秦志杰，李德民

(鄭州大學(xué) 物理工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

微擾論是量子力學(xué)一種重要的近似方法[1，2]。采用微擾論求解時(shí)，要求體系哈密頓可以分為兩部分，一部分是未微擾部分，另一部分是微擾部分，并且還要求未微擾部分可嚴(yán)格求解，微擾部分相對(duì)于可嚴(yán)格求解部分很小才行。微擾法從未受微擾體系的解出發(fā)，通過(guò)求解引入微擾后體系的能級(jí)和狀態(tài)的變化，算出對(duì)能級(jí)和波函數(shù)的各階修正。

在教學(xué)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于微擾計(jì)算方法的解題過(guò)程很熟悉，但對(duì)于計(jì)算出的結(jié)果和微擾的直接聯(lián)系卻不太清楚。比如，給出微擾，學(xué)生能計(jì)算出各階修正，但是對(duì)下述問(wèn)題并不太清楚。即，微擾矩陣元的位置和大小對(duì)能量的各階修正的具體聯(lián)系是什么？能否僅通過(guò)觀察微擾矩陣的形式，就看出對(duì)各能級(jí)的各階能量修正是否存在？以及相應(yīng)修正是提升還是降低了原有能級(jí)的能量？對(duì)這些問(wèn)題的回答，一方面可以加深對(duì)微擾論的理解；另一方面，也能對(duì)微擾矩陣元的影響有更深的認(rèn)識(shí)。實(shí)際上，很多可用微擾論處理的問(wèn)題，不經(jīng)計(jì)算即可對(duì)結(jié)果做出判斷。

為了解決上述問(wèn)題，我們將通過(guò)對(duì)具體系統(tǒng)的計(jì)算和分析，來(lái)尋找微擾矩陣元和微擾論方法計(jì)算結(jié)果之間存在的聯(lián)系。接下來(lái)，通過(guò)對(duì)存在微擾的三能級(jí)系統(tǒng)的研究，來(lái)尋找微擾矩陣元和對(duì)各能級(jí)的不同階修正之間可能存在的聯(lián)系。

1 含微擾的三能級(jí)系統(tǒng)的描述

我們首先考慮一個(gè)存在微擾的三能級(jí)系統(tǒng)，體系總的哈密頓可寫(xiě)為：

(1)

(2)

(3)

(4)

2 微擾論對(duì)能級(jí)的修正

2.1 微擾矩陣對(duì)能級(jí)的一階修正

(5)

因此，對(duì)E1能級(jí)的一階修正為：

(6)

對(duì)E2能級(jí)的一階修正為：

(7)

對(duì)E3能級(jí)的一階修正為：

(8)

上述結(jié)果顯示，只有微擾矩陣的對(duì)角元，才會(huì)對(duì)相應(yīng)的能級(jí)產(chǎn)生一階修正；而微擾的非對(duì)角元不會(huì)對(duì)能級(jí)產(chǎn)生一階修正。我們這里討論的是不含微擾時(shí)，體系由對(duì)角化矩陣描述的系統(tǒng)。對(duì)于零階矩陣非對(duì)角化的情況，要首先把非微擾部分化為對(duì)角形式后，才能按上述結(jié)果進(jìn)行討論。

2.2 微擾矩陣對(duì)能級(jí)的二階修正

(9)

從上述結(jié)論可知，對(duì)于有限個(gè)能級(jí)組成的系統(tǒng)，就微擾矩陣的非對(duì)角元對(duì)于能量最低的能級(jí)Emin的修正而言，由于其余所有能級(jí)均大于這個(gè)能量，所以上述修正始終小于或等于零，即，對(duì)最低能級(jí)的二階修正不會(huì)大于零。換句話說(shuō)，微擾矩陣的非對(duì)角元的二階修正，只會(huì)拉低能級(jí)Emin。同理，對(duì)于能量最高的能級(jí)Emax的修正，由于其余所有能級(jí)均小于這個(gè)能量，所以上述修正始終大于或等于零，即，對(duì)微擾矩陣的任意非對(duì)角元，它對(duì)最高能級(jí)的二階修正不會(huì)小于零。換句話說(shuō)，微擾的二階修正，只可能提升最高的能級(jí)Emax。

利用上述公式，對(duì)能量為E1的能級(jí)的二階修正為：

(10)

(11)

上述二階修正項(xiàng)均大于等于零，這一點(diǎn)與前面的分析一致。即，由于E1為能量最高的能級(jí)，有前面結(jié)論可知，所有二階修正均為正。

同理，對(duì)能量為E2的能級(jí)的二階修正為：

=-|ε4|2+|ε5|2

(12)

對(duì)能量為E3的能級(jí)的二階修正為：

(13)

上式關(guān)于能量的二階修正均小于等于零，這一點(diǎn)與前面的結(jié)論一致。即，由于E3為能量最低的能級(jí)，由前面結(jié)論可知，所有二階修正均為負(fù)。

此外，考慮到用微擾論進(jìn)行實(shí)際計(jì)算時(shí)，往往只需要計(jì)算出微擾所產(chǎn)生的低階修正，因此我們僅研究到二階近似，不再考慮更高階的能量修正。

3 結(jié)論

利用上述結(jié)論，對(duì)于存在微擾的體系，我們可以很快判斷出，微擾矩陣會(huì)對(duì)哪些能級(jí)帶來(lái)什么樣的修正。并在計(jì)算前，可以判斷出修正的作用效果，從而減少計(jì)算量。同時(shí)，這些結(jié)論還可為通過(guò)微擾的引入來(lái)控制體系能譜提供一定的幫助，從而更好的把握如何通過(guò)微擾項(xiàng)來(lái)控制能級(jí)的位置，提高對(duì)量子體系的調(diào)控能力。