極限值的方法有許多種，大家熟知的有夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界原理、Stolz公式等，但最常用最簡(jiǎn)潔的是L’Hospital法則。1.2 多元函數(shù)洛必達(dá)法則的發(fā)展背景多元函數(shù)的極限有累次極限和重極限

用高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則解決問題.1 題型舉例例1 設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex－1)－ax2.若當(dāng)x＞0時(shí),f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2 參考答案的求解過程f(x)＝x(ex－1)－ax2＝x(ex－1－ax).令g(x)＝ex－1－ax,則g′(x)＝ex－a.若a≤1,則當(dāng)x∈(0,＋∞)時(shí),g′(x)＞0,g(x)為增函數(shù),而g(0)＝0,從而當(dāng)x≥0時(shí),g(x)≥0,即f(x)≥0.若a＞1,則當(dāng)x∈(0,lna)時(shí),g′(x)＜0,g

多次求導(dǎo)，利用洛必達(dá)法則求端點(diǎn)臨界函數(shù)值的“最值”，最后得到參數(shù)的范圍.下面我們分類展示一些經(jīng)典高考題.類型1 分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)后，用洛必達(dá)法則保障范圍的完整性.例1 (2018年全國高考Ⅱ卷理科21題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.若f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.解析由零點(diǎn)概念知，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)就是f(x)=0只有一個(gè)解.即ex-ax2=0只有一個(gè)解.當(dāng)x>2時(shí)，n′(x)>0，當(dāng)0(*)如圖1，當(dāng)x→0時(shí)，x2→0，ex→1，圖1所

7000)1 洛必達(dá)法則的主要類型洛必達(dá)法則是在一定條件下對(duì)分子和分母分別求導(dǎo)，然后求極限，進(jìn)而獲得不定式值的解題方法。根據(jù)現(xiàn)有認(rèn)知水平，兩個(gè)無窮大之比或兩個(gè)無窮小之比的極限有存在的可能性，但也有不存在的可能性。因此，求解這類不定式極限時(shí)需要將其轉(zhuǎn)化為重要極限形式或運(yùn)用極限運(yùn)算法則的表達(dá)形式展開計(jì)算，而洛必達(dá)法則是求解這類不定式極限的通用方法。上述法則中，將a替換成∞，等式同樣成立[3]。上述法則中，將a替換成∞，等式同樣成立。1.3 其他類型不定式(2)

數(shù)學(xué)知識(shí)中的“洛必達(dá)法則”，對(duì)知識(shí)形成過程的教學(xué)方法進(jìn)行論述，希望能夠?yàn)橛嘘P(guān)教育工作者提供參考。1.分析高等數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀(1)教學(xué)方式單一。高等數(shù)學(xué)的教學(xué)方法還是局限在老師講學(xué)生聽的講解法，課堂是老師的舞臺(tái)，而學(xué)生只是可有可無的觀眾，沒有將學(xué)生作為課堂的主體性，無法帶動(dòng)學(xué)生在課堂上的積極性。(2)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)參差不齊，老師教學(xué)時(shí)又無法做到因材施教。(3)考核次數(shù)不合理，測(cè)評(píng)模式有待改進(jìn)。全國大部分的高校極少在平日安排模擬考試，只是教授知識(shí)卻不檢測(cè)，在平日

冪指函數(shù)公式、洛必達(dá)法則、中值定理以及麥克勞林公式等。拓展性未定式主要有：0∞、∞—∞、00、∞0和1∞型五種，可以通過取倒數(shù)、通分、對(duì)數(shù)變換等方法將拓展型未定式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)未定式。含變限積分未定式是幾種特殊形式未定式極限的典型案例，巧妙地化簡(jiǎn)積分符號(hào)是計(jì)算含有變限積分未定式極限的關(guān)鍵。常用的方法主要有：牛頓—萊布尼茲公式、洛必達(dá)法則與積分中值定理。其中，利用牛頓—萊布尼茲公式計(jì)算變限積分時(shí)，有些被積函數(shù)的原函數(shù)計(jì)算比較困難，甚至有些被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初

出2.4 利用洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則：若f(x)和g(x)滿足(2)在U°(x0)內(nèi)，f(x)與g(x)都可導(dǎo)，且g′(x)≠0；也就是把函數(shù)商的不定式極限，轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)商的極限.洛必達(dá)法則是求不定式極限的一種重要方法，也是最常用、最有效的方法之一，還可以簡(jiǎn)化計(jì)算.工作作風(fēng)主要是指的對(duì)待工作的態(tài)度，是消極怠工或者積極上進(jìn)。一個(gè)員工對(duì)待工作的態(tài)度將直接決定著他的工作業(yè)績(jī)，也會(huì)對(duì)林場(chǎng)的發(fā)展產(chǎn)生影響。工作作風(fēng)方面出現(xiàn)以下情況予以扣分處理：遲到或者早退；對(duì)于

的未定式極限，洛必達(dá)法則是其最佳解決方法。一、洛必達(dá)法則的內(nèi)容定理1[1]設(shè)（1）當(dāng)x→a時(shí)，函數(shù)f′（x）及F′（x）都是趨于零；（2）在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域內(nèi)，f′（x）及F′（x）都存在且F′（x）≠0；通常教科書上利用柯西中值定理、可導(dǎo)與連續(xù)的概念加以證明，這對(duì)于高職院校的學(xué)生理解起來是很困難的，為了學(xué)生能更好地理解洛必達(dá)法則邢星在洛必達(dá)法則的教學(xué)反思一論文中提出這樣的證明過程，以一個(gè)實(shí)例展開證明[2]。利用析零因子法，將分子、分母同時(shí)除以x-1得：

量、重要極限、洛必達(dá)法則等方法，在求解極限的過程中體會(huì)數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)化，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的緊密聯(lián)系，構(gòu)建條理清晰、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)框架.一、極限的定義數(shù)列極限的ε—N定義設(shè){an}為數(shù)列，a為定數(shù).若對(duì)任給的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)有|an-a|則稱數(shù)列{an}收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列{an}的極限，并記作函數(shù)極限的ε—δ定義設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x0的某個(gè)空心鄰域U°(x0；δ′)內(nèi)有定義，A為定數(shù).若對(duì)任給的ε>0，存在正數(shù)δ(|f(x)-A|則稱函數(shù)

求導(dǎo)問題，利用洛必達(dá)法則可以提升解答效率，有利于取得良好成績(jī)。一、不等式恒成立問題如果在等式或者不等式中存在兩個(gè)變量，而一個(gè)變量范圍已知、另一個(gè)變量范圍未知，并且可以借助恒等變形把兩個(gè)變量分別置于不等號(hào)或者等號(hào)兩邊，就可以把恒成立問題轉(zhuǎn)化成為函數(shù)最值問題求解[1]。二、洛必達(dá)法則相關(guān)內(nèi)容洛必達(dá)法則是在特定條件下借助分子分母求導(dǎo)再求極限，進(jìn)而確定未定式極限值的方法，普遍認(rèn)為該法則由法國數(shù)學(xué)家洛必達(dá)于1969年提出，不過該法則創(chuàng)造者為瑞士數(shù)學(xué)家約翰.伯努利，因

用參變分離法、洛必達(dá)法則，借助將函數(shù)不等式問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題的思想可解決函數(shù)中的參數(shù)求解問題，結(jié)合例題分析解題思路并與常規(guī)方法進(jìn)行比較。關(guān)鍵詞：參變分離法;洛必達(dá)法則變量求解問題是比較常見的問題，在很多領(lǐng)域都會(huì)遇到，在某些條件下已知一個(gè)或多個(gè)變量的取值范圍時(shí)，通常就會(huì)想利用已知變量求出其他變量的取值范圍。如果把這樣的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題可看作函數(shù)中的參數(shù)求解問題，所以解決函數(shù)中的參數(shù)求解問題就有效解決了很多實(shí)際遇到的變量求解問題，而且近幾年的數(shù)學(xué)高考?jí)狠S題

方法一：用四次洛必達(dá)法則大部分同學(xué)會(huì)想到用洛必達(dá)法則，不過計(jì)算過程相當(dāng)復(fù)雜，假如基本功不扎實(shí)，容易出錯(cuò)。2 方法二：用四階麥克勞林公式結(jié)果完全相同。3 方法三：用初等函數(shù)的四階麥克勞林公式由于4 方法四：用一次洛必達(dá)法則和初等函數(shù)的三階麥克勞林公式結(jié)果仍然相同。此題最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是將余弦函數(shù)單獨(dú)取極限1，導(dǎo)致如下錯(cuò)誤的解法：5 方法五：用一次洛必達(dá)法則和拉格朗日中值公式6 方法六：用一次洛必達(dá)法則和和差化積公式[2]7 M ATLAB驗(yàn)證在手工計(jì)算中很容

價(jià)無窮小代換、洛必達(dá)法則，等等。為了豐富求函數(shù)的極限方法，現(xiàn)總結(jié)介紹幾種高等數(shù)學(xué)教材中不常用的函數(shù)極限求解方法。1 利用微分中值定理求極限在利用微分中值定理時(shí)需要構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，而函數(shù)可以通過觀察極限的結(jié)構(gòu)來進(jìn)行合理構(gòu)造。其中ξ∈(1-4x2,1-x2)。當(dāng)x→0時(shí)，ξ=1(說明：本題也可用洛必達(dá)法則或泰勒展開公式求解。)2 利用泰勒展開公式求極限在求解函數(shù)極限時(shí)有時(shí)需要用到泰勒展開公式，尤其是一些初等函數(shù)的麥克勞林公式，如ex、sinx、cosx、ln(

林霖【摘 要】洛必達(dá)法則，是在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定不定式值的方法。利用洛必達(dá)法則求不定式極限在微分學(xué)中具有非常重要的地位。不定式類型不同，所用解決問題的方式也就不同。本文通過分析典型例題，對(duì)應(yīng)用洛必達(dá)法則求解不定式極限的幾種方式進(jìn)行分類歸納和總結(jié)?！娟P(guān)鍵詞】洛必達(dá)法則;不定式極限【參考文獻(xiàn)】[1]劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義-第4版[M].高等教育出版社，2003.[2]張?zhí)斓?，韓振來.數(shù)學(xué)分析輔導(dǎo)及習(xí)題精解[M].延吉：延邊大學(xué)出版社，2

1000)一、洛必達(dá)法則(部分)二、應(yīng)用舉例分析(一)(參數(shù)討論)：分析(二)(分離參數(shù))：對(duì)比上述兩種方法，方法一的分類討論難度較大，易出錯(cuò)，方法二的分離參數(shù)，應(yīng)用洛必達(dá)法則容易操作，更加實(shí)用。通過實(shí)例分析，我們看到，對(duì)于恒成立問題，用傳統(tǒng)的方法，過程量大，分類容易出錯(cuò)，而應(yīng)用洛必達(dá)法則，卻可以達(dá)到事半功倍的效果。

，所以.4運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限在函數(shù)極限問題的求解中，洛必達(dá)法則多用來求未定式極限，要求在點(diǎn)的空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且作分母的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不為零。在求函數(shù)極限時(shí)，對(duì)于型或型未定式，以及像型、型、型、型型等利用取倒數(shù)，通分或取對(duì)數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為或型未定式。這時(shí)，如函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則不適用，但極限仍可能存在，求這類未定式極限的有效方法就是洛必達(dá)法則。但并不是所有的或型未定式都能利用洛必達(dá)法則求極限，若無法斷定的極限狀態(tài)或能斷定它振蕩而無極限，則洛必達(dá)法則失效，

詞】高考改革;洛必達(dá)法則2014年9月，國務(wù)院發(fā)布《關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見》，這標(biāo)志著新一輪考試招生制度改革全面啟動(dòng)，浙江省2017年率先實(shí)施新的高考改革方案，語數(shù)外成為必考學(xué)科，每科150分，選考學(xué)科實(shí)行“7選3”，每科100分，每科可以考兩次，按最高分計(jì)算，錄取不分批次，平行投檔.廣東省將在2021年高考中實(shí)行新的高考改革方案，與浙江方案相差不大，由此可見，高考改革大勢(shì)所趨，有此而形成的競(jìng)爭(zhēng)將更加激烈，選修3科，可以考多次，按最好成績(jī)計(jì)算，

新困難.3. 洛必達(dá)隱身避超綱很多考生看不出當(dāng)x→0 時(shí)(2)其實(shí)我很贊成中學(xué)老師這種觀點(diǎn): 中學(xué)生提前學(xué)了大學(xué)知識(shí),只要用得正確, 就應(yīng)該鼓勵(lì)而不應(yīng)該打擊. 問題在于: 第一, 你用得正確嗎?第二, 既然人家見了“洛必達(dá)”三個(gè)字就要扣分, 你難道就沒有辦法回避這三個(gè)字, 換湯不換藥, 用中學(xué)教材上講過的方法將極限求出來?如果你真是“超綱”學(xué)會(huì)了大學(xué)微積分, 這兩個(gè)問題都迎刃而解.第一, 大學(xué)怎樣求這個(gè)極限? 不是用洛必達(dá)法則, 而是用的是微分學(xué)兩個(gè)基本極

值，故我們利用洛必達(dá)法則來估計(jì)F（x）在x=0處的值，以此來估計(jì)F（x）的最小值，這是利用極限的思想來處理函數(shù)在具有唯一單調(diào)性的開區(qū)間上的取值范圍問題.（2）這里之所以用洛必達(dá)法則，原因在于當(dāng)x=0時(shí)，F(xiàn)（x）無意義，且當(dāng)時(shí)，e正好可以符合洛必達(dá)法則，所以x=√2是一個(gè)類對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)，通過以上范例的分析知道，微分法是研究初等函數(shù)單調(diào)性的有效方法，本文直接利用導(dǎo)數(shù)的定義來求導(dǎo)函數(shù)的值域，以及利用極限的思想來處理函數(shù)在具有唯一單調(diào)性的開區(qū)間上的取值范圍問題，

叫做未定式。而洛必達(dá)法則，就是以導(dǎo)數(shù)為工具，研究未定式的極限的一種方法。關(guān)鍵詞 型未定式 洛必達(dá)法則中圖分類號(hào)：O171 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A在高等數(shù)學(xué)中，極限的計(jì)算是非常重要的，求解方法多樣。其中洛必達(dá)法則是求未定式極限的一種重要方法。一般未定式基本類型有型。在使用洛必達(dá)法則時(shí)，一定要注意使用的前提條件。本文結(jié)合學(xué)生在使用洛必達(dá)法則時(shí)較多出現(xiàn)的錯(cuò)誤，做出分析，并給出正確的解法。這對(duì)我們學(xué)習(xí)洛必達(dá)法則是非常有幫助的。預(yù)備知識(shí)：定理1.（型洛必達(dá)法則）設(shè)（1）時(shí)，

叫做未定式。而洛必達(dá)法則，就是以導(dǎo)數(shù)為工具，研究未定式的極限的一種方法。關(guān)鍵詞 型未定式 洛必達(dá)法則中圖分類號(hào)：O171 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A在高等數(shù)學(xué)中，極限的計(jì)算是非常重要的，求解方法多樣。其中洛必達(dá)法則是求未定式極限的一種重要方法。一般未定式基本類型有型。在使用洛必達(dá)法則時(shí)，一定要注意使用的前提條件。本文結(jié)合學(xué)生在使用洛必達(dá)法則時(shí)較多出現(xiàn)的錯(cuò)誤，做出分析，并給出正確的解法。這對(duì)我們學(xué)習(xí)洛必達(dá)法則是非常有幫助的。預(yù)備知識(shí)：定理1.（型洛必達(dá)法則）設(shè)（1）時(shí)，

最常用的方法是洛必達(dá)法則[2,3]，洛必達(dá)法則可以解決絕大多數(shù)的比式型的未定式極限，洛必達(dá)法則的出現(xiàn)是解決未定式極限問題的歷史性的一刻.為了借用洛必達(dá)法則基本解決未定式極限問題，將其余非比式型的未定式極限轉(zhuǎn)化為比式型的未定式極限也就顯得十分必要了.2 求解未定式極限的方法方法一：約去0因式定義1[1,2]若函數(shù)f(x)是由多個(gè)因式組成，函數(shù)u(x)滿足，且 f(x)=u(x)f1(x)，則稱 u(x)是 f(x)當(dāng) x→ω 時(shí)的一個(gè)0因式.若函數(shù)f1(x)

我們通常會(huì)使用洛必達(dá)法則去解決這一類極限。類似地，在解決0·∞、∞?∞、00、1∞、∞0這些類型的未定式極限時(shí)，也可先將其轉(zhuǎn)化成或型未定式，再求其極限.當(dāng)然，在使用洛必達(dá)法則求此類極限時(shí)有一定的使用條件，并且洛必達(dá)法則并不是解決上述類型的極限的最簡(jiǎn)便的方法。本文論述了運(yùn)用洛必達(dá)法則解決型未定式極限時(shí)遇見的若干問題，并且簡(jiǎn)述了復(fù)變函數(shù)中解析函數(shù)求極限時(shí)洛必達(dá)法則的使用條件。[1]1．洛必達(dá)法則定理1（柯西（Cauchy）中值定理）：函數(shù)f(x)，g(x)滿足

函數(shù)極限）三、洛必達(dá)法則我們知道，在求極限時(shí)，常會(huì)遇到兩個(gè)無窮小之比的極限或兩個(gè)無窮大之比的極限，這些極限有的存在，有的不存在，通常稱這類極限為“未定式”。利用第一章的方法求未定式的極限通常是困難的，本節(jié)介紹一種簡(jiǎn)單而有效的方法——洛必達(dá)(L'Hospital)未定式的極限求法。若當(dāng) 時(shí)，f(x)、g(x)均趨于0或者，則稱相應(yīng)的極限為型未定式。洛必達(dá)法則是解決求解型與型極限的一種有效方法，利用洛必達(dá)法則求極限只要注意以下三點(diǎn)：2.洛必達(dá)法則是分子與分母分

27400)用洛必達(dá)法則巧解函數(shù)含參問題胡意榮廣東省新興縣第一中學(xué) (527400)法則一：設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足：(2)在U°(a)內(nèi)，f′(x)和g′(x)都存在，且g′(x)≠0；法則二：設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足下列條件：(2)在U°(a)內(nèi)，f′(x)和g′(x)都存在，且g′(x)≠0；例1 (2016年全國新課標(biāo)卷2文科第20題)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(Ⅰ)當(dāng)a=4時(shí)，求曲線y=f(x)在(1,f(1))處

梁宗明●?賞析洛必達(dá)法則簡(jiǎn)解高考題甘肅省蘭州市蘭化一中(730060)梁宗明●分離參數(shù);洛必達(dá)法則;洛必達(dá)法則定理：若函數(shù)f(x)和g(x)滿足：②在點(diǎn)x0的某空心鄰域U0(x0)內(nèi)可導(dǎo)，且g′(x)≠0;例1 (2016全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(Ⅰ)略.(Ⅱ)若當(dāng)x∈(1,+)時(shí)，f(x)>0，求a的取值范圍.解析 依據(jù)條件容易分離參數(shù)a，由f(x)>0，(x+1)lnx-a(x-1)>0，因?yàn)閤∈(1,+)，所以x-1

088)?關(guān)于洛必達(dá)法則求不定式極限時(shí)的若干注記馬艷麗，丁 健，李海霞(安徽新華學(xué)院 公共課教學(xué)部，安徽 合肥 230088)洛必達(dá)法則是求不定式極限的一種重要而簡(jiǎn)便的方法. 文章詳述了用洛必達(dá)法則求不定式極限的技巧及必須注意的若干問題，并舉實(shí)例加以說明，使學(xué)生對(duì)法則的條件有了更深入的理解，從而提高了學(xué)生應(yīng)用洛必達(dá)法則解決問題的能力.洛必達(dá)法則；極限；導(dǎo)數(shù)0 引言洛必達(dá)法則[1]76-88,[2]103-116,[3]110-127是求不定式極限的有效方法

解法探究 ——洛必達(dá)法則在壓軸題中的解題應(yīng)用福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)(362000) 李仲青●解析 (Ⅰ)(Ⅱ)略.由洛必達(dá)法則得，故k≤1.由①②可得，k=1.筆者在近年的全國卷的高考試題中尋得數(shù)例，有興趣的讀者可以動(dòng)手驗(yàn)證，嘗試用此方法進(jìn)行求解.(Ⅱ)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0，求a的取值范圍．解析 (Ⅰ)略.(Ⅱ)由x(ex-1)-ax2≥0，可得ax2≤x(ex-1).(ⅰ)當(dāng)x=0時(shí)，不等式恒成立.又由洛必達(dá)法則得，>1，因此a≤1.綜上述：a≤1.(Ⅰ

若此類問題采用洛必達(dá)法則進(jìn)行解決，便會(huì)迅速破解.一、洛必達(dá)法則介紹：法則1若函數(shù)fx 和g（x）滿足下列條件：（1） limx→afx=0 及l(fā)imx→agx=0；（2）在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，fx與g（x）可導(dǎo)且g′（x）≠0；（3）limx→af ′xg′x=l，那么 limx→afxgx=limx→af ′xg′x=l.法則2若函數(shù)fx 和g（x）滿足下列條件：（1）limx→∞fx=0 及l(fā)imx→∞gx=0； （2）A>0，fx 和g（x）在-∞，A

開財(cái)?例析運(yùn)用洛必達(dá)法則求解二道導(dǎo)數(shù)壓軸題南昌大學(xué)附屬中學(xué) (330047)周開財(cái)(1)證明：當(dāng)λ=0時(shí)，f(x)≥0；(2)若當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.解法一：(1)當(dāng)λ=0時(shí)，f(x)=x+e-x-1，則f′(x)=1-e-x.令f′(x)=0,解得x=0.當(dāng)x0時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).故f(x)在x=0處取得最小值f(0)=0，即f(x)≥0.(2)由已知x≥0，∴e-x-1≤0.以上在處理第(2)

x）min.由洛必達(dá)法則得limx→0h（x）=limx→0+（x+1）2ln（x-1）-xx2=limx→0+2（x+1）ln（x+1）+x2x=limx→0+2ln（x+1）+32=32，所以，猜想得m≤32，下證（x+1）2ln（x+1）-xx2≥32.上式化為（x+1）2ln（x+1）-x-32x2≥0.令g（x）=（x+1）2ln（x+1）-x-32x2.則g′（x）=2（x+1）ln（x+1）-2x，g″（x）=2ln（x+1）>0.所以，g′

0000）關(guān)于洛必達(dá)法則求極限的教學(xué)總結(jié)張 蕾（山東職業(yè)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250000）本文結(jié)合教學(xué)實(shí)際對(duì)洛必達(dá)法則及其在求未定式極限方面的應(yīng)用進(jìn)行了分析，同時(shí)還分析了學(xué)生易錯(cuò)的洛必達(dá)法則求函數(shù)極限失效的情況。洛必達(dá)法則；未定式；極限求極限是微積分中的一項(xiàng)非?；A(chǔ)和重要的工作。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)對(duì)于普通的求極限問題，學(xué)生解決起來問題不大，但是對(duì)于形如的7種未定式，學(xué)生雖然能聯(lián)系到洛必達(dá)法則，但是經(jīng)常出錯(cuò)。一、洛必達(dá)法則及應(yīng)用（一）洛必達(dá)法則若函數(shù)f（x）與函數(shù)g（

4011)?對(duì)洛必達(dá)法則應(yīng)用的幾點(diǎn)思考范云曄(無錫開放大學(xué) 高職部，江蘇 無錫 214011)利用洛必達(dá)法則求未定式極限，是高等數(shù)學(xué)中求解極限的重要方法之一．針對(duì)運(yùn)用洛必達(dá)法則求解極限過程中應(yīng)注意的問題及其一個(gè)推廣，結(jié)合實(shí)例進(jìn)行分析和探討．極限；洛必達(dá)法則； 弱化定理0　引言1　正確理解洛必達(dá)法則的內(nèi)容，注意洛必達(dá)法則使用的前提條件1.1忽視洛必達(dá)法則的使用條件，擴(kuò)大其適用范圍1.2多次使用洛必達(dá)法則必須依次檢驗(yàn)使用的前提條件是否成立錯(cuò)解由洛必達(dá)法則可知，

理可得(5)由洛必達(dá)法則得(6)所以(7)(8)綜上所述, 引理中的(i)得證.(9)由洛必達(dá)法則得又由(6)式可得(10)綜上所述，故引理中的(ii)得證.2.主要結(jié)論(ii)當(dāng)α0時(shí)，函數(shù)f(x)在上均為嚴(yán)格遞增函數(shù).(11)① 當(dāng)00，f′(x)>0，從而f(x)在該區(qū)間上為嚴(yán)格遞增函數(shù)；② 當(dāng)α>1時(shí)，g(x)(ii)若α0時(shí)，由(11)式及(ii)，均有g(shù)(x)>0，則(x)>0，從而f(x)在區(qū)間均為嚴(yán)格遞增函數(shù).綜上所述，定理得證.由定理可知

變分離后結(jié)合“洛必達(dá)法則”解題，簡(jiǎn)化解題過程，幫助學(xué)生快速解題.2“洛必達(dá)法則”簡(jiǎn)介法則1若函數(shù)f（x）和g（x）滿足下列條件：（1）limx→af（x）=0及l(fā)imx→ag（x）=0；（2）在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f（x）與g（x）可導(dǎo)且g′（x）≠0；（3）limx→af′（x）g′（x）=l，那么limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=l.法則2若函數(shù)f（x）和g（x）滿足下列條件：（1）limx→∞f（x）=0及l(fā)imx→∞g（

極限，通常用到洛必達(dá)法則。定理1.1（洛必達(dá)法則） 若函數(shù)α(x)與β(x)滿足條件：(2)在點(diǎn) a的某去心領(lǐng)域內(nèi) α(x)與 β(x)可導(dǎo)，且 β'(x)≠0；(3)limx→a存在（或?yàn)椤蓿﹦t limx→a=limx→a注：（1） 極限過程改為 x→a+,x→a-,x→∞,x→-∞,x→+∞ 有類似的結(jié)論。（2）若 limx→a仍然滿足洛必達(dá)法則的條件，則可連續(xù)運(yùn)用該法則，即:limx→a=limx→a（3）若 limx→a不存在（不含∞）,不能斷言l

運(yùn)算題型。雖然洛必達(dá)法則是解決此類問題的一種重要的數(shù)學(xué)手段，但是對(duì)于一些題型來說這并不是最為有效的方法，應(yīng)根據(jù)問題的具體情況選取不同的方法。如換元法、取倒法、使用洛必達(dá)法則以及泰勒公式等。筆者在此對(duì)不同類型題型和方法做出相應(yīng)的歸納和總結(jié)，這有助于提高解決該類型問題的能力。二、0/0型未定式問題常見解題途徑1.0/0未定式題型首選洛必達(dá)法則直接應(yīng)用洛必達(dá)法則求解0/0型未定式問題是一個(gè)基本思路。但是在應(yīng)用該方法時(shí)的一個(gè)前提條件是函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算不是太繁瑣，同時(shí)

極限是可以利用洛必達(dá)法則求解的，洛必達(dá)法則是利用拉格朗日中值定理證明得出的.但在復(fù)分析的復(fù)變函數(shù)課程里，微分中值定理是不成立的，例如復(fù)指數(shù)函數(shù)ez就是一個(gè)周期函數(shù)，但是其導(dǎo)數(shù)恒不為0，明顯羅爾中值定理不成立，羅爾的后續(xù)定理如拉格朗日中值定理，柯西中值定理隨之亦不成立，本文進(jìn)行了詳細(xì)的闡述.另外，在z→z0時(shí)，分式未定式極限的求解中，我們會(huì)注意到z0點(diǎn)往往就是分子，分母的零點(diǎn)或者極點(diǎn)，而復(fù)變函數(shù)課程中對(duì)零點(diǎn)的階，極點(diǎn)的階是有詳細(xì)研究的，本文順勢(shì)給出了階的比較

的兩種方法；對(duì)洛必達(dá)法則的使用給出幾點(diǎn)說明。分段函數(shù)；求導(dǎo)；洛必達(dá)法則下面結(jié)合我對(duì)數(shù)學(xué)分析教學(xué)的實(shí)踐，就分段函數(shù)求導(dǎo)和洛必達(dá)法則的使用這兩個(gè)方面的問題進(jìn)行詳細(xì)的探討。一、分段函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法對(duì)于一般的函數(shù)，我們可用求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，但對(duì)于分段函數(shù)，求導(dǎo)過程略顯麻煩。其求導(dǎo)秉承的宗旨是整段上的函數(shù)導(dǎo)數(shù)直接求，分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)單獨(dú)求，在講導(dǎo)數(shù)定義時(shí)，我們首先接觸了用定義來求分段函數(shù)分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。1。定義法依次為依據(jù)，我們可以判定分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在

限，通常是通過洛必達(dá)法則求解。但是其中存在一些題型若直接利用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解，會(huì)使解題過程復(fù)雜難解甚至無法求出。此時(shí)可以利用初等變換中的恒等式和等價(jià)無窮小，將未定式式子進(jìn)行相應(yīng)的變化，從而使極限的求解過程簡(jiǎn)化?！啊毙秃汀啊毙臀炊ㄊ降慕夥?；洛必達(dá)法則；初等恒等變換；等價(jià)無窮小極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程之一，是數(shù)學(xué)分析的重要基礎(chǔ)，對(duì)該課程后續(xù)知識(shí)導(dǎo)數(shù)、積分等知識(shí)的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用。而在學(xué)習(xí)極限時(shí)，未定式極限的求解方法又是學(xué)習(xí)的重中之重，并且所有的未定式最

250300)洛必達(dá)法則的幾何意義*趙一博，李 娜(山東女子學(xué)院 基礎(chǔ)部，山東 濟(jì)南 250300)將0/0型未定式極限看作參數(shù)方程所確定的平面曲線在一定點(diǎn)的切線斜率，將∞/∞型未定式極限看作參數(shù)方程所確定的平面曲線在無窮遠(yuǎn)處一點(diǎn)切線的斜率.從參數(shù)方程的角度揭示了洛必達(dá)法則的幾何意義.洛必達(dá)法則；幾何意義；參數(shù)方程洛必達(dá)法則是求極限的有效工具，是微積分的必學(xué)內(nèi)容，常見的教科書中給出的該法則的證明大都利用柯西中值定理[1～3]，證明過程非常抽象，實(shí)際意義不明

達(dá)法則對(duì)比使用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解極限運(yùn)算， 是我們計(jì)算極限時(shí)的首選方式，而且在絕大多數(shù)情況下，確實(shí)也能夠獲得快而且準(zhǔn)確的結(jié)果。 但在一些復(fù)雜的求解中，洛必達(dá)法則并不具有優(yōu)勢(shì)，如帶有三角函數(shù)和反三角函數(shù)的加減運(yùn)算，因?yàn)槿呛瘮?shù)中sinx、cosx 的兩次導(dǎo)數(shù)就回到了本身。 現(xiàn)舉例說明無窮小代換求解極限運(yùn)算與羅比達(dá)法則對(duì)比：當(dāng)然，這需要熟記一些等價(jià)無窮小。 需要注意的是，等價(jià)無窮小的運(yùn)用往往不止一次，只要發(fā)現(xiàn)運(yùn)用洛必達(dá)法則運(yùn)算困難，則可以嘗試等價(jià)無窮小代換。3

換消去零因子、洛必達(dá)法則、無窮小代換等，有時(shí)候一道題目需要結(jié)合使用多種方法，才能化繁為簡(jiǎn)，快捷有效的得出結(jié)果.本文根據(jù)題目的具體形式，重點(diǎn)介紹洛必達(dá)法則和無窮小代換的適用情行、注意問題和使用技巧，使學(xué)生對(duì)計(jì)算不定式的極限問題有更深入的理解.極限；不定式；洛必達(dá)法則；等價(jià)無窮小1 關(guān)于洛必達(dá)法則定義1當(dāng)x→a（或x→∞）時(shí)，f(x)→0且g(x)→0的極限可能存在，也可能不存在，通常把這種極限叫型不定式.在所有的高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析教材里，一般都給出四種不同形

學(xué)習(xí)參考。1 洛必達(dá)法則求極限錯(cuò)誤原因:洛必達(dá)法則誤用。定理(洛必達(dá)法則)設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)在x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且滿足:(2)g'(x)≠0;正確解法如下:使用洛必達(dá)法則求數(shù)列極限應(yīng)注意:不能直接應(yīng)用該法則，可先求對(duì)應(yīng)的函數(shù)極限，再根據(jù)海涅定理得到數(shù)列的極限。海涅定理是溝通函數(shù)極限和數(shù)列極限之間的橋梁。根據(jù)海涅定理，求函數(shù)極限可化為求數(shù)列極限，同樣求數(shù)列極限也可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限。此處，只討論將數(shù)列極限問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限問題，以便能正確使用洛必達(dá)法