孫巧閣

（武警士官學(xué)校 浙江杭州 311400）

極限思想是高等數(shù)學(xué)的靈魂，而求極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)部分。求解函數(shù)極限的方法眾多。例如四則運算法，兩個重要極限、等價無窮小、除零因子法等，但對于無窮小比無窮小，以及無窮大比無窮大這樣極限不確定的未定式極限，洛必達法則是其最佳解決方法。

一、洛必達法則的內(nèi)容

定理1[1]設(shè)

（1）當x→a時，函數(shù)f′（x）及F′（x）都是趨于零；

（2）在點a的某個去心鄰域內(nèi)，f′（x）及F′（x）都存在且F′（x）≠0；

通常教科書上利用柯西中值定理、可導(dǎo)與連續(xù)的概念加以證明，這對于高職院校的學(xué)生理解起來是很困難的，為了學(xué)生能更好地理解洛必達法則邢星在洛必達法則的教學(xué)反思一論文中提出這樣的證明過程，以一個實例展開證明[2]。

利用析零因子法，將分子、分母同時除以x-1得：

由該例子我們會發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)商的極限在一定的條件下確實可以轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)商的極限，這就是法則內(nèi)容，并且這個一定條件是法則中的三個條件，這三個條件必須同時滿足缺一不可。

定理2[1]設(shè)

（1）當x→a時，函數(shù)f（x）及F（x）都是趨于無窮大；

（2）在點a的某個去心鄰域內(nèi)，f′（x）及F′（x）都存在且F′（x）≠0；

二、洛必達法則所解決的問題

（一）基本型未定式0型，∞型

（二）拓展型未定式0·∞型，∞-∞型，00 型，∞0 型，1∞型

1.0·∞型

2.∞-∞型

利用無窮大與無窮小的倒數(shù)關(guān)系以及有限個無窮小的代數(shù)和，乘積也是無窮小得：

3.00型，∞0型，1∞型

三、使用洛必達法則時應(yīng)注意的幾點問題

（一）洛必達法則使用誤區(qū)

1.不是未定式不能使用洛必達法則。

2.注意洛必達則是對分子分母分別求導(dǎo)，切勿與商的求導(dǎo)法則相混淆。

3.在滿足洛必達法則定理的條件下可以重復(fù)的使用。

4.數(shù)列極限不可以直接使用洛必達法則求解必須轉(zhuǎn)換函數(shù)進行求解。

（二）洛必達法則失效的情況

1.使用洛必達法則后極限不存在（非∞）振蕩。該情形主要是不滿足洛必達法則的第三條。

（三）法則的使用要注意與其他方法的結(jié)合使用

常用有等價代換（恒等變形）、等價無窮小代換等。

四、總結(jié)

洛必達法則是求解未定式極限的重要方法，其核心內(nèi)容是兩個函數(shù)商的極限在一定條件下可轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)商的極限，工具就是導(dǎo)數(shù)。并且從洛必達法則定理中我們可以悟出一個道理有時候輸?shù)牟皇瞧鹋芫€，而是過程中的速度。