(福州大學(xué) 機(jī)械工程及其自動(dòng)化學(xué)院，福州 350108)

0 引言

滾動(dòng)軸承作為機(jī)械設(shè)備特別是旋轉(zhuǎn)機(jī)械中最為關(guān)鍵的零部件，起著支撐主軸、傳遞力矩的作用，一旦發(fā)生故障將影響到整個(gè)機(jī)械設(shè)備的運(yùn)行狀態(tài)，甚至導(dǎo)致設(shè)備的嚴(yán)重?fù)p壞以及人員傷亡[1]。資料顯示，滾動(dòng)軸承故障約占旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障的30%[2]。由于發(fā)生故障的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)會(huì)受到運(yùn)行環(huán)境噪聲的干擾，此時(shí)直接進(jìn)行分析并不能夠準(zhǔn)確提取振動(dòng)信號(hào)的故障特征。

信號(hào)降噪的傳統(tǒng)方法主要有傅立葉變換，短時(shí)傅立葉變換、Wigner-Ville分布、小波變換，小波包變換等。對(duì)于滾動(dòng)軸承振動(dòng)的非平穩(wěn)故障信號(hào)，傅立葉變換只能在時(shí)域分析信號(hào)，頻譜并不能反映故障信號(hào)的局部信息；短時(shí)傅立葉變換在傅立葉變換的基礎(chǔ)上加窗，具有一定的局部分析能力，但是其窗函數(shù)固定不變，窗太窄會(huì)導(dǎo)致頻率分辨率差，窗太寬會(huì)導(dǎo)致時(shí)間分辨率低，故短時(shí)傅立葉變換還是無(wú)法滿足非穩(wěn)態(tài)信號(hào)變化的頻率的需求； Wigner-Ville分布在一定程度上彌補(bǔ)了傅立葉變換的不足，具有對(duì)稱性、時(shí)移性等優(yōu)良特性，但不是信號(hào)的線性變換，導(dǎo)致存在交叉干擾項(xiàng)；小波包分析只對(duì)低頻部分進(jìn)行分析，分解成低頻、高頻，在降噪過(guò)程中容易除去中高頻的有用故障信息；小波包分解方法是一種更加精細(xì)的分解，同時(shí)對(duì)高低頻進(jìn)行分解，克服小波分解在高頻段的頻率分辨率較差，而在低頻段的時(shí)間分辨率較差的缺點(diǎn)。目前，小波包閾值去噪在工程實(shí)踐中應(yīng)用廣泛，大多使用傳統(tǒng)的硬、軟閾值函數(shù)，均有一定的效果。但由于硬、軟閾值函數(shù)的形式固定不變，無(wú)法根據(jù)信號(hào)變化而自適應(yīng)調(diào)整，具有很大局限性。文獻(xiàn)[3]提出一種折中的閾值量化方法，雖然能夠在一定程度彌補(bǔ)硬、軟閾值函數(shù)降噪的不足，但其函數(shù)還是固定不變。文獻(xiàn)[4-5]根據(jù)軟、硬閾值函數(shù)提出一種引入調(diào)節(jié)因子的改進(jìn)閾值函數(shù)，但沒(méi)有說(shuō)明調(diào)節(jié)因子的選擇標(biāo)準(zhǔn)，也不能根據(jù)信號(hào)自適應(yīng)變化。因此，提出可隨信號(hào)自適應(yīng)變化的小波包閾值函數(shù)具有重要意義。

Torres等人[6]提出的具有自適應(yīng)噪聲的完整集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法(a complete ensemble empirical mode decomposition with adaptive noise,CEEMDAN)是對(duì)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解[7]作了進(jìn)一步改進(jìn)，在經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的每一階段添加自適應(yīng)白噪聲，通過(guò)計(jì)算其特定的余量來(lái)獲取各個(gè)模態(tài)分量IMF，其分解過(guò)程具有完備性并且能有效克服模態(tài)混疊現(xiàn)象的發(fā)生。

基于以上分析，提出一種基于排列熵改進(jìn)的小波包閾值函數(shù)和CEEMDAN的滾動(dòng)軸承故障信號(hào)分析算法，基本思路是首先對(duì)含噪的故障信號(hào)進(jìn)行改進(jìn)的小波包閾值降噪，接著對(duì)降噪信號(hào)進(jìn)行CEEMDAN，選擇相關(guān)系數(shù)大的IMF分量進(jìn)行包絡(luò)譜分析，提取故障特征頻率。結(jié)果表明此方法能夠有效消除噪聲和保留原始信號(hào)特征。

1 基本理論

1.1 小波包降噪思路

小波包分析是由小波分析發(fā)展而來(lái)的一種更加精確的方法。針對(duì)小波分析只在低頻部分分解的不足，小波包分解在對(duì)低頻部分分解的同時(shí)，也對(duì)高頻部分做分解，對(duì)信號(hào)的分析能力更強(qiáng)。

對(duì)平方可積實(shí)數(shù)空間L2(R)進(jìn)行多分辨率分析，得到小波包逼近空間的表達(dá)式為：

(1)

式中，Wj為小波函數(shù)空間；j為尺度因子，⊕為兩個(gè)子空間的“正交和”。

由式(1)可知，根據(jù)不同尺度因子j，將Hilbert空間L2(R)分解成小波空間Wj(j∈Z)的正交和，小波包分析就是按照二進(jìn)制對(duì)Wj進(jìn)行頻帶細(xì)分，以達(dá)到提高頻率分辨率的目的。

假設(shè)一維噪聲信號(hào)的表達(dá)式為：

X(i)=x(i)+α(i) (i=1,2,3,…,n-1)

(2)

式中，X(i)為含有噪聲的信號(hào)，x(i)為不含噪聲信號(hào)，α(i)為噪聲。

小波包降噪的基本思路是依據(jù)含噪信號(hào)X(i)選擇適當(dāng)?shù)男〔ò瘮?shù)和分解層數(shù)，將故障信號(hào)進(jìn)行小波包分解,高、低頻小波包系數(shù)經(jīng)過(guò)閾值函數(shù)的量化處理，最后將處理后的小波包系數(shù)重構(gòu)得到降噪信號(hào)。根據(jù)故障信號(hào)和環(huán)境噪聲在不同頻帶的不同特性，去除各節(jié)點(diǎn)的噪聲分量。在所測(cè)信號(hào)含有故障時(shí)，小波包分解得到的系數(shù)幅值較大的代表著所含故障信號(hào)x(i)，而系數(shù)幅值較小的部分基本上由環(huán)境噪聲α(i)所產(chǎn)生。降噪的主要目的是濾除信號(hào)中的噪聲，進(jìn)而小波包降噪的關(guān)鍵在于處理由噪聲產(chǎn)生的小波包系數(shù)，所以使用不同的閾值函數(shù)進(jìn)行降噪會(huì)產(chǎn)生不同的降噪效果。

1.2 排列熵算法

排列熵(Permutation Entropy,PE)是Bandt等[8]提出的一種檢測(cè)時(shí)間序列隨機(jī)性和動(dòng)力學(xué)突變的方法，PE具有概念簡(jiǎn)單，計(jì)算速度快，抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，并且特別適用于非線性數(shù)據(jù)的處理，其計(jì)算方法如下[9]。

考慮長(zhǎng)度N時(shí)間序列{x(i),i=1,2,…,3,N}，首先對(duì)其進(jìn)行相空間重構(gòu)，得到如下的時(shí)間序列：

(3)

其中：m為嵌入維數(shù)，λ為時(shí)間延遲。將x(i)的m個(gè)向量：按X(i)={x(i),x(i+λ),…,x(i+(m-i)λ)升序重新排列，即：

X(i)={x(i+(j1-1)λ)≤x(i+(j2-1)λ)

≤…≤x(i+(jm-1)λ)}

(4)

若存在{x(i+(ji1-1)λ)=x(i+(ji2-1)λ)}，則按j值大小進(jìn)行排序，即當(dāng)jk1

S(g)=[j1,j2,…,jm]

(5)

時(shí)間序列{x(i),i=1,2,…,3,N}的排列熵可以按照Shannon熵的形式定義為：

(6)

當(dāng)Pg=1/m時(shí)，HP(m)達(dá)到最大值In(m!)，因此可以通過(guò)In(m!)將排列熵HP(m)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，即：

HP=HP(m)/In(m!)

(7)

顯然，HP的取值范圍是0≤HP≤1。HP值的大小代表著時(shí)間序列的隨機(jī)性程度。HP越大，說(shuō)明時(shí)間序列月隨機(jī)，反之，則說(shuō)明時(shí)間序列越規(guī)律。

滾動(dòng)軸承故障信號(hào)中有用成分往往比較規(guī)律，而噪聲更隨機(jī)，因此可以依據(jù)排列熵來(lái)表征故障信號(hào)中的含噪狀態(tài)。文獻(xiàn)[10]研究指出噪聲會(huì)導(dǎo)致信號(hào)排列熵變大，而且含有噪聲越大，其排列熵越大。

圖1為兩端加有高斯白噪聲的正弦仿真信號(hào)及其排列熵。由圖可知，正弦信號(hào)受到較大噪聲干擾時(shí)，排列熵很大，當(dāng)噪聲消失時(shí)，排列熵會(huì)較低，隨著再次加入噪聲，排列熵再次變大，并且噪聲小，排列熵相對(duì)來(lái)說(shuō)也小。

圖1 仿真信號(hào)及其排列熵

2 改進(jìn)小波包閾值降噪算法

2.1 小波包硬、軟閾值函數(shù)

目前常用的是硬、軟閾值函數(shù)，其表達(dá)式如下。

硬閾值函數(shù)：

(8)

軟閾值函數(shù)：

(9)

式中，x為小波包系數(shù)，sign(·)為符號(hào)函數(shù)；T為閾值。

硬閾值函數(shù)是將絕對(duì)值小于閾值的小波系數(shù)變成零，而將絕對(duì)值大于閾值的小波系數(shù)予以保留，硬閾值函數(shù)不具有連續(xù)性，導(dǎo)致其重構(gòu)信號(hào)會(huì)產(chǎn)生振蕩。而軟閾值函數(shù)將絕對(duì)值大于閾值的小波系數(shù)時(shí)進(jìn)行收縮處理，減小小波系數(shù)。該方法使得降噪后的信號(hào)更加平滑，但因?yàn)闇p小絕對(duì)值較大的小波系數(shù)時(shí)造成恒定的偏差，從而影響了重構(gòu)信號(hào)與真實(shí)信號(hào)的逼近程度，造成部分高頻信息小波包系數(shù)損失。因此，有必要提出一種介于硬、軟閾值之間，并且能夠根據(jù)信號(hào)含噪情況自適應(yīng)變化的新閾值函數(shù)。

2.2 改進(jìn)小波包閾值函數(shù)

為了解決硬、軟閾值不能自適應(yīng)調(diào)節(jié)閾值函數(shù)的問(wèn)題，本文提出一種基于排列熵的改進(jìn)小波包閾值函數(shù)降噪方法，將排列熵作為調(diào)節(jié)因子，利用排列熵對(duì)噪聲的變化特性和小波包分解系數(shù)的噪聲特性，進(jìn)行自適應(yīng)降噪。

改進(jìn)閾值函數(shù)表達(dá)式如下：

(10)

式中，x為小波包系數(shù)，sign(·)為符號(hào)函數(shù)；T為閾值，P為小波包系數(shù)的排列熵值。

可知，信號(hào)排列熵值P取值范圍(0,1]，其值越大，則該小波包系數(shù)序列越隨機(jī)，也即含噪聲越多；反之，含有更少的噪聲。如圖2所示，P取值越大，閾值函數(shù)偏向具有更強(qiáng)收縮能力的軟閾值函數(shù)，此時(shí)有更好的降噪效果，特別P取值為1時(shí)，改進(jìn)閾值函數(shù)即為軟閾值函數(shù)；反之，P值越小趨于0，代表小波包系數(shù)序列越規(guī)律，含有用信號(hào)越多，此時(shí)閾值函數(shù)偏向硬閾值，更好的保留有用的故障信號(hào)。相比硬、軟閾值函數(shù)，此閾值函數(shù)可以根據(jù)故障信號(hào)小波包分解系數(shù)序列的含噪情況的變化而改變，具有一定的適應(yīng)性。

2.3 閾值估計(jì)方法及降噪效果指標(biāo)

(12)

(13)

降噪后信號(hào)的信噪比越高，原始信號(hào)和降噪后信號(hào)的均方根誤差越小，則越接近真實(shí)信號(hào)，降噪效果越好。

圖2 改進(jìn)閾值函數(shù)圖像

2.4 3種閾值函數(shù)降噪對(duì)比

用MATLAB常見(jiàn)的Doppler信號(hào)加入高斯白噪聲進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，對(duì)比3種閾值函數(shù)降噪效果。此處小波基選用db4小波，分解層數(shù)選取4層。排列熵的參數(shù)分別取嵌入維數(shù)為5、時(shí)間延遲為1。

表1為不同閾值方法降噪信號(hào)的信噪比(SNR)和均方根誤差(RMSE)。

圖3為加噪信號(hào)與分別采用硬閾值、軟閾值和改進(jìn)閾值函數(shù)處理的后的降噪信號(hào)。

表1 不同閾值降噪效果指標(biāo)對(duì)比據(jù)

通過(guò)對(duì)比3種方法的降噪結(jié)果，可以看出：硬閾值函數(shù)處理的重構(gòu)信號(hào)會(huì)產(chǎn)生振蕩，并沒(méi)有很好的濾除高斯白噪聲，原因是硬閾值函數(shù)在閾值處是不連續(xù)的；軟閾值函數(shù)是連續(xù)的，去噪信號(hào)平滑，但存在恒定差值，導(dǎo)致降噪過(guò)程會(huì)造成信號(hào)失真；改進(jìn)小波包閾值函數(shù)降噪能夠極大降低高斯白噪聲，并且克服硬閾值函數(shù)不連續(xù)和軟閾值函數(shù)恒定差等問(wèn)題，在去除噪聲同時(shí)更好的保留原始信號(hào)的故障特征。從表1指標(biāo)客觀來(lái)看，改進(jìn)的小波包閾值函數(shù)降噪后信噪比高于硬、軟閾值函數(shù)，并且均方根誤差最小，驗(yàn)證了改進(jìn)閾值函數(shù)的有效性。

圖3 原始信號(hào)和3種不同方法降噪對(duì)比圖

3 CEEMDAN算法原理

CEEMDAN為自適應(yīng)噪聲完備集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解，是在EMD方法基礎(chǔ)上多次改進(jìn)而得到的，能有效的抑制“模態(tài)混疊”現(xiàn)象的發(fā)生。定義符號(hào)M(·)表示局部均值的計(jì)算，符號(hào)Ek(·)表示由EMD方法分解得到的第K個(gè)IMF，符號(hào)ω(i)表示隨機(jī)產(chǎn)生的第i個(gè)均值為0，幅值為1的高斯白噪聲。

CEEMDAN算法的具體過(guò)程如下：

在上述步驟②中，參數(shù)βk表示在抽取第k+1個(gè)IMF時(shí)所添加噪聲的幅值，βk=ε0std(rk)，其中，符號(hào)std(·)代表計(jì)算信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)文獻(xiàn)[11]，當(dāng)ε0=0.2時(shí)，CEEMDAN算法能夠獲得較好的性能。本文的CEEMDAN參數(shù)設(shè)置，取添加白噪聲幅值為信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)差的0.2倍，集總平均次數(shù)為50。

4 軸承信號(hào)實(shí)例分析

為了驗(yàn)證本文提出方法的有效性，采用美國(guó)凱斯西儲(chǔ)大學(xué)(Case Western Reserve University)軸承故障數(shù)據(jù)[12]，利用上文提出的降噪分析方法進(jìn)行驗(yàn)證。選用驅(qū)動(dòng)端電機(jī)軸承故障數(shù)據(jù)，故障軸承為JEM SKF 6205-2RS深溝球軸承，軸承幾何參數(shù)：滾動(dòng)體直徑8 mm，滾動(dòng)體數(shù)9個(gè)，軸承節(jié)徑38.5 mm，接觸角0o。分別在軸承內(nèi)、外圈的單點(diǎn)電蝕故障振動(dòng)加速度信號(hào)，故障直徑為0.007 inch，轉(zhuǎn)速為1 750 r/min，采樣頻率12 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)4 096個(gè)，計(jì)算得到軸轉(zhuǎn)頻理論值29.17 Hz，內(nèi)圈的故障特征頻率理論值為157.94 Hz，外圈的故障頻率理論值為104.56 Hz。

首先取故障信號(hào)，選擇常用小波包基函數(shù)db4，分解層數(shù)為4，經(jīng)過(guò)改進(jìn)的小波包閾值函數(shù)得到變換后的小波包系數(shù)，然后重構(gòu)系數(shù)得到降噪后的信號(hào)，接著進(jìn)行CEEMDAN分解，根據(jù)相關(guān)系數(shù)篩選IMF，最后對(duì)有效的IMF進(jìn)行包絡(luò)譜分析。

4.1 內(nèi)、外圈降噪前后對(duì)比

根據(jù)2.2的閾值估計(jì)方法，對(duì)內(nèi)、外圈故障信號(hào)改進(jìn)小波包閾值降噪的閾值分別取0.5和0.4，降噪前內(nèi)、外圈的故障信號(hào)和由變換小波包系數(shù)重構(gòu)得到降噪后的時(shí)域圖分別如圖4～5所示，其包絡(luò)譜圖分別如圖6～7所示。對(duì)比時(shí)域圖可以看出，經(jīng)過(guò)改進(jìn)小波包閾值降噪后的信號(hào)時(shí)域圖中沖擊更加明顯，有效減少環(huán)境噪聲的干擾。對(duì)比包絡(luò)譜可以看出，在去除高頻噪聲同時(shí)，能夠有效的保留高低頻的有效故障信號(hào)，體現(xiàn)出改進(jìn)小波包閾值函數(shù)降噪方法的有效性。

圖4 內(nèi)圈降噪前后時(shí)域圖對(duì)比圖

圖5 外圈降噪前后時(shí)域圖對(duì)比圖

4.2 去噪信號(hào)的CEEMDAN分解

利用CEEMDAN對(duì)降噪后的內(nèi)、外圈信號(hào)進(jìn)行分解，由于故障特征主要集中在前幾個(gè)分量，故先提取前6個(gè)分量進(jìn)行觀察分析。

從圖8可以看出，內(nèi)圈分解后的前幾個(gè)分量都含有一定的沖擊特征信息，其中IMF1、IMF3包含有調(diào)制信號(hào)，IMF1沖擊特征非常明顯，IMF2無(wú)明顯的調(diào)制信號(hào)，其他分量的沖擊振幅均比較小。從圖9可以看出，外圈分解的前兩個(gè)分量都含有較強(qiáng)的沖擊特征信息，其中IMF1沖擊特征最明顯，IMF2相比IMF1較弱，并且均無(wú)明顯的調(diào)制信號(hào)。根據(jù)相關(guān)系數(shù)對(duì)內(nèi)、外圈前幾個(gè)分量進(jìn)行進(jìn)一步的刷選分析。

圖6 內(nèi)圈降噪前后包絡(luò)譜對(duì)比

圖7 外圈降噪前后包絡(luò)譜對(duì)比圖

圖8 內(nèi)圈降噪信號(hào)CEEMDAN分解的前6個(gè)IMF分量

圖9 外圈降噪信號(hào)CEEMDAN分解的前6個(gè)IMF分量

各分量IMF1IMF2IMF3IMF4IMF5IMF6內(nèi)圈0.85570.66520.23430.10270.01700.0040外圈0.96800.14460.01220.00870.01700.0079

表2是內(nèi)、外圈經(jīng)過(guò)CEEMDAN分解后前6個(gè)分量的相關(guān)系數(shù)。對(duì)比表中數(shù)據(jù)可看出內(nèi)、外圈前兩個(gè)IMF分量的相關(guān)系數(shù)比較大，代表前兩個(gè)分量包含主要的故障信息，分別對(duì)內(nèi)、外圈前兩個(gè)分量進(jìn)行包絡(luò)譜分析，為了便于觀察內(nèi)、外圈故障頻率，將代表頻率的x軸限定在[0,500]，如圖8至圖11所示。

各取前兩個(gè)分量進(jìn)行包絡(luò)譜分析。

圖10 內(nèi)圈降噪信號(hào)CEEMDAN分解的前兩個(gè)分量包絡(luò)譜

圖11 外圈降噪信號(hào)CEEMDAN分解的前兩個(gè)分量包絡(luò)譜

從內(nèi)、外圈前兩個(gè)IMF分量的包絡(luò)譜來(lái)看，均存在28.63 Hz對(duì)應(yīng)軸轉(zhuǎn)頻理論值29.17 Hz。其中內(nèi)圈前兩個(gè)包絡(luò)譜中明顯存在的157.4 Hz頻率沖擊，相當(dāng)于內(nèi)圈故障頻率理論值157.94 Hz，可以推斷軸承內(nèi)圈發(fā)生故障，此外還存在內(nèi)圈故障的調(diào)制頻率沖擊；同樣從外圈前兩個(gè)IMF分量的包絡(luò)譜來(lái)看，明顯存在的105.9 Hz頻率沖擊，相當(dāng)于外圈故障頻率理論值104.56 Hz，可以推斷軸承外圈發(fā)生故障，此外還有外圈故障倍頻沖擊存在。雖然理論值和真實(shí)值存在些許誤差，但整體上并不影響故障類型的診斷。

5 總結(jié)

在研究小波包分析中，針對(duì)傳統(tǒng)硬、軟閾值函數(shù)降噪的不足，提出一種基于排列熵的改進(jìn)小波包閾值降噪的方法，構(gòu)造了可根據(jù)信號(hào)自適應(yīng)變化的閾值函數(shù)。仿真信號(hào)試驗(yàn)結(jié)果表明，相比較硬、軟閾值函數(shù)，改進(jìn)的閾值函數(shù)能夠根據(jù)信號(hào)含噪情況調(diào)整閾值函數(shù)，具有更好的降噪效果。

CEEMDAN作為EMD的改進(jìn)算法，在每一次分解階段都添加自適應(yīng)白噪聲，有效克服模態(tài)混疊現(xiàn)象。將其與改進(jìn)的小波包分解結(jié)合應(yīng)用于滾動(dòng)軸承的故障分析中，發(fā)揮出兩者的優(yōu)勢(shì)。

利用美國(guó)凱斯西儲(chǔ)大學(xué)軸承故障數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，對(duì)內(nèi)、外圈故障信號(hào)進(jìn)行分析，結(jié)果表明此方法能夠減少噪聲干擾并有效保留有用的故障信息，具有一定的實(shí)用價(jià)值。