杜豫冬，朱武兵，韓海東，徐 楠，劉月林

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同心球殼-球體系感應(yīng)磁場(chǎng)的解析解

杜豫冬1，朱武兵1，韓海東1，徐 楠1，劉月林2

（1. 中國(guó)人民解放軍31011部隊(duì)，北京 100089；2. 海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院，武漢 430033）

考慮薄殼體和非薄殼體結(jié)構(gòu)的感應(yīng)磁場(chǎng)可提高艦艇感應(yīng)磁場(chǎng)數(shù)值建模精度，開(kāi)發(fā)相應(yīng)的磁場(chǎng)數(shù)值程序包時(shí)，磁場(chǎng)解析解模型是驗(yàn)證程序包數(shù)值準(zhǔn)確性的有效手段。同心球殼-球體系模型是驗(yàn)證同時(shí)考慮薄殼體和非薄殼體感應(yīng)磁場(chǎng)數(shù)值準(zhǔn)確性的理想模型?；诜蛛x變量法推導(dǎo)了該模型感應(yīng)磁場(chǎng)的解析解，以積分方程法和有限元法為參照，解析解誤差均在5%以內(nèi)，表明了導(dǎo)出解析解表達(dá)式的準(zhǔn)確性。

艦艇 感應(yīng)磁場(chǎng) 解析解 分離變量法 同心球殼-球體系模型

0 引言

艦艇磁場(chǎng)使得其更容易暴露于磁性兵器（魚(yú)水雷、反潛航空器）的威脅中，艦艇磁隱身水平對(duì)于艦艇安全力和戰(zhàn)斗力尤為重要[1-3]。磁隱身技術(shù)水平主要由磁場(chǎng)預(yù)測(cè)水平和消磁系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)水平?jīng)Q定。消磁勤務(wù)中，磁場(chǎng)預(yù)測(cè)及消磁系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)均是基于磁場(chǎng)實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)展開(kāi)。對(duì)于正在設(shè)計(jì)或建造的艦艇，采用數(shù)值方法獲取磁場(chǎng)仿真數(shù)據(jù)用于磁場(chǎng)預(yù)測(cè)和消磁系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究是切實(shí)可行、便捷的方法。即便對(duì)于已經(jīng)服役艦艇，艦艇磁場(chǎng)數(shù)值模型對(duì)于磁場(chǎng)的預(yù)測(cè)和消磁系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)也具有十分重要的參考意義。艦艇磁場(chǎng)數(shù)值建模方法主要包括有限元法[4,5]、積分方程法[6,7]、邊界元法[8]。在開(kāi)發(fā)各類數(shù)值程序包時(shí)，通常希望采用感應(yīng)磁場(chǎng)具有解析解的模型驗(yàn)證程序計(jì)算準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[9]推導(dǎo)了實(shí)心和空心鐵磁球體的感應(yīng)磁場(chǎng)解析解，已有效應(yīng)用于驗(yàn)證有限元法、積分方程法、邊界元法感應(yīng)磁場(chǎng)數(shù)值程序的準(zhǔn)確性。

對(duì)于實(shí)際艦艇，其鐵磁結(jié)構(gòu)可分為兩類：一類是薄壁結(jié)構(gòu)，主要包括艦艇外殼、艙壁等；另一類是非薄壁結(jié)構(gòu)，主要是一些大型艦載設(shè)備，比如大型吊車等。感應(yīng)磁場(chǎng)建模需同時(shí)考慮薄壁結(jié)構(gòu)和非薄壁結(jié)構(gòu)對(duì)感應(yīng)磁場(chǎng)的影響，開(kāi)發(fā)一種同時(shí)可考慮兩種結(jié)構(gòu)感應(yīng)磁場(chǎng)的數(shù)值程序包顯得尤為必要。因此需相應(yīng)地推導(dǎo)適用于驗(yàn)證同時(shí)考慮薄壁和非薄壁結(jié)構(gòu)感應(yīng)磁場(chǎng)數(shù)值程序準(zhǔn)確性模型的解析解。同心球殼-球體系模型（即實(shí)心球體外套一個(gè)同心球殼體）感應(yīng)磁場(chǎng)解析解模型非常適用于驗(yàn)證感應(yīng)磁場(chǎng)數(shù)值程序，本文基于分離變量法推導(dǎo)該模型感應(yīng)磁場(chǎng)的解析解。

1 問(wèn)題的描述

圖1 垂向激勵(lì)場(chǎng)作用下的球體?球殼體模型

在激勵(lì)磁場(chǎng)的作用下，四個(gè)分區(qū)均存在感應(yīng)磁場(chǎng)，本文推導(dǎo)各分區(qū)感應(yīng)磁場(chǎng)解析解表達(dá)式。

2 各區(qū)域感應(yīng)磁場(chǎng)的解析解

根據(jù)邊界條件與參考磁位條件，借鑒空心球殼附加磁場(chǎng)解析解推導(dǎo)的相關(guān)結(jié)論[9]，各區(qū)域磁位可表示為：

式中：

2.1 V1區(qū)磁場(chǎng)解析解（實(shí)心球內(nèi)）

2.2 V2區(qū)磁場(chǎng)解析解（空氣間隙）

2.3 V3區(qū)磁場(chǎng)解析解（鐵殼層內(nèi)）

2.4 V4區(qū)磁場(chǎng)解析解（外部空氣空間）

3 驗(yàn)證與分析

3.1 驗(yàn)證算例

分別以積分方程法和有限元數(shù)值結(jié)果為參照，磁感應(yīng)強(qiáng)度各分量的誤差分析見(jiàn)表1，其中XZ分量（X的含義為分量激勵(lì)引起的附加磁感應(yīng)強(qiáng)度的分量，Y和Z的物理含義類似）采用平均相對(duì)誤差（，定義見(jiàn)式(15)）為評(píng)估指標(biāo)，解析解為0，以最大絕對(duì)誤差考察數(shù)值誤差。可看出，和的平均相對(duì)誤差在4.5%以內(nèi)，的最大絕對(duì)誤差在5 nT以內(nèi)，表明了模型感應(yīng)磁場(chǎng)解析求解的準(zhǔn)確性。

表1 實(shí)驗(yàn)算例誤差分析

3.2 球殼體對(duì)內(nèi)部球體磁場(chǎng)的屏蔽系數(shù)

其中，實(shí)心球體模型和同心球殼-球體系模型中的實(shí)心球體部分坐標(biāo)系、尺寸和磁性參數(shù)均相同。

4 結(jié)論

為便于驗(yàn)證同時(shí)考慮薄殼體和非薄殼體感應(yīng)磁場(chǎng)數(shù)值程序包計(jì)算準(zhǔn)確性，基于分量變量法推導(dǎo)了同心球殼-球體系模型感應(yīng)磁場(chǎng)的解析解。具體模型算例的有限元和積分方法結(jié)果檢驗(yàn)了所推導(dǎo)的解析解表達(dá)式的準(zhǔn)確性。同心球殼-球體系模型和實(shí)心球體、球殼體模型組成了驗(yàn)證艦艇磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算精度的系列標(biāo)準(zhǔn)模型，對(duì)于艦艇磁場(chǎng)數(shù)值研究具有重要意義。

[1] Holmes J J. Exploitation of a ship’s magnetic fie-ld signatures (synthesis lectures on computational electromagnetics)[M]. Morgan and Claypool Publi-shers, 2006: 16-25.

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[10] 朱武兵, 莊勁武, 趙文春等. 載體感應(yīng)磁場(chǎng)的改進(jìn)積分方程法[J]. 國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2018, 40(3): 101-106.

Analytical Solution of the Induced Magnetic Field of Concentric Shell Sphere and Solid Sphere System

Du Yudong1, Zhu Wubing1, Han Haidong1, Xu Nan1, Liu Yuelin2

(1. PLA 31011, Beijing 100089, China; 2. College of Electrical Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

O441.3

A

1003-4862（2019）05-0039-03

2018-10-16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（41476087）

杜豫冬（1978-），男，高級(jí)工程師。研究方向：指揮自動(dòng)化監(jiān)控技術(shù)與電磁環(huán)境監(jiān)測(cè)技術(shù)。E-mail: 13488661081@139.com

朱武兵（1989-），男，博士。研究方向：電磁環(huán)境與防護(hù)技術(shù)。E-mail: beonlyzwb@163.com