馮海亮

在初中幾何中，有關(guān)三角形、四邊形的問(wèn)題中時(shí)常會(huì)出現(xiàn)線段的中點(diǎn)，在這種情況下，我們可以聯(lián)想構(gòu)造三角形中位線，將圖形中分散的線段集中起來(lái)，從而解決問(wèn)題。

A.3 B.4 C.2 3 D.32

圖1

【解析】如圖2，取BC的中點(diǎn)G，連接EG，根據(jù)三角形的中位線定理得：EG=4。設(shè)CD=x，則EF=BC=2x，證明四邊形EGDF是平行四邊形，可得DF=EG=4。

圖2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理，通過(guò)輔助線構(gòu)造三角形的中位線是解題關(guān)鍵。

例2 如圖3，在△ABC中，用直尺和圓規(guī)作AB、AC的垂直平分線，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，連接DE。若BC=10cm，則DE= cm。

圖3

【解析】直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)，得出DE是△ABC的中位線，進(jìn)而得出答案。

解：∵用直尺和圓規(guī)作AB、AC的垂直平分線，

∴D為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，

∴DE是△ABC的中位線，

故答案為：5。

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了基本作圖以及線段垂直平分線的性質(zhì)，正確得出DE是△ABC的中位線是解題關(guān)鍵。

例3 如圖4，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分別為AC、CD的中點(diǎn)，∠D=α，則∠BEF的度數(shù)為 （用含α的式子表示）。

圖4

【解析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠DAC=90°-α，根據(jù)角平分線的定義、三角形的外角的性質(zhì)得到∠CEB=180°-2α，根據(jù)三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)得到∠CEF=∠DAC=90°-α，結(jié)合圖形計(jì)算即可。

解：∵∠ACD=90°，∠D=α，

∴∠DAC=90°-α，

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC=∠BAC=90°-α，

∵∠ABC=90°，E是AC的中點(diǎn)，

∴BE=AE=EC，

∴∠EAB=∠EBA=90°-α，

∴∠CEB=180°-2α，

∵E、F分別為AC、CD的中點(diǎn)，

∴EF為△ACD的中位線，

∴EF∥AD，

∴∠CEF=∠DAC=90°-α，

∴∠BEF=180°-2α+90°-α=270°-3α。

故答案為：270°-3α。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)、角平分線的定義，掌握三角形的中位線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。

例4 如圖5，在四邊形ABCD中，AB=CD，G、H分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線分別交GH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F，猜想∠AEH與∠DFH的關(guān)系，并說(shuō)明理由。

圖5

【解析】如圖6，連接BD，設(shè)BD的中點(diǎn)為M，連接HM、GM。利用三角形中位線，證得△HGM是等腰三角形，則∠MHG=∠MGH。利用三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)推知∠MHG=∠AEH，∠MGH=∠DFH，根據(jù)等量代換證得∠AEH=∠DFH。

解：∠AEH=∠DFH。

理由如下：如圖6，連接BD，設(shè)BD的中點(diǎn)為M，連接HM、GM。

圖6

∵點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，

∴∠MHG=∠AEH。

∴∠MGH=∠DFH，

又∵AB=CD，∴GM=HM，

∴∠MHG=∠MGH，∴∠AEH=∠DFH。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的中位線定理，熟練運(yùn)用三角形的中位線定理進(jìn)行線段轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵，構(gòu)造合理的輔助線是解題難點(diǎn)。

“有中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連中點(diǎn)，造中位線”，這是中點(diǎn)處理常見(jiàn)策略之一。只要你熟練掌握此策略，對(duì)于看不見(jiàn)的中位線，也能構(gòu)造合理的輔助線，任題目變化多端，也能叫它原形畢露！