☉浙江省湖州市第五中學(xué)鳳凰校區(qū) 白 艷

規(guī)律性問題是近年來中考數(shù)學(xué)的熱點題，這種題型可考查學(xué)生觀察、比較、探索問題的能力.學(xué)生必須具有綜合的數(shù)學(xué)能力和實踐能力，才能較好地解答此類問題.在實際教學(xué)過程中，學(xué)生面對這種題目往往手足無措，無法找到其內(nèi)在關(guān)系.

針對學(xué)生的這一問題，筆者開設(shè)了一節(jié)專題復(fù)習(xí)課“探索數(shù)式規(guī)律性問題”，以期在方法上對學(xué)生進(jìn)行一些指導(dǎo)和幫助，并在第一次上課—評課、修改教學(xué)設(shè)計—第二次上課（不同班級）—課后反思的過程中學(xué)到了很多.

一、備課、教學(xué)初體驗

初中三年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，大多數(shù)學(xué)生對簡單的規(guī)律性問題的解決能做到得心應(yīng)手，但遇到偏難的問題時，會束手無策，因此在初次備課時，筆者的側(cè)重點在于較難的規(guī)律性問題，具體的教學(xué)設(shè)計如下：

師：今天我們來研究專題：規(guī)律性問題，在中考題中主要有以下幾種類型.

【初試數(shù)式規(guī)律】

呈現(xiàn)例題：

觀察下列數(shù)的排列規(guī)律，并完成填空.

1.1，4，9，16，25，______，49，…，則第100個數(shù)是______.

2.0，3，8，15，24，…，則第2002個數(shù)是______.

學(xué)生回答，教師點評，并提問：在解題時，你認(rèn)為解題的關(guān)鍵是什么？

解題錦囊：

編序號—找“關(guān)系”—驗證.

探囊取物：

1.古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1、3、6、10、15、21、…叫作三角形數(shù)，其中1是第1個三角形數(shù)，3是第2個三角形數(shù)，6是第3個三角形數(shù)，…，以此類推，那么第9個三角形數(shù)是____，2016是第____個三角形數(shù).

2.觀察下列等式：

……

按上述規(guī)律，回答以下問題：

（1）用含n的代數(shù)式表示第n個等式：an=______；

（2）a1+a2+a3+…+an=______.

3.下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：

那么，在第10個數(shù)、第11個數(shù)、第12個數(shù)、第13個數(shù)中，最大的數(shù)是（ ）.

A.第10個數(shù) B.第11個數(shù) C.第12個數(shù) D.第13個數(shù)

【再探圖形規(guī)律】

例題教學(xué)：如圖1，自左至右，第1個圖由1個正六邊形、6個正方形和6個等邊三角形組成；第2個圖由2個正六邊形、11個正方形和10個等邊三角形組成；第3個圖由3個正六邊形、16個正方形和14個等邊三角形組成……按照此規(guī)律，第n個圖中正方形和等邊三角形的個數(shù)之和為______.

圖1

解題錦囊：

編序號—找“關(guān)系”—驗證.

探囊取物：

如圖2，圖（1）是一個水平擺放的小正方體木塊，圖（2）、（3）是由這樣的小正方體木塊疊放而成的，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，至第7個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)應(yīng)是（ ）.

A.25 B.66 C.91 D.120

圖2

解題錦囊：

編序號—分類（累加、分區(qū)、循環(huán)）—找“關(guān)系”—驗證.

【三探坐標(biāo)系中的規(guī)律】

探囊取物：

1.如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=x+2交x軸于點A，交y軸于點A1，點A2、A3、…在直線l上，點B1、B2、B3、…在x軸的正半軸上，若△A1OB1、△A2B1B2、△A3B2B3、…依次均為等腰直角三角形，直角頂點都在x軸上，則第n個等腰直角三角形AnBn-1Bn的頂點Bn的橫坐標(biāo)為＿＿＿＿＿＿.

2.如圖4，一段拋物線：y=-x（x-2）（0≤x≤2）記為C1，它與x軸交于兩點O、A1；將C1繞點A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2，交x軸于點A2；將C2繞點A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3，交x軸于點A3……如此進(jìn)行下去，直至得到C6，若點P（11，m）在第6段拋物線C6上，則m=＿＿＿＿＿＿.

3.如圖5，正△ABO的邊長為2，O為坐標(biāo)原點，點A在x軸上，點B在第二象限，△ABO沿x軸作無滑動的翻滾，經(jīng)一次翻滾后得到△A1B1O，則翻滾3次后點B對應(yīng)的點的坐標(biāo)是＿＿＿＿＿，翻滾2017次后AB的中點M經(jīng)過的路徑長為＿＿＿＿＿.

圖3

圖4

圖5

二、評課及修改教學(xué)設(shè)計

課后，筆者進(jìn)行了深刻的教學(xué)反思，教學(xué)師傅也提出了建議和意見：在例題教學(xué)中，由于找規(guī)律題目可以有多種方法，學(xué)生疲于計算和接受，自主思考較少，教師講評較多，應(yīng)當(dāng)減少課堂容量，關(guān)注學(xué)生思考和互動；在練習(xí)環(huán)節(jié)，題目容量較大，計算量較大，學(xué)生無暇思考，課堂氛圍死氣沉沉，完全沒有達(dá)到預(yù)期目的，教師講評又太細(xì)，應(yīng)增加師生互動環(huán)節(jié)，減少題目數(shù)量.

三、二次上課，迸發(fā)教學(xué)“火花”

聽取了教學(xué)師傅的建議和意見，結(jié)合筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)的問題，筆者對教學(xué)設(shè)計進(jìn)行了一些修改：增加課前練習(xí)部分，啟發(fā)學(xué)生積極思考和互動；減少例題數(shù)量，同時積極啟發(fā)學(xué)生思考解題方法，主動獲取解題技巧.

【小試身手】

找規(guī)律，完成下列填空：

1.1，3，5，7，＿＿＿＿＿＿，11，13，…；

2.2，4，6，8，＿＿＿＿＿＿，12，14，…；

3.1，3，6，10，＿＿＿＿＿＿，21，28，…；

4.1，4，9，16，＿＿＿＿＿＿，36，49，…；

5.1，2，4，8，＿＿＿＿＿＿，32，64，…；

6.0，3，8，15，＿＿＿＿＿＿，35，＿＿＿＿＿＿，63，…；

7.2，6，12，20，＿＿＿＿＿＿，42，56，….

學(xué)生自主思考，然后分享解題技巧.

先呈現(xiàn)第1～5題，學(xué)生立刻找到答案，增強了學(xué)生的解題信心.第6～7題相對難度加大，學(xué)生解題速度減慢.完成后，學(xué)生回答.

生1：我發(fā)現(xiàn)第6題中的每個數(shù)都比第4題中的數(shù)少1，于是它的規(guī)律是n2-1.

生3：我發(fā)現(xiàn)第7題中的數(shù)的規(guī)律很簡單，就是n（n+1）.

師：同學(xué)們，你們發(fā)現(xiàn)了嗎？這7道題中的數(shù)，我們都可以用字母表示出它們的規(guī)律，那就還可以用函數(shù)思想解決這種題目?。?/p>

生4：哦，我明白了，把這些數(shù)設(shè)為y，把n當(dāng)作自變量，當(dāng)我找不到規(guī)律時就可以利用待定系數(shù)法解決了！

師：接下來我們試試吧.

【初探數(shù)式規(guī)律】

觀察下列等式：

……

按上述規(guī)律，回答以下問題：

（1）用含n的代數(shù)式表示第n個等式：an=______；

（2）a1+a2+a3+…+an=______.

教師適當(dāng)總結(jié)解題錦囊：

編序號—找“關(guān)系”—驗證.

【再探圖形規(guī)律】

例題教學(xué)：如圖1，自左至右，第1個圖由1個正六邊形、6個正方形和6個等邊三角形組成；第2個圖由2個正六邊形、11個正方形和10個等邊三角形組成；第3個圖由3個正六邊形、16個正方形和14個等邊三角形組成……按照此規(guī)律，第n個圖中正方形和等邊三角形的個數(shù)之和為______.

學(xué)生觀察、計算，教師板書：①6+6=12，②11+10=21，③16+14=30.

生1：我發(fā)現(xiàn)正方形的個數(shù)是6+5（n-1），等邊三角形的個數(shù)是6+4（n-1），所以個數(shù)之和是12+9（n-1）=9n+3.

生2：我發(fā)現(xiàn)后面一個數(shù)都比前一個數(shù)大9，所以規(guī)律是12+9（n-1）=9n+3.

生3：我用剛剛老師提到的函數(shù)思想試了一下，設(shè)個數(shù)和為y，函數(shù)解析式為y=kn+b，然后將（1，12）和（2，21）代入，解出解析式為y=9n+3，然后用（3，30）驗證了一下，發(fā)現(xiàn)解析式是正確的.

師：同學(xué)們思考出了很多解題方法，有的一眼就能看出，一下子看不出來時也可以考慮利用函數(shù)思想.不過一定要記住最后一步要驗證哦！

探囊取物：

如圖2，圖（1）是一個水平擺放的小正方體木塊，圖（2）、（3）是由這樣的小正方體木塊疊放而成的，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)疊放下去，至第7個疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)應(yīng)是（ ）.

A.25 B.66 C.91 D.120

學(xué)生獨立思考，大部分學(xué)生學(xué)會先編序號，然后找關(guān)系，而不是一頭霧水，無從下手.教師讓學(xué)生回答解題方法時，很多學(xué)生積極回答問題.

生1：我發(fā)現(xiàn)各數(shù)依次是1、1+5、1+5+9，即1、1+1+4=1×2+4×1、1+1+4+1+2×4=1×3+4×（1+2）、…，那么第n個數(shù)就是n+4×［1+2+…+（n-1）］=n+2n（n-1）=2n2-n.

生2：我是用函數(shù)思想解答的，我發(fā)現(xiàn)這幾個數(shù)之間的變化符合二次函數(shù)，因此設(shè)函數(shù)解析式為y=an2+bn+c，然后分別將（1，1）、（2，6）、（3，15）代入，得到函數(shù)解析式是y=2n2-n.

師總結(jié)：所以我們以后碰到找規(guī)律題目時可以先編號，然后通過觀察數(shù)之間的內(nèi)在規(guī)律或用函數(shù)思想解決.

這時，一學(xué)生舉手，說自己還有另外一種方法：我利用之前一道找規(guī)律題目（如圖6）找到了靈感.觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，則1+3+5+…+（2n-1）=n2.我觀察這幾個圖形的主視圖和左視圖發(fā)現(xiàn)它們正好符合這個規(guī)律，然后把主視圖和左視圖重復(fù)相加的部分n減去就可以了，因此這道題的規(guī)律就是2n2-n.

圖6

筆者、聽課的老師和全班學(xué)生無一不為之驚訝，都為其熱烈鼓掌，課堂氣氛達(dá)到高潮.

師：我們都學(xué)會如何解決找規(guī)律問題了，接下來，大家來試試第三種類型吧.

【三探坐標(biāo)系中的規(guī)律】

如圖5，正△ABO的邊長為2，O為坐標(biāo)原點，點A在x軸上，點B在第二象限，△ABO沿x軸作無滑動的翻滾，經(jīng)一次翻滾后得到△A1B1O，則翻滾3次后點B對應(yīng)的點的坐標(biāo)是_____，翻滾2017次后AB的中點M經(jīng)過的路徑長為_____.

四、二次評課

第二次的教學(xué)設(shè)計修改，得到備課組老師一致好評.這節(jié)課充分體現(xiàn)了教學(xué)相長的思想，教師在講授知識的同時與學(xué)生互動，學(xué)生也參與到教學(xué)活動中積極思考和熱烈討論，在這一過程中老師和學(xué)生都學(xué)到了新的技能和方法.

五、課后反思

在初中數(shù)學(xué)中，探索事物間的數(shù)量關(guān)系或變化規(guī)律是重要內(nèi)容，探索和理解簡單的數(shù)量關(guān)系，探索和理解運算律，探索和理解具體問題中的變化規(guī)律等，這些都是初中生要掌握的知識，因此培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生探索規(guī)律的能力十分重要.在本節(jié)課中，筆者著重從以下幾個方面進(jìn)行教學(xué)設(shè)計：

1.夯實學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)

在學(xué)生初中三年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，找規(guī)律題目出現(xiàn)的頻率較高，學(xué)生對其的熟悉度較高，但題型較多，學(xué)生難以找到解決問題的方法和技巧.因此在教學(xué)之初，設(shè)計幾個較簡單的找規(guī)律題目，學(xué)生在做題的同時，加深對找規(guī)律題的認(rèn)識和理解，夯實學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，易于接受知識點，為后續(xù)的教學(xué)活動做準(zhǔn)備.

2.給學(xué)生提供合適的素材

在經(jīng)歷第一次課的失利后，筆者深刻反思，課堂素材較多，較繁雜，計算量大，限制了學(xué)生的思考.經(jīng)過修改，課堂素材精簡，在教學(xué)之初呈現(xiàn)較簡單的找規(guī)律題目，學(xué)生在做題的同時發(fā)現(xiàn)解題技巧；在學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題技巧后，呈現(xiàn)一道數(shù)式規(guī)律題，學(xué)生在完成題目的同時，通過師生的交流和展示，學(xué)會運用多種技巧和方法解決問題；接下來依次呈現(xiàn)兩道圖形探索規(guī)律題，學(xué)生解題興趣濃厚，急于運用自己剛剛學(xué)到的方法解決，并在完成題目后獲得成就感.

3.積極啟發(fā)學(xué)生的思維

在小試身手環(huán)節(jié)，當(dāng)學(xué)生面對較難題目時，適當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生觀察前面幾道題中數(shù)的規(guī)律，尋找數(shù)之間的內(nèi)在規(guī)律，在學(xué)生展示后適當(dāng)提到函數(shù)思想.共同完成兩道題的解決后，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)并運用了函數(shù)思想解題，這時筆者提出函數(shù)思想，并適時提醒學(xué)生這種方法的好處及與其他方法的不同，拓展學(xué)生的解題思維.在學(xué)生想到新的解題策略時，為之鼓掌，表揚其發(fā)現(xiàn)問題、總結(jié)問題的好習(xí)慣，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中積極動腦思考、及時總結(jié)和反思，促進(jìn)學(xué)生更好地發(fā)展.

4.注重學(xué)生的自我展示

比較兩次課程設(shè)計，后者較重視學(xué)生的自我展示，學(xué)生在課堂上真正“有話可說”“有話能說”“有話想說”，成為課堂真正的主人，自主掌握自己的學(xué)習(xí)，并在學(xué)習(xí)過程中積極思考問題、參與課堂、學(xué)有所獲.

教學(xué)，顧名思義是教師的教和學(xué)生的學(xué)，是教師和學(xué)生之間的互動過程.離開學(xué)生的主動學(xué)習(xí)，課堂就會變成教師的“一言堂”，也就失去了教學(xué)的魅力，因此教師的教學(xué)應(yīng)適合學(xué)生發(fā)展，基于學(xué)生基礎(chǔ)，啟發(fā)學(xué)生思考，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，這樣才能在課堂上使學(xué)生真正參與到教學(xué)活動中，做到“有話可說”.