肖紅德

摘 要：為弄清浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)在應(yīng)用中存在“異?！爆F(xiàn)象的原因，研究了浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)在內(nèi)存中的存儲(chǔ)形式，得到與其在內(nèi)存中存儲(chǔ)規(guī)范一致的結(jié)果。分析浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)在內(nèi)存中存儲(chǔ)形式對(duì)應(yīng)的理論區(qū)間并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，得出浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)的精度（對(duì)于規(guī)范化浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)，float類型有效位數(shù)為6～8位，double類型有效位數(shù)為15～17位），進(jìn)而對(duì)浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)在應(yīng)用中的一些異?，F(xiàn)象進(jìn)行合理解釋，比如“大數(shù)吃小數(shù)”、輸出格式控制以及輸出結(jié)果與預(yù)期不一致等。通過對(duì)浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)存中表達(dá)形式的理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行離散化處理，為計(jì)算機(jī)內(nèi)存中的表示和相關(guān)計(jì)算帶來幫助。

關(guān)鍵詞：浮點(diǎn)類型;有效位數(shù);存儲(chǔ)單元;數(shù)制轉(zhuǎn)換;不精確表示

DOI：10. 11907/rjdk. 182282

中圖分類號(hào)：TP301文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1672-7800（2019）004-0050-07

0 引言

數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)內(nèi)存中是以二進(jìn)制存放的[1-3]?；菊蚷nt類型在存儲(chǔ)單元中的存儲(chǔ)方式用整數(shù)補(bǔ)碼存放[1]。Visual c++6.0為每一個(gè)int型數(shù)據(jù)分配4個(gè)字節(jié)（32位）。對(duì)于整數(shù)補(bǔ)碼的求法有以下規(guī)定：一個(gè)正數(shù)的補(bǔ)碼是其二進(jìn)制形式;一個(gè)負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼，應(yīng)先獲得其絕對(duì)值的二進(jìn)制形式，然后對(duì)其后所有二進(jìn)位按位取反，再加1[2]。十進(jìn)制轉(zhuǎn)換R進(jìn)制按照整數(shù)部分除R取余和小數(shù)部分乘R取整的方法進(jìn)行[4，5]。在存放int類型數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)單元中，最左面一位用來表示符號(hào)，如果該位為0，則表示數(shù)值為正;如果該位為1，則表示數(shù)值為負(fù)。

浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)研究主要圍繞以下問題進(jìn)行：①浮點(diǎn)類型在內(nèi)存中的表示形式規(guī)定;②浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)表示范圍;③浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)精度;④驗(yàn)證浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)和具體計(jì)算結(jié)果是否一致。

對(duì)于問題①，浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)在內(nèi)存中的存儲(chǔ)形式有相關(guān)規(guī)定[1，3，6-19]，其存儲(chǔ)形式與整型數(shù)據(jù)在內(nèi)存中的存儲(chǔ)形式不同。浮點(diǎn)類型分為單精度浮點(diǎn)類型（float類型）和雙精度浮點(diǎn)類型（double類型）兩種。Visual C++6.0編譯軟件為float類型數(shù)據(jù)分配4個(gè)字節(jié)，為double類型數(shù)據(jù)分配8個(gè)字節(jié)，數(shù)值以規(guī)范化二進(jìn)制指數(shù)形式存放在存儲(chǔ)單元中。在存儲(chǔ)時(shí)，系統(tǒng)將浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)分成小數(shù)部分和指數(shù)部分，分別存放。不論是float類型數(shù)據(jù)還是double類型數(shù)據(jù)，存儲(chǔ)方式上都遵從IEEE規(guī)范，float類型數(shù)據(jù)遵從IEEE R32.24，而double類型數(shù)據(jù)遵從IEEER64.53[8]。

對(duì)于問題②，文獻(xiàn)[10]進(jìn)行了較為詳細(xì)的研究和分析。

對(duì)于問題③，文獻(xiàn)[9，20]進(jìn)行了相關(guān)浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)位數(shù)的理論計(jì)算和分析。

對(duì)于問題④，文獻(xiàn)[3，6]通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)存儲(chǔ)格式在計(jì)算機(jī)內(nèi)存中的表示形式。

在下文描述中，S表示符號(hào)位，E表示指數(shù)位，e表示指數(shù)部分的位數(shù)，M表示尾數(shù)部分，B表示指數(shù)部分的偏移量（其值為B=[2e-1-1]）。

IEEE標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，無論是float類型數(shù)據(jù)還是double類型數(shù)據(jù)在存儲(chǔ)中都分為3個(gè)部分：①符號(hào)位S：float類型和double類型都占1位，0代表正，1代表負(fù);②指數(shù)位E：float類型占8位，double類型占11位，用于存儲(chǔ)指數(shù)數(shù)據(jù)，并且采用移位存儲(chǔ)，指數(shù)采用移碼表示（原來的實(shí)際指數(shù)值加上一個(gè)固定值），該固定值為B=[2e-1-1]（表示偏移量，e為指數(shù)部分比特長度，對(duì)于float類型，e=8，偏移量B=127;對(duì)于double類型，e=11，B=1 023）。指數(shù)位存儲(chǔ)的是一個(gè)無符號(hào)整數(shù)，所以對(duì)于float類型，指數(shù)位E的取值范圍為0～255，其真正取值范圍為-127～128，對(duì)于double類型，指數(shù)位E的取值范圍為0～2 047，其真正取值范圍為-1 023～1 024;③尾數(shù)部分M：float類型占23位，double類型占52位。尾數(shù)采用原碼表示，用二進(jìn)制形式，整數(shù)部分為1，那么小數(shù)點(diǎn)前的1就沒有必要用一個(gè)比特位去存儲(chǔ)，默認(rèn)已經(jīng)存在，稱為“隱藏位”。所以規(guī)定尾數(shù)部分在存儲(chǔ)時(shí)舍去第一個(gè)1，只存儲(chǔ)小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字，好處是對(duì)于float類型，只保存23位小數(shù)信息，加上舍去的1，可以用來表示24個(gè)有效信息;對(duì)于double類型，可以用52位尾數(shù)部分表示53個(gè)有效信息。

浮點(diǎn)類型在內(nèi)存中由高地址到低地址分別存儲(chǔ)符號(hào)位S、指數(shù)位E和尾數(shù)部分M。指數(shù)位E還分為3種情況：①指數(shù)位E不全為0，不全為1。這是一種規(guī)范化的浮點(diǎn)數(shù)形式，此時(shí)就用正常的計(jì)算規(guī)則，指數(shù)部分E的真實(shí)值就是其字面值減去偏移量，尾數(shù)部分M的值要加上最前面省去的整數(shù)1;②指數(shù)位E全為0。需要分兩種情況進(jìn)行處理，若尾數(shù)部分M全為0，則表示浮點(diǎn)數(shù)0，若尾數(shù)部分M不全為0，則表示非規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)形式，表示很小的浮點(diǎn)數(shù)，并且指數(shù)實(shí)際值為-（B-1）。對(duì)于float類型，指數(shù)實(shí)際值為-126。對(duì)于double類型，指數(shù)實(shí)際值為-1 022，尾數(shù)部分表示實(shí)際小數(shù)部分，整數(shù)部分為0（即沒有“隱藏位”1）;③指數(shù)位E全為1。當(dāng)尾數(shù)部分M全為0時(shí)，表示±無窮大（取決于符號(hào)位），當(dāng)M不全為0時(shí)，表示該數(shù)不是一個(gè)數(shù)（NaN）。

本文主要研究C語言中浮點(diǎn)類型（包括單精度浮點(diǎn)類型float和雙精度浮點(diǎn)類型double）有效位數(shù)的計(jì)算、某個(gè)具體數(shù)值在內(nèi)存中的存儲(chǔ)形式、其所能表示的數(shù)據(jù)范圍以及在使用過程中的“反?！爆F(xiàn)象。在程序驗(yàn)證過程中，采用編譯軟件Visual C++6.0。

1 數(shù)值存儲(chǔ)形式查看

數(shù)值在內(nèi)存中的存儲(chǔ)形式，已有相關(guān)驗(yàn)證程序可以進(jìn)行查看[3，6，9，11，12]。在Intel CPU 架構(gòu)系統(tǒng)中，數(shù)據(jù)在內(nèi)存中的存放方式為小端模式（低字節(jié)存在低地址中，高字節(jié)存在高地址中）[3，21]。本文設(shè)計(jì)一個(gè)專門用來顯示某個(gè)變量在內(nèi)存中存儲(chǔ)形式以及按照指定形式進(jìn)行輸出的函數(shù)。

具體實(shí)現(xiàn)過程為：先建立頭文件“show.h”，然后在頭文件中定義實(shí)現(xiàn)查看內(nèi)存的函數(shù)displaymemory。

void displaymemory（void * a，int m，int n）

{

unsigned char *b=a，c，k[8]={1，2，4，8，16，32，64，128};？int i，j;？for（i=m-1;i>=0;i--）？{？ ？c=*（b+i）;？ ？for（j=7;j>=0;j--）？ ？{？ ？ ？printf（"%2d"，c/k[j]）;？ ？ ？c=c%k[j];？ ？}？ ？printf（"＼n"）;？}

switch（n）

{

case 0：printf（"%d＼n"，*（int *）a）;break;

case 1：printf（"%.20e＼n"，*（float *）a）;break;

case 2：printf（"%.20e＼n"，*（double *）a）;break;

default：printf（"Data error?。躰"）;

}

}

其中，函數(shù)displaymemory 中3個(gè)形參含義如下：void *a表示數(shù)據(jù)在內(nèi)存中存儲(chǔ)的起始地址;int m表示需要查看的內(nèi)存地址字節(jié)數(shù);int n表示用何種格式符輸出以地址a開始的數(shù)據(jù)，如果n為0表示以d格式符輸出整數(shù)，如果n為1表示以.20e格式符、指數(shù)形式輸出帶20位小數(shù)部分的float類型數(shù)據(jù)，如果n為2表示以.20e格式符、指數(shù)形式輸出帶20位小數(shù)部分的double類型數(shù)據(jù)。

2 浮點(diǎn)數(shù)范圍與有效位數(shù)

2.1 浮點(diǎn)類型范圍

田祎、樊景博[10]對(duì)浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)范圍進(jìn)行了研究。本文主要按照規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)和非規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)各自取值范圍分別進(jìn)行討論。

規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)能夠表示的數(shù)其絕對(duì)值最大值為：對(duì)于float類型，指數(shù)位E為11111110，其表示的十進(jìn)制數(shù)為254-127=127，尾數(shù)部分M為全1，其對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為[1.M*2127]，所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)約為[3.402 82*1038];對(duì)于double類型，指數(shù)位為11111111110，其表示的十進(jìn)制數(shù)為2 046-1 023=1 023，尾數(shù)部分M為全1，其對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為[1.M*21 023]，其所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)約為[1.797 693 134 862 315 7*10308]。規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)能夠表示的絕對(duì)值最小非零數(shù)為：對(duì)于float類型，指數(shù)位E為00000001，表示的十進(jìn)制數(shù)為1-127=-126，尾數(shù)部分M為全0，對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為[1*2-126]，其所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)約為[1.175 494 350 822 287 5*10-38];對(duì)于double類型，指數(shù)位為00000000001，表示的十進(jìn)制數(shù)為1-1 023=????? -1 022，尾數(shù)部分為全0，對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為[1*2-1022]，其所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)約為[2.225 073 858 507 201 2*10-308]。浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)0.0在內(nèi)存中的表示形式為：指數(shù)位E和尾數(shù)部分M全為0。

非規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)指數(shù)位E為全0，尾數(shù)部分M不全為0。非規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)能夠表示的數(shù)其絕對(duì)值最大值為：對(duì)于float類型，指數(shù)位E為全0，尾數(shù)部分M為全1，此時(shí)沒有“隱藏位”1，指數(shù)部分的值為-126，其對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為[0.M*2-126]，十進(jìn)制數(shù)約為[1.175 494*10-38];對(duì)于double類型，指數(shù)位E為全0，尾數(shù)部分M為全1，此時(shí)沒有“隱藏位”1，指數(shù)部分的值為-1 022，其對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為[0.M*2-1 022]，十進(jìn)制數(shù)約為[2.225 073 858 507 200 9*10-308]。對(duì)于非規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)，其能夠表示的非零數(shù)的絕對(duì)值最小值為：對(duì)于float類型，指數(shù)位E為全0，尾數(shù)部分M最后一位為1，其余全為0，此時(shí)沒有“隱藏位”1，指數(shù)部分的值為-126，其對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為[1*2-23*2-126]，十進(jìn)制數(shù)約為[1.401 298 464 324 817 1*][10-45];對(duì)于double類型，指數(shù)位E為全0，尾數(shù)部分M最后一位為1，其余全為0，此時(shí)沒有“隱藏位”1，指數(shù)部分值為-1 022，其對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為[1*2-52*2-1 022]，十進(jìn)制數(shù)約為[4.940 656 458 412 465 4*10-324]。非規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù)所表示的數(shù)都很小，并且其有效數(shù)字的位數(shù)可能為0。

由浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)有關(guān)形式可知，當(dāng)指數(shù)位E全為1、尾數(shù)部分M全為0時(shí)，表示無窮大;當(dāng)指數(shù)位E為全1、尾數(shù)部分M不全為0時(shí)，表示不是一個(gè)數(shù)（NaN）。通過驗(yàn)證可知，對(duì)于float類型的數(shù)據(jù)，當(dāng)數(shù)據(jù)范圍為[3.40282357e38，1.797693134862315e308]時(shí)，表示無窮大，驗(yàn)證程序1如下：

#include

#include"show.h"

void main（）

{

float b1=3.40282356e38，b2=3.40282357e38，b3=1.797693134862315e308;

displaymemory（&b1，4，2）;

displaymemory（&b2，4，2）;

displaymemory（&b3，4，2）;

}

由驗(yàn)證結(jié)果可知，b1為最大的規(guī)范化float類型數(shù)據(jù)，b2和b3在內(nèi)存中的表示形式相同，即指數(shù)位E為全1，尾數(shù)部分M為全0。

對(duì)于double類型的數(shù)據(jù)，如果超過規(guī)范化雙精度浮點(diǎn)類型限制，編譯時(shí)會(huì)提示“constant too big”錯(cuò)誤，其無窮大能夠表示的數(shù)值范圍無法驗(yàn)證。

由驗(yàn)證程序1可得出以下結(jié)論：float類型在計(jì)算過程中都是按照double類型進(jìn)行處理的，如果表示的數(shù)超過了規(guī)范化float類型數(shù)據(jù)范圍并且在double類型數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，則按照float類型中的無窮大進(jìn)行處理;如果超過了double類型限制，則visual c++6.0編譯系統(tǒng)認(rèn)為輸入的數(shù)據(jù)太大，不能進(jìn)行處理。

2.2 浮點(diǎn)類型有效位數(shù)

張宗杰、張明亮[9]從相對(duì)誤差角度對(duì)浮點(diǎn)數(shù)的有效位數(shù)進(jìn)行了解讀，逯鴻友[20]對(duì)不同進(jìn)制之間轉(zhuǎn)換位數(shù)的確定給出了理論推導(dǎo)。本文從尾數(shù)的取值范圍和相對(duì)誤差兩方面進(jìn)行分析，對(duì)該問題進(jìn)行解釋和說明。

浮點(diǎn)數(shù)在內(nèi)存中的存放是離散的，而不是連續(xù)的，即對(duì)于每一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)來說，其在內(nèi)存中表示的一個(gè)浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)區(qū)間。因此，浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)是有限個(gè)。由浮點(diǎn)數(shù)的存儲(chǔ)規(guī)范可知：對(duì)于非負(fù)float類型數(shù)據(jù)來說，其個(gè)數(shù)為[255*223];對(duì)于非負(fù)double類型數(shù)據(jù)來說，其個(gè)數(shù)為[2 047*252][8]。

對(duì)于規(guī)范化浮點(diǎn)類型，按照其能夠表示的二進(jìn)制位數(shù)，可以計(jì)算出其最大相對(duì)誤差：對(duì)于float類型，當(dāng)尾數(shù)部分M為0全時(shí)，取最大相對(duì)誤差值約為[0.5*2-23=2-24=][5.960 5e-08]，當(dāng)尾數(shù)部分M為全1時(shí)，取最小相對(duì)誤差值約為[0.5*0.5*2-23=2.980 2e-08];對(duì)于double類型，當(dāng)尾數(shù)部分為全0時(shí)，取最大相對(duì)誤差值為[0.5*2-52=2-53]，約為1.110 2e-16，當(dāng)尾數(shù)部分M為全1時(shí)，取最小相對(duì)誤差值為[0.5*0.5*2-52]，約為5.551 1e-17[8]。由相對(duì)誤差的計(jì)算結(jié)果可知，對(duì)于float類型，其有效數(shù)字位數(shù)最多為8，對(duì)于double類型，其有效數(shù)字位數(shù)最多為17。而對(duì)于非規(guī)范化浮點(diǎn)類型，其有效數(shù)字的位數(shù)是不同的，對(duì)于float類型，有效數(shù)字的位數(shù)為0～8，對(duì)于double類型，有效數(shù)字的位數(shù)為0～17，總體來說，有效數(shù)字的位數(shù)隨著尾數(shù)部分有效二進(jìn)制位增加而增加。

對(duì)有效數(shù)字位數(shù)的確定，主要與相對(duì)誤差的大小有關(guān)。由相對(duì)誤差計(jì)算結(jié)果可知，對(duì)于float類型，相對(duì)誤差主要影響從最高位開始的數(shù)字的第8位和第9位數(shù)字，前面7位數(shù)字在進(jìn)行四舍五入進(jìn)位前都是準(zhǔn)確的，有效數(shù)字的位數(shù)需要分以下3種情況進(jìn)行判斷：①如果內(nèi)存中表示為同一個(gè)float類型數(shù)據(jù)的取值范圍在第8位數(shù)字處相同，并且第9位數(shù)字取值范圍進(jìn)行四舍五入后與第8位數(shù)字相同，則該float類型數(shù)據(jù)有8位有效數(shù)字;②如果內(nèi)存中表示為同一個(gè)float類型數(shù)據(jù)的取值范圍在第8位數(shù)字處不相同，并且在同一個(gè)區(qū)域（0～4或者5～9），則該float類型數(shù)據(jù)有7位有效數(shù)字;③如果內(nèi)存中表示為同一個(gè)float類型數(shù)據(jù)的取值范圍在第8位數(shù)字處不相同，并且其取值范圍跨越兩個(gè)不同區(qū)域（0～4或者5～9），則第8位數(shù)字取值范圍影響到第7位數(shù)字的變化，并且變化后的值不同，則該float類型數(shù)據(jù)有6位有效數(shù)字。

從以上判斷過程可知，對(duì)于float類型，其有效數(shù)字的位數(shù)為6～8位。對(duì)于double類型，通過類似分析可知，其有效數(shù)字的位數(shù)為15～17位。

2.3 規(guī)范化浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)表示區(qū)間

2.3.1 理論分析

有關(guān)規(guī)范化浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)表示區(qū)間的問題，在文獻(xiàn)[1，7-11]中有相關(guān)說明，主要圍繞浮點(diǎn)數(shù)不能精確表示一個(gè)數(shù)從離散角度進(jìn)行了解釋。本文主要從浮點(diǎn)類型存儲(chǔ)形式對(duì)應(yīng)的理論數(shù)據(jù)范圍著手進(jìn)行研究。

使用Fmax表示float類型數(shù)據(jù)在內(nèi)存中存儲(chǔ)形式表示數(shù)據(jù)的最大偏移程度，使用Dmax表示double類型在內(nèi)存中存儲(chǔ)形式表示數(shù)據(jù)的最大偏移程度（對(duì)于給定的指數(shù)位E，無論是float類型還是double類型，其最大偏移程度表示為尾數(shù)部分M最后一位尾數(shù)為1時(shí)所表示數(shù)據(jù)的一半）。因此，F(xiàn)max=[0.5*2E-B-23=2E-B-24]，Dmax=[0.5*2E-B-52=2E-B-53]。

浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)在內(nèi)存中存儲(chǔ)形式的確定過程如下：首先需要得到對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制形式，即將十進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換為24位二進(jìn)制形式，然后再進(jìn)行存儲(chǔ)。米保全[4]介紹了有關(guān)十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制的技巧。對(duì)于整數(shù)部分，十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制的規(guī)則為：除2求余，商為下次的被除數(shù)，先得到的余數(shù)為二進(jìn)制的低位部分，后得到的余數(shù)為二進(jìn)制的高位部分，直到商為0為止。對(duì)于小數(shù)部分，十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制的規(guī)則為：乘2取整，小數(shù)部分為下次的被乘數(shù)，先得到的整數(shù)為二進(jìn)制的高位部分，后得到的整數(shù)為二進(jìn)制的低位部分，直到小數(shù)部分為0或者加上前面整數(shù)部分轉(zhuǎn)換的二進(jìn)制位超過了指定位數(shù)的二進(jìn)制為止（float類型為24位，double類型為53位）。最后計(jì)算結(jié)果，對(duì)于規(guī)范化float類型數(shù)據(jù)保留前面最高24位二進(jìn)制數(shù)字，對(duì)于規(guī)范化double類型數(shù)據(jù)保留前面最高的53位二進(jìn)制數(shù)字。多于指定位數(shù)的二進(jìn)制部分需要進(jìn)行向上進(jìn)位或者舍棄處理（通過驗(yàn)證程序2可知，按照就近原則靠攏，如果距離兩個(gè)數(shù)值相同，則采用進(jìn)位和舍棄交替進(jìn)行的方式處理）。

如果將非負(fù)浮點(diǎn)數(shù)在內(nèi)存中的形式從1開始按照自然數(shù)形式進(jìn)行編號(hào)，1對(duì)應(yīng)內(nèi)存中存儲(chǔ)形式為0的數(shù)據(jù)，2對(duì)應(yīng)最小正浮點(diǎn)數(shù)，則對(duì)于float類型，當(dāng)指數(shù)位取值小于255時(shí)，編號(hào)i取值范圍為[1，[255*223]]。通過驗(yàn)證程序2可知，編號(hào)i所能表示數(shù)的范圍可以用開、閉區(qū)間進(jìn)行表示：當(dāng)i為奇數(shù)時(shí)，相應(yīng)內(nèi)存數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的實(shí)際范圍為閉區(qū)間，否則為開區(qū)間。

對(duì)于float類型，編號(hào)i與對(duì)應(yīng)指數(shù)位E以及尾數(shù)部分M之間關(guān)系為：由于指數(shù)部分確定時(shí)，其尾數(shù)部分出現(xiàn)的可能情況為[223]，是偶數(shù)，開閉區(qū)間交替出現(xiàn)，所以編號(hào)i的開閉情況與指數(shù)位E無關(guān)，只與尾數(shù)部分M的情況有關(guān)。如果把尾數(shù)部分M看作23位二進(jìn)制整數(shù)，那么當(dāng)尾數(shù)部分M為偶數(shù)時(shí)是閉區(qū)間，當(dāng)尾數(shù)部分M為奇數(shù)時(shí)是開區(qū)間，即當(dāng)23位尾數(shù)部分的最后一位為0時(shí)是閉區(qū)間，當(dāng)其最后一位為1時(shí)是開區(qū)間。doulbe類型數(shù)據(jù)分析過程與此類似，不再贅述。

2.3.2 區(qū)間確定

由上述尾數(shù)與開閉區(qū)間之間關(guān)系以及內(nèi)存中存儲(chǔ)形式表示數(shù)的最大偏移程度，對(duì)于內(nèi)存中的任意存儲(chǔ)形式，其所對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)范圍也就確定下來了。目前的問題是如何確定最大偏移程度。

對(duì)于浮點(diǎn)類型，當(dāng)指數(shù)位確定時(shí)，其最大偏移程度是確定的。對(duì)于float類型，F(xiàn)max=[2E-B-24];對(duì)于double類型，Dmax=[2E-B-53]。當(dāng)尾數(shù)部分不全為0時(shí)，內(nèi)存中存儲(chǔ)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的浮點(diǎn)數(shù)t前后最大偏移程度是相同的。當(dāng)最后一位尾數(shù)部分為0時(shí)，表示的數(shù)據(jù)范圍為閉區(qū)間，即對(duì)于float類型為[t-Fmax，t+Fmax]，對(duì)于double類型為[t-Dmax，t+Dmax];當(dāng)最后一位尾數(shù)部分為1時(shí)，表示的數(shù)據(jù)范圍為開區(qū)間。當(dāng)尾數(shù)部分為全0時(shí)，其最大偏移程度與兩個(gè)相鄰指數(shù)位部分有關(guān)。對(duì)于相鄰兩個(gè)指數(shù)位E'和E=E'+1：對(duì)于float類型，F(xiàn)max=[2E-B-24]，數(shù)據(jù)前面的最大偏移量為0.5*Fmax，數(shù)據(jù)后面的最大偏移量為Fmax，即對(duì)于float類型數(shù)據(jù)t，其所能表示的區(qū)間為[t-0.5*Fmax，t+Fmax];對(duì)于double類型，Dmax=[2E-B-53]，其所能表示的區(qū)間為[t-0.5*Dmax，t+Dmax]，即相鄰兩個(gè)指數(shù)部分的最大偏移量相差1倍。

浮點(diǎn)數(shù)不能精確地表示一個(gè)數(shù)字，規(guī)范化float類型數(shù)據(jù)有6～8位有效數(shù)字，double類型數(shù)據(jù)有15～17位有效數(shù)字，在計(jì)算一個(gè)內(nèi)存中存儲(chǔ)形式對(duì)應(yīng)的浮點(diǎn)數(shù)表示區(qū)間時(shí)，一般情況下會(huì)與理論值有微小誤差。而且對(duì)于浮點(diǎn)數(shù)，vc++6.0在計(jì)算過程中都是按照double類型進(jìn)行計(jì)算[1]，而double類型所能表示的有效數(shù)字位數(shù)為15～17位，因此在表示float類型數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的理論區(qū)間時(shí)需要按照double類型的計(jì)算過程進(jìn)行，即對(duì)于float類型數(shù)據(jù)的表示區(qū)間[a，b]或（a，b），對(duì)于a的表示，需要按照double類型數(shù)據(jù)對(duì)待，即只要區(qū)間[c，d]或（c，d）內(nèi)的值表示double類型a的值即可，類似可以得到對(duì)于b的取值范圍為[e，f]或（e，f）。從而可以得到對(duì)應(yīng)float類型數(shù)據(jù)的表示區(qū)間需要使用區(qū)間[c，f] （d，e）進(jìn)行表示，即對(duì)于float類型，當(dāng)尾數(shù)部分M不全為0、最后一位尾數(shù)部分為0時(shí)，float類型數(shù)據(jù)t的理論區(qū)間為 [t-Fmax-Dmax，t+Fmax+Dmax]，當(dāng)最后一位尾數(shù)部分不為0時(shí)為開區(qū)間，表示為（t-Fmax+Dmax，t+Fmax-Dmax），其中Fmax=[2E-B-24]為float類型下最大偏移量，Dmax=[2E-B-53]為對(duì)應(yīng)double類型下最大偏移量;當(dāng)尾數(shù)部分M為全0時(shí)，對(duì)于相鄰兩個(gè)指數(shù)位E'和E=E'+1，則對(duì)于指數(shù)部分為E的第一個(gè)數(shù)值（即尾數(shù)部分M為全0），float類型數(shù)據(jù)t的理論區(qū)間為[t-0.5*Fmax-0.5*Dmax，t+Fmax+Dmax]，其中Fmax=[2E-B-24]為float類型下最大偏移量，Dmax=[2E-B-53]為對(duì)應(yīng)double類型下最大偏移量。

因此，對(duì)于內(nèi)存中存儲(chǔ)形式對(duì)應(yīng)的float類型數(shù)據(jù)t，可以得出以下結(jié)論：

（1）當(dāng)尾數(shù)部分M全為0時(shí)，內(nèi)存中存儲(chǔ)形式對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)t表示的數(shù)據(jù)區(qū)間為：

（2）當(dāng)尾數(shù)部分M不全為0并且最后一位為0時(shí)，內(nèi)存中存儲(chǔ)形式對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)t表示的數(shù)據(jù)區(qū)間為：

（3）當(dāng)尾數(shù)部分M不全為0并且最后一位為1時(shí)，內(nèi)存中存儲(chǔ)形式對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)t表示的數(shù)據(jù)區(qū)間為：

其中，F(xiàn)max=[2E-B-24]為float類型下的最大偏移量，Dmax=[2E-B-53]為對(duì)應(yīng)double類型下的最大偏移量。

2.3.3 區(qū)間驗(yàn)證

對(duì)于尾數(shù)部分全為0的float類型數(shù)據(jù)，比如float類型數(shù)據(jù)167 772 16在內(nèi)存中進(jìn)行存儲(chǔ)時(shí)，通過計(jì)算可知，其對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制表示為1 00000000 00000000 00000000，即[224]，在內(nèi)存中的存儲(chǔ)形式為01001011 10000000 00000000 00000000。167 772 15.5距離167 772 15與167 772 16相同，對(duì)167 772 16進(jìn)行向上進(jìn)位處理。由式（1）可知，其對(duì)應(yīng)的理論區(qū)間為[167 772 16-0.5*Fmax-0.5*Dmax，167 772 16+Fmax+Dmax]，其中Fmax=[2151-127-24]=1，Dmax=[21 047-1 023-53]=1.862 6e-09，即理論區(qū)間值為[167 772 16-0.5*1-0.5*1.862 6e-09， 167 772 16+1.0+1.862 6e-09]。驗(yàn)證程序2如下：

#include

#include"show.h"

void main（）

{

float b1=16777216-0.5-9.3133e-10，b2=16777216-0.5-9.3132e-10，

b3=16777216+1.0+1.8626e-09，b4=16777216+1.0+1.8627e-09;

displaymemory（&b1，4，1）;

displaymemory（&b2，4，1）;

displaymemory（&b3，4，1）;

displaymemory（&b4，4，1）;

}

從驗(yàn)證結(jié)果可知，b2和b3輸出的是float類型數(shù)據(jù)??? 167 772 16，而b1和b4輸出的不是該數(shù)據(jù)，從而驗(yàn)證了上文理論結(jié)果是成立的。類似可以驗(yàn)證167 772 19距離??? 167 772 18和167 772 20相同，對(duì)167 772 20進(jìn)行向上進(jìn)位處理，167 772 21距離167 772 20和167 772 22相同，對(duì)?? 167 772 20進(jìn)行舍棄處理等。

對(duì)于尾數(shù)部分不全為0的float類型，比如，對(duì)于float類型數(shù)據(jù)838 860 9，通過計(jì)算可知其在內(nèi)存中的存儲(chǔ)形式為01001011 00000000 00000000 00000001，符號(hào)位S為0，表示正數(shù)，指數(shù)位E存放的數(shù)對(duì)應(yīng)整數(shù)值為150，尾數(shù)部分M最后一位為1，其余全為0。則其在內(nèi)存中的存儲(chǔ)值為：[1*2150-127+1*2-23*2150-127]=838 860 9。由式（3）可知，其能夠表示的數(shù)據(jù)范圍通過計(jì)算可知為（838 860 9-Fmax+Dmax，838 860 9+Fmax-Dmax），其中Fmax=[2150-127-23-1]=0.5，Dmax=[21 046-1023-52-1]=9.313 2e-10，即（838 860 9-0.5-9.313 2e- 10，838 860 9+0.5+9.313 2e-10）。與驗(yàn)證程序2類似，可以驗(yàn)證該區(qū)間。

2.4 非規(guī)范化浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)有效數(shù)字位數(shù)

非規(guī)范化浮點(diǎn)類型有效數(shù)字位數(shù)與尾數(shù)部分高位處開始出現(xiàn)的1的位置有關(guān)，從1開始到尾數(shù)部分結(jié)束的位數(shù)決定了對(duì)應(yīng)十進(jìn)制有效數(shù)字位數(shù)?？傮w來說，從尾數(shù)部分高位處開始出現(xiàn)1的位置越靠前，有效數(shù)字的位數(shù)就越多，非規(guī)范化浮點(diǎn)類型表示非常小的數(shù)字。

比如，對(duì)于float類型數(shù)據(jù)，其在內(nèi)存中的存儲(chǔ)形式為：00000000 00000000 00000000 00000001，即符號(hào)位S為0表示正，指數(shù)位E為全0表示真實(shí)指數(shù)值為-126，尾數(shù)部分M只有最后一位為1，其余全為0，該存儲(chǔ)形式通過計(jì)算可知其理論值為： [1*2-23*2-126=2-149]，而對(duì)該數(shù)值的十進(jìn)制形式計(jì)算比較麻煩，因此，在下文驗(yàn)證過程中，采用對(duì)指定float類型數(shù)據(jù)存儲(chǔ)位置賦值的方式對(duì)該數(shù)據(jù)賦值，然后輸出該最小正float類型數(shù)據(jù)的指數(shù)形式，從而確定最小正float類型在內(nèi)存中的表示形式及其所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制指數(shù)形式。驗(yàn)證程序3如下：

#include？

typedef？struct？FP_SINGLE

{

？？unsigned？__int32？M：23;

？？unsigned？__int32？E：8;

？？unsigned？__int32？S：1;

}？fp_single;

void？main（）

{

float？x;

fp_single？*？fp_s=&x;

fp_s->S=0;

fp_s->E=0;

fp_s->M=1;

？？printf（"float最小正非規(guī)范數(shù)：%le ＼n"，x）;

}

從運(yùn)行結(jié)果可知，最小正float類型所能表示的非規(guī)范化數(shù)據(jù)為1.4012984643248171e-045。由式（3）可知，該運(yùn)行結(jié)果表示的是一個(gè)范圍，其最大偏移程度為該數(shù)的一半。與驗(yàn)證程序2類似，將b1、b2、b3、b4分別初始化為：7.00649232162408613e-46、7.00649232162408614e-46、2.10194769648722545e-45、2.10194769648722546e-45，可以驗(yàn)證該理論區(qū)間。

由驗(yàn)證結(jié)果可知，b1和b4在內(nèi)存中存儲(chǔ)的是不同的數(shù)值，而b2和b3在內(nèi)存中存儲(chǔ)的是同一個(gè)值1.4012984643248171e-045，而b2-b3范圍內(nèi)的值與內(nèi)存中存儲(chǔ)的值相比，有效數(shù)字位數(shù)可能為0。

由上述驗(yàn)證結(jié)果可以得出以下結(jié)論：對(duì)于float類型數(shù)據(jù)，其非規(guī)范化數(shù)據(jù)有效數(shù)字的位數(shù)可能為0，總體來說，隨著非規(guī)范化數(shù)值增大，其有效數(shù)字的位數(shù)也逐漸增多，直到增加到6～8位為止，即其有效數(shù)字的位數(shù)在0～8位之間。對(duì)于double類型數(shù)據(jù)，其非規(guī)范化數(shù)據(jù)有效數(shù)字的位數(shù)也有類似結(jié)論，即其有效數(shù)字位數(shù)在0～17位之間。

3 浮點(diǎn)數(shù)使用注意問題

3.1 數(shù)據(jù)丟失與不能精確比較

對(duì)于浮點(diǎn)數(shù)在計(jì)算中的丟失現(xiàn)象，杜叔強(qiáng)等[12，13]給出了相關(guān)建議。本文主要從float類型在計(jì)算過程中以double類型進(jìn)行計(jì)算的角度進(jìn)行解釋和分析。

比如，float類型變量a=123 456 789 00，b=50;則a+b的結(jié)果不是123 456 789 50，在內(nèi)存中，a和b的存儲(chǔ)形式都是01010000 00110111 11110111 00000111，其值為???? 123 456 788 48，因?yàn)閍和b在計(jì)算時(shí)有效數(shù)字位數(shù)多于9位，不能精確存儲(chǔ)。該數(shù)123 456 789 00在內(nèi)存中存儲(chǔ)的值為123 456 788 48，該值加上50之后，沒有超過最大偏移量，還是123 456 788 48。通過計(jì)算可知，float類型數(shù)據(jù)123 456 788 48在內(nèi)存中存儲(chǔ)的指數(shù)位E為160，F(xiàn)max=[2160-127-23-1=29=512]，Dmax=[21056-1023-52-1=2-20=][9.5367e-07]，由式（3）可知，其表示的范圍為開區(qū)間（123 456 788 48-Fmax+Dmax，12345678848+Fmax-Dmax），即（123 456 788 48-512+9.5367e-07，123 456 788 48+512- 9.5367e-07），如果計(jì)算結(jié)果在該區(qū)間，則都會(huì)以???????????? 123 456 788 48進(jìn)行存儲(chǔ)和顯示。與驗(yàn)證程序2類似的過程，可以驗(yàn)證該區(qū)間。

由該現(xiàn)象可以得到一個(gè)結(jié)論：盡量不要使用兩個(gè)差別較大的浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算，否則會(huì)出現(xiàn)“大數(shù)吃小數(shù)”的現(xiàn)象。比較兩個(gè)數(shù)的差別，以較小數(shù)是否大于較大數(shù)的最大偏移量為準(zhǔn)，如果較小數(shù)大于較大數(shù)的最大偏移量，則認(rèn)為兩個(gè)數(shù)差別不大，可以直接進(jìn)行運(yùn)算，否則，要盡量避免直接進(jìn)行運(yùn)算。

類似可以驗(yàn)證，只要一個(gè)數(shù)加上數(shù)據(jù)的絕對(duì)值小于該數(shù)在內(nèi)存中的最大偏移量，無論先后加上多少個(gè)該類數(shù)據(jù)，都是該數(shù)據(jù)本身。驗(yàn)證程序4如下：

#include

#include"show.h"

void main（）

{

float b=12345678848，b1;

int? i;

displaymemory（&b，4，1）;

b1=b;

for（i=0;i<100;i++）b1=b1+500;

displaymemory（&b1，4，1）;

}

從計(jì)算結(jié)果來看，b和b1輸出結(jié)果相同，因此要盡量避免進(jìn)行類似運(yùn)算，即盡量避免將一個(gè)較大數(shù)和一個(gè)較小數(shù)（較小數(shù)小于較大數(shù)在內(nèi)存中對(duì)應(yīng)存儲(chǔ)形式的最大偏移量）進(jìn)行運(yùn)算。

如果想讓較小數(shù)起作用，則需要多個(gè)較小數(shù)在同一個(gè)表達(dá)式中出現(xiàn)，因?yàn)閒loat類型數(shù)據(jù)是按照double類型數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算的，double類型數(shù)據(jù)規(guī)范化形式有15～17位有效數(shù)字，可以將部分較小的數(shù)據(jù)保留下來，最后再將計(jì)算得到的double類型數(shù)據(jù)自動(dòng)轉(zhuǎn)換為float類型數(shù)據(jù)進(jìn)行保存。驗(yàn)證程序5如下：

#include

#include"show.h"

void main（）

{

float b=12345678848，b1;

int? i;

displaymemory（&b，4，1）;

b1=b+500+500;

displaymemory（&b1，4，1）;

}

從計(jì)算結(jié)果來看，b和b1輸出結(jié)果不同，原因是對(duì)于b1的計(jì)算將b與多個(gè)較小數(shù)直接加在一起，在運(yùn)算時(shí)按照double類型進(jìn)行計(jì)算，因此能夠保留較多有效位數(shù)，只要多個(gè)較小數(shù)加在一起超過了較大數(shù)的最大偏移量，就可以得到改變后的數(shù)。

由于浮點(diǎn)數(shù)表示的數(shù)據(jù)不精確，一定范圍內(nèi)數(shù)值在內(nèi)存中存儲(chǔ)的形式相同，因此應(yīng)該盡量避免兩個(gè)接近的浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行相等和不相等比較。比如兩個(gè)float類型的變量a=12345678900、b=12345678950，在進(jìn)行a==b的條件判斷時(shí)結(jié)果為真，因?yàn)閍和b在內(nèi)存中的存儲(chǔ)形式相同，認(rèn)為這兩個(gè)變量相等。驗(yàn)證程序6如下：

#include

#include"show.h"

void main（）

{

float a=12345678900，b=12345678950;

if（a==b）printf（"a==b＼n"）;

else printf（"a！=b＼n"）;

}

從運(yùn)行結(jié)果來看，會(huì)輸出“a==b”，因?yàn)閷?duì)于浮點(diǎn)類型變量a和b，其在內(nèi)存中的存儲(chǔ)形式相同，因此條件“a==b”是成立的。所以，對(duì)于浮點(diǎn)類型變量，應(yīng)避免進(jìn)行相等和不相等的判斷。

3.2 不同類型數(shù)據(jù)輸出時(shí)出現(xiàn)反?，F(xiàn)象

C語言中常用的數(shù)據(jù)輸出格式符有d、c、f[1]，對(duì)于不同數(shù)據(jù)類型需要使用不同格式符進(jìn)行輸出，如果不小心用了不該用的格式符，則輸出結(jié)果會(huì)與預(yù)期結(jié)果不同。字符型數(shù)據(jù)可以按照c格式符或者d格式符進(jìn)行輸出，分別按照字符形式或者對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制整數(shù)形式進(jìn)行輸出;基本整型數(shù)據(jù)可以按照d格式符輸出其十進(jìn)制整數(shù)形式進(jìn)行輸出;f格式符用來輸出浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)的十進(jìn)制小數(shù)形式，如果要輸出指數(shù)形式，則以e格式符進(jìn)行輸出，f格式符和e格式符都默認(rèn)輸出6位小數(shù)部分。

如果數(shù)據(jù)輸出時(shí)沒有按照其正常格式符進(jìn)行輸出，則輸出結(jié)果按照對(duì)應(yīng)格式符存儲(chǔ)形式要求進(jìn)行輸出。比如：double a=2.5，printf（“%d＼n”，*（int *） &a），輸出結(jié)果是0，因?yàn)?.5在內(nèi)存中按照double類型進(jìn)行存儲(chǔ)，占8個(gè)字節(jié)，其在內(nèi)存中的存儲(chǔ)形式為01000000 00000100 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000，而輸出時(shí)按照后4個(gè)字節(jié)整數(shù)對(duì)應(yīng)的存儲(chǔ)形式規(guī)則進(jìn)行讀取。驗(yàn)證程序7如下：

#include

#include"show.h"

void main（）

{

double a=2.5;

displaymemory（&a，8，2）;

printf（"%d＼n"，a）;

}

如果把整數(shù)按照f格式符進(jìn)行輸出，將整數(shù)的地址按照浮點(diǎn)類型地址格式進(jìn)行讀取，則讀取過程中會(huì)按照浮點(diǎn)類型的規(guī)則進(jìn)行處理。比如：int a=655 36，printf（“%e＼n”，a），變量a在內(nèi)存中的存儲(chǔ)形式為00000000 00000001 00000000 00000000。單精度浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)的輸出結(jié)果是9.1835496157991212e-041，而雙精度浮點(diǎn)類型（因?yàn)閒或e格式符默認(rèn)將相應(yīng)參數(shù)看作雙精度浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)進(jìn)行輸出）輸出結(jié)果是5.597333e-308。由前面浮點(diǎn)類型在內(nèi)存中存儲(chǔ)形式的規(guī)定可知：如果按照單精度浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)的處理方式進(jìn)行處理，該存儲(chǔ)形式對(duì)應(yīng)的單精度浮點(diǎn)數(shù)是一個(gè)非規(guī)范化浮點(diǎn)數(shù);如果按照雙精度浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)的處理方式進(jìn)行處理，需要變量a的地址和其前面4個(gè)字節(jié)的地址作為雙精度浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)在內(nèi)存中的存儲(chǔ)形式進(jìn)行處理，由于變量a的地址前面4個(gè)字節(jié)存儲(chǔ)形式不固定，因此，得到雙精度浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)在不同運(yùn)行環(huán)境下一般是不同的，其測試存儲(chǔ)形式如下：00000000 00010010 11111111 11000000 00000000 00000001 00000000 00000000。驗(yàn)證程序8如下：

#include

#include"show.h"

void main（）

{

int a=65536;

displaymemory（&a，8，2）;

printf（"%e＼n"，a）;

}

因此，對(duì)于不同數(shù)據(jù)類型，需要使用其對(duì)應(yīng)的格式符進(jìn)行輸出格式控制，否則會(huì)按照對(duì)應(yīng)輸出格式的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和輸出。

4 結(jié)語

不同數(shù)據(jù)類型在計(jì)算機(jī)內(nèi)存中的存放方式不同，導(dǎo)致一些與整型類型不一樣的用法，比如數(shù)據(jù)有效位數(shù)限制、不能精確比較、“大數(shù)吃小數(shù)”等問題出現(xiàn)。只有了解不同數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)長度和存儲(chǔ)形式，才能理解為什么有的計(jì)算結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果不同。杜叔強(qiáng)等[12，13]、周冠方[15]給出了浮點(diǎn)數(shù)使用注意事項(xiàng)。本文給出了浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)在內(nèi)存中不同形式對(duì)應(yīng)的理論取值區(qū)間，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該區(qū)間的存在，在使用過程中需要根據(jù)遇到的不同情況加以處理。

由于浮點(diǎn)類型數(shù)據(jù)的有效位數(shù)有限（float類型為6～8位，double類型為15～17位），如果想得到更多有效位數(shù)，比如對(duì)于π值的計(jì)算，想要得到小數(shù)點(diǎn)后100位有效數(shù)字，則按照現(xiàn)有數(shù)據(jù)類型無法得到，需要定義新的能夠表示更多有效位數(shù)的數(shù)據(jù)類型才能進(jìn)行。

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（責(zé)任編輯：何 麗）