◆李 猛 苗岑岑 王國(guó)蘇

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Hu矩不變量在圖像幾何變換中的分析

◆李 猛 苗岑岑 王國(guó)蘇

（珠海格力電器股份有限公司制冷技術(shù)研究院 廣東 519070）

由于圖像矩具有平移、縮放、旋轉(zhuǎn)不變性，所以被廣泛地應(yīng)用到圖像的模式識(shí)別領(lǐng)域。在連續(xù)函數(shù)中矩具有嚴(yán)格的不變性。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，圖像函數(shù)是離散的。因此，隨著圖像的幾何變換，圖像的矩也可能會(huì)發(fā)生改變。針對(duì)此問(wèn)題，本文定量分析了圖像的幾何變換對(duì)圖像矩的不變量所產(chǎn)生的影響。最后給出了減小這種影響的建議。

模式識(shí)別；Hu矩不變量；空間分辨率；圖像旋轉(zhuǎn)；圖像縮放

0 引言

在大量的應(yīng)用中，矩及其不變量已被廣泛地用來(lái)分析圖像的特性。包括：幾何矩[1]，Zernike矩[2]，旋轉(zhuǎn)矩和復(fù)矩[3]。矩的不變量首先由Hu[4]引入。在代數(shù)不變量的基礎(chǔ)上，Hu推導(dǎo)出了6個(gè)絕對(duì)正交不變量和1個(gè)斜正交不變量，它們既不受位置、大小和方向的影響，也不受平行投影的影響。假設(shè)圖像沒(méi)有噪聲并且是連續(xù)的情況下，矩的不變量已經(jīng)被證明對(duì)圖像的平移、縮放、旋轉(zhuǎn)是有效的[5]。矩的不變量已被大量應(yīng)用到圖像的模式識(shí)別，圖像配準(zhǔn)，圖像重建[6]。然而，實(shí)際應(yīng)用中的數(shù)字圖像并不是連續(xù)的、無(wú)噪聲的，因?yàn)閳D像是由有限精度像素在離散坐標(biāo)中量化的。此外，很多因素都可能會(huì)引入噪聲，比如相機(jī)。矩不變量的計(jì)算過(guò)程中也不可避免地會(huì)引入誤差。矩不變量可能隨圖像幾何變換而變化。Salama[7]分析了空間量化對(duì)矩不變量的影響。他發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圖像尺寸增大，采樣間隔減小時(shí)，誤差減小，但一般不會(huì)單調(diào)減小。Tch[8]分析了關(guān)于矩不變量的三個(gè)基本問(wèn)題，得出的結(jié)論是：對(duì)圖像噪聲的敏感性；信息冗余；圖像的表達(dá)能力。他發(fā)現(xiàn)高階矩更容易受到噪聲的污染。不僅圖像量化和噪聲的污染引起矩不變量的計(jì)算誤差，圖像縮放和旋轉(zhuǎn)等變換也會(huì)引起。圖像尺寸的變化是通過(guò)像素的插值或刪除來(lái)進(jìn)行的。此外，圖像的旋轉(zhuǎn)還會(huì)引起圖像表達(dá)函數(shù)的變化，因?yàn)樗婕皥D像的旋轉(zhuǎn)會(huì)引起像素值和坐標(biāo)[9]的四舍五入。因此，矩的不變量可能會(huì)隨著圖像縮放或圖像旋轉(zhuǎn)而改變。

本文定量分析了圖像的縮放和旋轉(zhuǎn)對(duì)矩不變量的影響，找到了矩的不變量與圖像縮放、旋轉(zhuǎn)之間的關(guān)系，并且給出了最小化矩不變量誤差的建議。

1 不變矩

二維第（+）階矩定義[10]如下：

如果圖像函數(shù)(,)是一個(gè)分段連續(xù)有界函數(shù)，則存在所有階的矩，且矩序列{m}唯一由(,)確定，并且相應(yīng)的(,)也由矩序列{m}唯一確定。

當(dāng)(,)通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)或縮放發(fā)生變化時(shí)，式（1）中的矩可能會(huì)發(fā)生變化。不變的特征可以通過(guò)中心矩來(lái)實(shí)現(xiàn)，中心矩定義如下：

其中：

通過(guò)圖像(,)的質(zhì)心計(jì)算中心矩u，相當(dāng)于m的中心被平移到圖像的質(zhì)心。因此，中心距對(duì)圖像平移是不變的。

尺度不變性可以通過(guò)歸一化得到。歸一化的中心距定義如下：

基于歸一化中心距，引入七個(gè)不變矩：

七個(gè)矩的不變量是圖像縮放、平移和旋轉(zhuǎn)時(shí)不變的有用性質(zhì)。

2 矩不變量與圖像變換

在圖像處理中幾何變換是一種流行的技術(shù)，主要涉及圖像平移、縮放和旋轉(zhuǎn)。平移操作將輸入圖像中的每個(gè)像素的位置映射到輸出圖像中的新位置；縮放操作用于縮放圖像的大小，這是通過(guò)對(duì)輸入圖像進(jìn)行子采樣或插值來(lái)實(shí)現(xiàn)的; 旋轉(zhuǎn)操作通過(guò)旋轉(zhuǎn)指定的角度將每個(gè)像素的位置映射到新的位置，這可能會(huì)產(chǎn)生非整數(shù)坐標(biāo)。為了使像素坐標(biāo)為整數(shù)，可以采用不同的插值方法。例如最鄰近插值、雙線性插值和三次插值等。

從上一段的描述中，我們可以看到平移只是改變了像素的位置，縮放和旋轉(zhuǎn)不僅改變了像素的位置，也改變了圖像函數(shù)本身。因此，只有縮放和旋轉(zhuǎn)才會(huì)引起矩不變量的誤差。我們使用兩幅250*250分辨率的圖像來(lái)研究圖像縮放和旋轉(zhuǎn)對(duì)矩不變量的影響程度，一幅是沒(méi)有主方向的復(fù)雜圖像(圖1a)；另一個(gè)是具有主方向的簡(jiǎn)單圖像(圖1b)。

圖1 實(shí)驗(yàn)圖像

2.1 矩不變量與圖像縮放

如上所述，圖像縮放會(huì)引起圖像函數(shù)的變化，所以矩不變量也會(huì)相應(yīng)變化。因此，研究矩不變量與圖像縮放的關(guān)系是十分必要的。我們通過(guò)計(jì)算圖像A和圖像B的7個(gè)不變矩來(lái)進(jìn)行研究，分辨率從10*10到500*500，每次遞增10。圖2a、2b分別給出了圖像A、B的不矩變結(jié)果。從圖中可以看出130*130的分辨率是圖像A的閾值。當(dāng)分辨率小于閾值時(shí)，其值具有明顯的波動(dòng)，而當(dāng)分辨率大于閾值時(shí)，其值具有穩(wěn)定性。相應(yīng)的，圖像B的閾值為150*150。

表1 圖像A的波動(dòng)率

圖2 圖像A、B不變矩結(jié)果

矩不變量的波動(dòng)情況根據(jù)式4計(jì)算：

式中，max()、min()和mean()分別表示數(shù)據(jù)中的最大值、最小值和平均值。圖2a中的數(shù)據(jù)按閾值130*130分為兩組，分別由式(4)計(jì)算波動(dòng)情況，結(jié)果如表1所示。在矩不變量Hu5中，當(dāng)圖像的分辨率小于閾值時(shí)，最大的波動(dòng)為387.431%；當(dāng)圖像的分辨率大于閾值時(shí)，減少為22.258%。

2.2 矩不變量與圖像旋轉(zhuǎn)

由于圖像的旋轉(zhuǎn)會(huì)改變圖像的函數(shù)，所以隨著圖像的旋轉(zhuǎn)，矩不變量也會(huì)不斷變化。為了研究圖像旋轉(zhuǎn)引起的矩不變量的波動(dòng)，我們進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，將輸入圖像以1度為增量從1度旋轉(zhuǎn)到360度。

圖3顯示了圖像B從1度旋轉(zhuǎn)到360度的矩不變量波動(dòng)情況，它顯示了當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度接近45、135、225、315度時(shí)，矩不變量的波動(dòng)變大，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度接近90、180、270、360度時(shí)，矩不變量的波動(dòng)變?nèi)酢?/p>

圖3 圖像B矩不變量的波動(dòng)

在第二節(jié)的A中，圖像B的分辨率閾值是150*150。為了驗(yàn)證相同的圖像在縮放和旋轉(zhuǎn)之間是否有相同的閾值，我們使用相同的原始圖像制作了分辨率從60*60到330*330的一系列圖像，并且以每次30度的增量，計(jì)算從0度到360度旋轉(zhuǎn)的每幅圖像的矩不變量。然后，根據(jù)式公式(4)計(jì)算每種分辨率下幅圖像的波動(dòng)。圖4為矩不變量的波動(dòng)趨勢(shì)。從圖4中可以看出，圖像縮放和圖像旋轉(zhuǎn)的閾值是不同的。圖像B上圖像旋轉(zhuǎn)的閾值不是150*150，而是240*240。

表2中為不同分辨率60*60—330*330下7個(gè)矩不變量的波動(dòng)值，可以得出，隨著圖像空間分辨率的增加，波動(dòng)在減小。當(dāng)分辨率僅為60*60時(shí)，波動(dòng)幾乎達(dá)到1921.1%，當(dāng)分辨率為270*270時(shí)，波動(dòng)迅速下降到1.1%。隨著分辨率的增加，波動(dòng)明顯減小，直到達(dá)到閾值。但是，當(dāng)分辨率大于270*270時(shí)，波動(dòng)不再單調(diào)地減小。

圖4 不同分辨率圖像B上矩不變量的波動(dòng)

表2 矩不變量在圖像B不同分辨率下的波動(dòng)

3 矩不變量的計(jì)算量

如第二節(jié)所述，我們可以得出結(jié)論。分辨率越高，波動(dòng)越小。但隨著分辨率的提高，矩不變量的計(jì)算量也會(huì)增加。因此，研究圖像分辨率與計(jì)算量之間的關(guān)系是十分必要的。在PC (CPU 4GHz, RAM 8G)上，以30為增量計(jì)算10*10—1500*1500分辨率的矩不變量。圖5為顯示結(jié)果。從圖中可以看出，分辨率與計(jì)算量之間的關(guān)系是非線性的。因此，我們必須選擇一個(gè)可接受的分辨率來(lái)平衡實(shí)際應(yīng)用中的計(jì)算量和分辨率。

圖5 不同分辨率下的矩不變量的計(jì)算時(shí)間

4 結(jié)束語(yǔ)

本文分析了Hu矩不變量在圖像縮放和旋轉(zhuǎn)中的波動(dòng)。我們的研究結(jié)果可以總結(jié)如下：(1)由于圖像不是連續(xù)函數(shù)而且受噪聲污染，所以矩不變量隨著圖像縮放或旋轉(zhuǎn)而變化。(2)當(dāng)圖像的空間分辨率增加時(shí)，波動(dòng)減小。但是，當(dāng)分辨率大于閾值時(shí)，這種變化并不會(huì)隨著分辨率的增加而顯著降低。但是隨著分辨率的提高，計(jì)算量會(huì)迅速增加。

實(shí)驗(yàn)研究表明，圖像空間分辨率的選擇對(duì)于保持圖像的不變性非常重要。為了減小矩不變量的波動(dòng)，圖像的空間分辨率必須大于縮放和旋轉(zhuǎn)的閾值。但是，分辨率不能太高，因?yàn)殡S著分辨率的增加，計(jì)算量會(huì)顯著增加。因此，在實(shí)際應(yīng)用中必須平衡計(jì)算量和分辨率。

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