黃忠乾，羅 勇，劉本瑩

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

某些疾病的傳染力一方面取決于體內(nèi)所含病毒的水平，例如登革熱、乙肝、HIV，另一方面取決于染病者個(gè)體與易感者群體之間的接觸力度，例如肺結(jié)核患者因交際活動(dòng)與不同范圍易感群體接觸造成不同程度傳染.對(duì)于前者，相關(guān)文獻(xiàn)提出了一類(lèi)具有不同傳染力的艾滋病模型[1-2]、染病者具有不同傳染力的SI1I2R模型[3-4]，對(duì)于后者的相關(guān)研究較少.

基于上述模型的機(jī)理和傳染病動(dòng)力學(xué)模型及控制策略[3]，本文考慮帶有人口遷入、具有不同傳染力且加入潛伏期的傳染病模型，傳染率為非線(xiàn)性，R治愈者終身免疫，建立SEI1I2R傳染病模型.模型的基本假設(shè)和建立如下：

1）易感者被傳染進(jìn)入潛伏期，經(jīng)歷潛伏期后成為具有不同傳染力的I1、I2兩類(lèi)染病者，治愈后終身免疫；

2）單位時(shí)間內(nèi)人口的遷入數(shù)量A均是易感者；

3）第Ii類(lèi)染病者的死亡率為

4）種群的自然死亡率為μ；

5）第Ii染病者的治愈率為

6）潛伏者有可能成為第Ii類(lèi)染病者的概率為

8）S,E,I1,I2,R分別為易感者、潛伏者、I1類(lèi)染病者、I2類(lèi)染病者、治愈者倉(cāng)室.

在上述假設(shè)下的傳染病傳播倉(cāng)室圖見(jiàn)圖1，建立模型如下：

圖1 傳染病傳播倉(cāng)室Fig 1 The Propagation Chamber for Infectious Disease

1 無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

由于模型的前4個(gè)方程沒(méi)有出現(xiàn)R(t)，故只考慮下面模型：

將模型（2）的4個(gè)方程相加可得到：

證明：P0的存在唯一性顯然.下面構(gòu)造基本再生數(shù)[5]，令矩陣

從而再生矩陣[6]故有：

定義1[7]考慮系統(tǒng)令B是g(w)在平衡點(diǎn)w0處的Jacobian矩陣.若矩陣B的所有特征值都小于零，則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)w0處局部漸近穩(wěn)定；若矩陣B的所有特征值都大于零，則平衡點(diǎn)w0不穩(wěn)定.

引理1[8]考慮多項(xiàng)式方程所有根具有負(fù)實(shí)部的充要條件是：其中j>n時(shí)，補(bǔ)充定義

證明：系統(tǒng)（2）在P0處的Jacobian矩陣為：

顯然λ=-μ是的一個(gè)特征根，的其余特征根，由方程決定，其中c1=(1+μ+d1+d2)>0，c2=[d1(1+μ)+d2(1+μ)+d1d2-P1a-P2a]>0，c3=

由引理1可得：

由于R0<1，也就意味著：

因此，H2>0.

由H2>0可得

由定義1得證，當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)P0是局部漸近穩(wěn)定的，相反R0>1時(shí)不穩(wěn)定.

由模型（2）求最后兩個(gè)方程可得：

把（4）式代入模型（2）的第二個(gè)方程可得：

把（4）式和（5）式代入模型（2）的第三個(gè)方程有：

當(dāng)R0<1時(shí)，（6）式右端d1(R0-1)I1<0，由微分方程的性質(zhì)知：

R0>1時(shí)，（6）式右端d1(R0-1)I1>0，I1(t)不收斂，即I1(t)不穩(wěn)定.

同理可得，R0<1時(shí)，

相應(yīng)地有：

故R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定的，R0>1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定.

2 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

模型（2）的地方病平衡點(diǎn)P*=(S*,E*,I1*,I2*)是方程

在集合Γ內(nèi)的解，其中di=(μ+ai+γi)(i=1,2).

通過(guò)計(jì)算可以得到：

S*可通過(guò)求得，F(xiàn)(S)為遞增函數(shù)，且因此當(dāng)且僅當(dāng)R0>1時(shí)方程F(S)=0有唯一的根S*.

定理3 對(duì)于模型（2），當(dāng)R0>1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)P*是局部漸近穩(wěn)定的；R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)P*是不穩(wěn)定的.

證明：系統(tǒng)（2）在P*處的Jacobian矩陣為：

由引理1可得：

由定義1得證，當(dāng)R0>1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)P*是局部漸近穩(wěn)定的；相反R0<1時(shí)不穩(wěn)定.

3 結(jié)論

本文提出并研究了帶有人口遷入、具有不同傳染力的SEI1I2R傳染病模型，且傳染率為非線(xiàn)性對(duì)模型（2）求出了基本再生數(shù)得出結(jié)論：當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)P0在Γ內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的，疾病最終消亡；當(dāng)R0>1時(shí)，存在地方病平衡點(diǎn)P*且是局部漸近穩(wěn)定的，即傳染病會(huì)持續(xù)存在.