☉江蘇省海安市海陵中學(xué) 魏愛(ài)鳳

一道精彩的試題，不僅通俗易懂，關(guān)鍵是各層次的學(xué)生都能動(dòng)得了手，而且都能有所收獲；不僅本年級(jí)的學(xué)生能夠解決，甚至高年級(jí)的學(xué)生看到題目也覺(jué)得題目有趣；不僅能考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，而且通過(guò)試題能充分考查出學(xué)生的水平和潛力.本地區(qū)八年級(jí)上學(xué)期期末試卷的一道把關(guān)題就具有上述特點(diǎn).本文先呈現(xiàn)這道考題并概述學(xué)生的答題情況，再跟進(jìn)教學(xué)思考，拋磚引玉，供研討.

一、考題及學(xué)生解答情況概述

考題：已知x+=k，k為正實(shí)數(shù).

（1）當(dāng)k=3時(shí)，求x2+的值.

（3）小安設(shè)計(jì)一個(gè)填空題并給出答案，但被老師打了兩個(gè)“×”！如圖1.

圖1

小安沒(méi)看懂老師為什么指出兩個(gè)錯(cuò)誤.如果你看懂了，請(qǐng)向小安解釋一下！

學(xué)生解答情況概述：

解法1：從已知條件推出矛盾.

解法2：求出x+的取值范圍，運(yùn)用“公式a+b≥2”（.高中學(xué)習(xí)的基本不等式）

該方法需要學(xué)生有一定的建模能力，要求較高，部分教師補(bǔ)充過(guò)上述公式，少數(shù)學(xué)生能使用該方法，該方法的解釋是簡(jiǎn)潔有力的.

解法3：解方程得方程無(wú)解.

少數(shù)會(huì)解一元二次方程的學(xué)生會(huì)用該方法.

解法4：解出“虛根”.

如圖2，學(xué)生解法截圖如下：

圖2

只有一個(gè)學(xué)生有這樣的解法，可能該學(xué)生在校外機(jī)構(gòu)參加競(jìng)賽輔導(dǎo)時(shí)有教師提前培訓(xùn)過(guò)這類知識(shí).

二、考題的教學(xué)導(dǎo)向之思

1.考題引導(dǎo)鉆研教材

這道習(xí)題與整式乘除一章所學(xué)的配方變形密切相關(guān)，它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖3所示：

圖3

可見(jiàn)這道考題引導(dǎo)教師回歸教材，但又倡導(dǎo)從簡(jiǎn)單的“教教材”走向“用教材教”，即不只滿足于對(duì)教材習(xí)題的簡(jiǎn)單教學(xué)，而且要關(guān)注教材前后不同章節(jié)，關(guān)聯(lián)融通，促進(jìn)學(xué)生深刻理解相關(guān)知識(shí)，做到舉一反三，做一題，會(huì)一類.

2.考題引領(lǐng)“化錯(cuò)教學(xué)”

本題是一道完全平方公式、分式、二次根式的綜合題，考查學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算推理能力和對(duì)所學(xué)知識(shí)靈活運(yùn)用的能力，特別是對(duì)學(xué)生糾錯(cuò)與究錯(cuò)能力的培養(yǎng)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了全新的要求，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.這里可特別提及小學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師華應(yīng)龍老師近年來(lái)倡導(dǎo)的“化錯(cuò)教學(xué)”，即課堂教學(xué)中不但要重視糾錯(cuò)與究錯(cuò)教學(xué)，更重要的是善于在課堂教學(xué)中“誘錯(cuò)”“捉錯(cuò)”，并把這些錯(cuò)漏的“生成性資源”融入后續(xù)教學(xué)進(jìn)程，引導(dǎo)更多學(xué)生參與究錯(cuò)、評(píng)析，訓(xùn)練學(xué)生傾聽(tīng)、思辨與善于優(yōu)化的素養(yǎng).

3.考題倡導(dǎo)“開(kāi)放教學(xué)”

不少教師看到第（3）問(wèn)后，想起一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題“面積一定的矩形中，正方形的周長(zhǎng)最小”，誤認(rèn)為只有少數(shù)優(yōu)生能夠解決，后來(lái)通過(guò)閱卷發(fā)現(xiàn)這種擔(dān)心是多余的，學(xué)生的解法有很多，既有適合全體學(xué)生的普通解法，也有較難的解法，甚至有學(xué)生用初三和高中的知識(shí)來(lái)解決.這充分體現(xiàn)了不同學(xué)生對(duì)題目的理解深度的不同，學(xué)生的很多解法也值得教師好好學(xué)習(xí).這里可特別提及南京大學(xué)哲學(xué)系鄭毓信教授倡導(dǎo)的“開(kāi)放的數(shù)學(xué)教學(xué)”，即教學(xué)過(guò)程中要通過(guò)運(yùn)用開(kāi)放題促進(jìn)“開(kāi)放的數(shù)學(xué)教學(xué)”.這道考題第（3）問(wèn)的呈現(xiàn)方式就是引領(lǐng)“開(kāi)放式教學(xué)”的最好方式，即問(wèn)題的答案可以不是唯一的，但需要關(guān)注學(xué)生不同解法背后的依據(jù)、道理，讓不同學(xué)生上臺(tái)展示、講演他們的解法，引導(dǎo)其余學(xué)生傾聽(tīng)并評(píng)析不同解法，并學(xué)會(huì)批判性接受，優(yōu)選好的解法融入自己的知識(shí)體系.

三、考題的教學(xué)微設(shè)計(jì)

知易行難，以下本著教學(xué)研討的興趣，給出上文考題的講評(píng)教學(xué)微設(shè)計(jì).

問(wèn)題1：已知一個(gè)非零實(shí)數(shù)x，請(qǐng)用含x的式子表示它與它的倒數(shù)之和.

預(yù)設(shè)：x+.

追問(wèn)1：若x為正數(shù)，你會(huì)分析式子x+的最小值嗎？

追問(wèn)2：若x為負(fù)數(shù)，你會(huì)分析式子x+的最大值嗎？

預(yù)設(shè)：學(xué)生可以先猜想出最值，然后設(shè)法證明，初二學(xué)生可以用配方法解決.

問(wèn)題2：已知x+=k，k為正實(shí)數(shù).

（1）當(dāng)k=3時(shí)，求x2+的值；的問(wèn)題，則投影到黑板上，引導(dǎo)學(xué)生參與辨析這個(gè)問(wèn)題是否錯(cuò)誤，并安排全班討論，最后各組匯報(bào)不同的方法，教師跟進(jìn)評(píng)析.如果有學(xué)生的思路類似高中學(xué)習(xí)的基本不等式，也可給出“公式a+b≥2 Ｅ ”，并運(yùn)用配方法進(jìn)行推理證明.

四、寫(xiě)在后面

教學(xué)即研究.一次考試之后得到的不只是冰冷的分?jǐn)?shù)，也不只是區(qū)分了不同學(xué)生，其實(shí)還有很多值得我們?nèi)リP(guān)注和研究，如挑選一些“好的題目”深入分析學(xué)生答題情況，解讀并思考試題對(duì)我們教學(xué)有怎樣的導(dǎo)向作用，并構(gòu)思如何開(kāi)展講評(píng)教學(xué)，或者由一道題如何訓(xùn)練一類問(wèn)題，提升解題教學(xué)效果，還可以由一道題出發(fā)，思考該題與后續(xù)哪些知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)、呼應(yīng)，也就是求深、想透、學(xué)活的追求.