張瑞玲

(中國船舶重工集團(tuán)公司第七二三研究所，江蘇 揚(yáng)州 225101)

0 引 言

與主動定位技術(shù)相比，被動定位技術(shù)因其隱蔽性和安全性好、成本低等優(yōu)點(diǎn)，在無線通信、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)(WSN)、衛(wèi)星導(dǎo)航、電子偵察等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。針對不同應(yīng)用場景的需求，先后提出了基于到達(dá)時(shí)間差(TDOA)、到達(dá)角(AOA)、接收信號強(qiáng)度(RSS)和到達(dá)頻差(FDOA)等以及它們的組合定位體制[1]。隨著高鐵、無人機(jī)、新一代北斗導(dǎo)航系統(tǒng)的發(fā)展，適合于高速運(yùn)動場景的定位體制越來越受到關(guān)注。在眾多的定位體制中，基于接收信號強(qiáng)度和到達(dá)角的定位系統(tǒng)，不需要精確的時(shí)間同步系統(tǒng)，更容易實(shí)現(xiàn)，更適合高速運(yùn)動場景。

對于接收信號強(qiáng)度定位系統(tǒng)而言，其對各定位站的硬件要求較低且容易實(shí)現(xiàn)，代表性的系統(tǒng)有RADAR[2],QRSS[3],SpotOn[4]和Nibble[5]等。針對RSS定位體制，先后提出了很多定位求解算法。最大似然(ML)類算法雖然具有理論上最優(yōu)且接近克拉美羅界(CRB)的性能，但是其實(shí)現(xiàn)需要多維搜索或非線性優(yōu)化，計(jì)算量過大，難以應(yīng)用于實(shí)時(shí)系統(tǒng)[1]。為此，研究人員提出很多低計(jì)算復(fù)雜度的方法，如半正定規(guī)劃(SDP)[6]、線性最小二乘(LLS)[7]、改進(jìn)線性最小二乘(IILS)[8-9]等。但是，現(xiàn)有RSS定位方法對大的RSS估計(jì)誤差條件下性能較差，且難以應(yīng)用于三維定位。

對于到達(dá)角定位系統(tǒng)而言，其定位精度高且無需精確時(shí)間同步系統(tǒng)，易于實(shí)現(xiàn)，代表性系統(tǒng)有APS[10]、SDP[11]、NCPS[12]等。與RSS定位體制類似，AOA定位體制理想最優(yōu)定位求解算法亦是ML算法，但是也同樣存在運(yùn)算量大的問題。其相應(yīng)的低計(jì)算復(fù)雜度方法與RSS體制類似，如LLS和ILLS[1]等。但是現(xiàn)有的AOA定位算法主要關(guān)注二維定位，對于三維定位的研究相對較少。針對三維AOA定位，Dogancay等人[13]首先提出利用方位和俯仰角的測向偽線性估計(jì)(BOPLE)方法，該方法的突出優(yōu)點(diǎn)是線性且易于實(shí)現(xiàn)，但是當(dāng)測向誤差增大的時(shí)候，線性近似的誤差會引起定位性能的急劇惡化。因此，文獻(xiàn)[14]提出利用坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的方法降低近似誤差。進(jìn)一步地，Dogancay等人[15]提出兩步加權(quán)輔助變量法對偏差進(jìn)行補(bǔ)償，有效地提高了定位性能。同時(shí)，Wang等人[16]提出了約束最小二乘法，具有漸進(jìn)最優(yōu)定位性能。但是，現(xiàn)有僅利用AOA的定位方法，其性能在大的角度測量誤差情況下，難以實(shí)現(xiàn)高精度定位，滿足實(shí)際應(yīng)用需求。

因此，針對上述僅利用RSS和AOA信息的定位，特別是三維定位，難以適應(yīng)大測量誤差定位需求的現(xiàn)狀，本文擬結(jié)合2種定位體制的優(yōu)勢，采用基于RSS和AOA的三維組合定位體制。首先，建立該定位體制的非線性定位方程；然后，利用一階泰勒展開得到近似線性定位方程；再次，為降低測量誤差的影響，提出基于加權(quán)最小二乘的定位求解算法；最后，通過仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與僅利用角度信息的BOPLE方法和僅利用RSS信息的ILLS方法相比，在大角度和接收信號強(qiáng)度測量誤差的情形下，本文所提基于RSS和AOA的三維組合定位方法可以有效地實(shí)現(xiàn)更高精度定位。

1 定位模型

如圖1所示，三維空間中有M個(gè)可同時(shí)提供AOA(包含方位角和俯仰角)與RSS測量值的觀測站，M個(gè)觀測站的位置為sm=[xm,ym,zm]T，m=1,2,…,M。假設(shè)空間中輻射源位置為p=[x,y,z]T，則第m個(gè)觀測站與輻射源的真實(shí)方位角、俯仰角分別為：

(1)

(2)

圖1 定位幾何模型

同時(shí)，令第m個(gè)觀測站接收到的輻射信號強(qiáng)度為Pm，由于信號強(qiáng)度通常受多種因素影響，直接利用信號強(qiáng)度的真實(shí)值意義不大，常常使用其相對值，即相對信號強(qiáng)度或到達(dá)增益比(GROA)。在這里，選擇第1個(gè)觀測站的輻射信號強(qiáng)度為參考，定義第m個(gè)觀測站的GROA為：

gm=Pm/P1

(3)

與文獻(xiàn)[17]類似，假設(shè)信號在自由空間視距傳播，且不存在多徑效應(yīng)，則式(3)中g(shù)m可表示為：

gm=rm/r1

(4)

為了實(shí)現(xiàn)定位，首先需要給出該測量模型下的定位方程。由式(1)、(2)可知：

rm=[x-xm,y-ym,z-zm]T=p-sm=rmam

(5)

式中：rm=‖p-sm‖，表示第m個(gè)觀測站與輻射源的距離；‖·‖表示向量的模值；am=[cosθmcosφm,sinθmcosφm,sinφm]T，上標(biāo)T表示矩陣轉(zhuǎn)置。

根據(jù)空間解析幾何理論可知：

Amp-Amsm=0

(6)

式中：Am=[b1m,b2m]T，b1m=[sinθm,-cosθm,0]T，b2m=[cosθmsinφm,sinθmsinφm,-cosφm]T

根據(jù)式(6)可知：

2p=(rmam+sm)+(r1a1+s1)=

s1+sm-(rm-r1)a1+rm(am+a1)

(7)

根據(jù)矩陣?yán)碚?，容易證明(am-a1)T(am+a1)=0，將其代入式(7)得：

2(am-a1)Tp=(am-a1)T·

[s1+sm-(rm-r1)a1]

(8)

利用式(4)中GROA和觀測站與輻射源的相對距離關(guān)系，式(8)可表示為：

(1+gm)(am-a1)Tp=(am-a1)T(sm+gms1)

(9)

從而，將M個(gè)式(6)和M-1個(gè)式(9)寫成如下定位方程：

h=Ap

(10)

但是，需要注意的是，觀測值總是存在誤差的，因此，在考慮觀測誤差的情況下，基于RSS和AOA的三維組合定位方程可表示為：

(11)

需要特別注意的是，這里的觀測誤差是由前述AOA和GROA的測量誤差引起的，其分布較為復(fù)雜。

2 求解方法

通常情況下，可以假設(shè)AOA和GROA的測量誤差服從零均值高斯分布，即：

[(εθ)T,(εφ)T,(εg)T]T～N(0,Q)

(12)

由式(11)知，由于定位方程各參量間的非線性關(guān)系，e的分布很復(fù)雜，其分布特征難以利用。因此，可以考慮對式(11)中噪聲項(xiàng)進(jìn)行一階泰勒近似，即：

(13)

(14)

B=blkdiag{B1,…,BM}

(15)

Bm=-rmdiag{cosφm,1}

(16)

Γ=[d,L]

(17)

(18)

L=blkdiag{-r2H2a1,…,-rMHMa1}

(19)

(20)

Σ=blkdiag{-r1(a2-a1)Ta1,

…,-r1(aM-a1)Ta1}

(21)

以上各式中，blkdiag和diag分別表示塊對角化和對角化。

經(jīng)過式(12)的近似可知，定位方程的觀測誤差Gη近似服從均值為0，協(xié)方差矩陣為GTQG的高斯分布。因此，可以對p求得其加權(quán)最小二乘估計(jì)為：

(22)

式中：W=(GTQG)-1表示加權(quán)矩陣。

輸入:θ～=[θ～1,…,θ～M]T,φ～=[φ～1,…,φ～M]T,g=[g2,…,gM]T,th,maxIter;輸出:^p=[^x,^y,^z]T;初始化:W(0)=I3 M-1,^p(0)=[0,0,0]T,j=0;WHILE j

圖2 算法偽代碼

3 性能分析

(23)

從而，本文所提算法的均方根誤差為：

E{Δp(Δp)T}≈(ATWA)-1=[(G-1A)TQ-1G-1A]-1

(24)

其次，分析本文所提基于接收信號強(qiáng)度和到達(dá)角的三維組合定位體制克拉美羅界。由文獻(xiàn)[14]可知，CRB矩陣的逆可由下式表示：

(25)

(26)

(27)

根據(jù)式(16)和式(26)可知：

BmFm=Am

(28)

接著，利用式(14)～(21)和式(26)～(27)，容易導(dǎo)出：

(29)

(30)

進(jìn)一步地，將式(30)代入式(25)，可以得到：

CRB-1(p)=E{Δp(Δp)T}

(31)

因此，本文所提算法性能與克拉美羅界一致。但是需要注意的是，本文所提算法中式(13)的近似要求觀測誤差較小時(shí)才可成立。因此，由以上分析可知，當(dāng)觀測誤差較小時(shí)，本文所提算法性能可以達(dá)到克拉美羅界。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

本節(jié)通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提算法及其相關(guān)性能分析。為了更加清晰地凸顯本文所提算法性能，選擇僅利用AOA信息的BOPLE[13]方法和僅利用RSS或接收信號強(qiáng)度信息的ILLS[9]算法用于對比。

仿真實(shí)驗(yàn)一：假設(shè)3個(gè)觀測站位置為s1=[1 000,0,0]T，s2=[0,1 000,0]T和s3=[0,0,1 000]T，輻射源位置為p=[500,500,500]T，各觀測站接收信號強(qiáng)度的測量值標(biāo)準(zhǔn)差均為10-3，改變AOA的測量值標(biāo)準(zhǔn)差，從10-2變化到101，每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差下，進(jìn)行1 000次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)估計(jì)的輻射源位置的均方根誤差(RMSE)，所得仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 算法性能隨到達(dá)角測量誤差的變化關(guān)系

根據(jù)圖3可知，本文所提算法在中等和小的角度測量誤差情形下，性能與CRB一致，當(dāng)測角誤差增大時(shí)，式(13)的近似誤差增大，引起較大的位置估計(jì)誤差。本文所提算法在圖中所有仿真參數(shù)條件下均優(yōu)于僅利用角度信息的BOPLE算法，而與僅利用接收信號強(qiáng)度信息的IILS算法相比時(shí)，較小的角度測量誤差時(shí)，可以明顯改善定位性能，但是角度誤差過大時(shí)，式(13)的近似誤差增大，反而造成算法性能差于IILS算法。

仿真實(shí)驗(yàn)二：固定AOA的測量值標(biāo)準(zhǔn)差為10-1，改變接收信號強(qiáng)度的測量值標(biāo)準(zhǔn)差，使其從10-4變化到10-1，其余仿真參數(shù)設(shè)置與仿真實(shí)驗(yàn)一相同，相應(yīng)的仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 算法性能隨接收信號強(qiáng)度測量誤差的變化關(guān)系

由圖4可知，與圖3類似，本文所提算法在中等以及較小的接收信號強(qiáng)度測量誤差情形下，性能與CRB基本一致，但是當(dāng)測角誤差增大時(shí)，式(13)的近似誤差增大，位置估計(jì)誤差明顯增大。與僅利用接收信號強(qiáng)度信息的IILS算法相比，本文所提算法始終更優(yōu)，而與僅利用角度信息的BOPLE算法相比時(shí)，由于接收信號強(qiáng)度測量誤差的增大會引起式(13)的近似誤差增大，進(jìn)而降低算法性能，使其差于BOPLE算法。

但是，從圖3和圖4可以看出，本文所提算法，無論是大的角度測量誤差還是大的接收信號強(qiáng)度測量誤差條件下，都可以實(shí)現(xiàn)有效的估計(jì)，即所提算法具有穩(wěn)健的三維定位性能。

5 結(jié)束語

本文結(jié)合接收信號強(qiáng)度定位體制和到達(dá)角定位體制二者的優(yōu)勢，建立基于RSS和AOA的三維組合定位體制。首先，建立該定位體制的非線性定位方程；然后，利用一階泰勒展開得到近似線性定位方程；再次，提出基于加權(quán)最小二乘的定位求解算法，有效地降低了測量誤差的不利影響；最后，通過理論性能分析和仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與僅利用角度信息的BOPLE方法和僅利用RSS信息的ILLS方法相比，在大角度和接收信號強(qiáng)度測量誤差的情形下，本文所提基于RSS和AOA的三維組合定位方法具有更穩(wěn)健的定位性能。