王億平鄭建軍

(1.浙江工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，浙江 杭州 310023；2.浙江省工程結(jié)構(gòu)與防災(zāi)減災(zāi)技術(shù)研究重點實驗室，浙江 杭州 310023)

瀝青混凝土具有多尺度、多相特征，每相組分的力學(xué)特性和體積分數(shù)以及各相組分之間的相互作用都會影響瀝青混凝土的宏觀力學(xué)性能。瀝青混凝土已廣泛應(yīng)用于道路工程，其彈性模量是路面材料設(shè)計的重要參數(shù)之一。因此，瀝青混凝土彈性模量及與各組分力學(xué)特性和體積分數(shù)之間的定量關(guān)系是材料優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)[1-2]。

目前，確定含空隙瀝青混凝土彈性模量主要通過實驗室試驗和各種經(jīng)驗公式。但實驗室試驗過程復(fù)雜、耗時長，而每個經(jīng)驗公式又都有其特定的適用范圍，如果試驗條件與實際使用情況有所出入，可能會引起工程設(shè)計不能接受的誤差。近年來，國內(nèi)外學(xué)者從細觀力學(xué)原理出發(fā)分析瀝青混凝土彈性模量。Li等[3]提出兩層嵌入式細觀力學(xué)模型，導(dǎo)出瀝青混凝土楊氏模量的解析解，但泊松比仍近似估計。Li等[4]提出了瀝青混凝土彈性模量估算的兩步法，第1 步將細骨料模擬成球形夾雜物，填料和膠凝材料模擬成基體；第2 步將粗骨料模擬成球形夾雜物，細骨料、填料和膠凝材料模擬成基體，但沒有考慮空隙的影響。朱興一等[5]基于復(fù)合材料細觀力學(xué)方法，將各級粒徑骨料與空隙逐一投入，然后均勻化，獲得瀝青混凝土楊氏模量和剪切模量，但忽略了界面層的影響。在這些研究中，骨料均假設(shè)為圓形或球形，與實際骨料(如碎石)的形狀存在一定的差異，忽略了界面層，也沒有考慮空隙水飽和度的影響。在前人工作的基礎(chǔ)上，筆者將骨料模擬成多邊形，考慮界面層、空隙和空隙水飽和度的影響，應(yīng)用快速傅里葉變換提出了含空隙瀝青混凝土彈性模量預(yù)測的數(shù)值方法。

1 多邊形骨料混凝土彈性模量

1.1 多邊形骨料分布模擬

混凝土中的骨料經(jīng)常采用碎石，屬于不規(guī)則的多面體，在二維平面上可以模擬成多邊形[6]。在模擬骨料分布時，先選定一個正方形模擬單元，建立極坐標系，確定骨料的邊數(shù)、極角和極半徑。再依次將骨料按粒徑由大到小投放到正方形區(qū)域中，要求任何兩個骨料都不能相互重疊[7]。為了消除骨料分布的邊壁效應(yīng)，在正方形單元的每條邊上引入周期性邊界條件[8]。作為算例，選定邊長為200 mm的正方形，骨料粒徑為4.75～19 mm，骨料邊數(shù)為4～10，圖1為骨料面積分數(shù)為40%時多邊形骨料分布的模擬圖，與實際混凝土截面上的骨料分布非常相近。

圖1 多邊形骨料分布圖Fig.1 Distribution of polygonal aggregates

1.2 彈性模量計算的基本原理

假設(shè)非均質(zhì)混凝土各點的彈性張量Cijkl(x1,x2)是坐標(x1,x2)的函數(shù)，則各點的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系為

(1)

(2)

引入格林張量Γijkl(x1,x2)，式(1)的解[9]可表示成

(3)

式中“*”表示卷積，對式(3)進行傅里葉變換有

(4)

(5)

1.3 數(shù)值迭代法

對于多相混凝土，其彈性模量可由下列迭代法求解：

4) 計算各點的面積加權(quán)應(yīng)變和應(yīng)力，最后獲得多相混凝土彈性模量。

2 含空隙瀝青混凝土彈性模量

含空隙瀝青混凝土由瀝青砂漿、粗骨料、空隙和界面四相組成，由于粗骨料尺寸遠大于空隙尺寸，要進行分級模擬。為此，筆者提出彈性模量計算的兩步法：1) 先考慮由空隙和瀝青砂漿所組成的兩相復(fù)合材料，其中，空隙為夾雜相，瀝青砂漿為基體，通過解析法計算其彈性模量；2) 再把含空隙瀝青混凝土模擬成含空隙瀝青砂漿、界面和粗骨料所組成的三相復(fù)合材料，通過數(shù)值方法計算其彈性模量。

2.1 含空隙瀝青砂漿彈性模量

設(shè)瀝青混凝土中瀝青砂漿和空隙的體積分數(shù)分別為fam和fav，則空隙在瀝青砂漿中的體積分數(shù)為

(6)

再設(shè)空隙水的飽和度為S，則含空隙瀝青砂漿的體積模量Kamav和剪切模量Gamav[10]可表示成

(7)

(8)

式中：Kam，Gam分別為瀝青砂漿的體積模量和剪切模量；Kw為水的體積模量，一般取2.25 GPa；系數(shù)β，η[11]分別為

(9)

(10)

這樣，就可以計算含空隙瀝青砂漿的楊氏模量Eamav和泊松比νamav分別為

(11)

(12)

2.2 含空隙瀝青混凝土彈性模量

正如上面所述，把含空隙瀝青混凝土看成是由含空隙瀝青砂漿、界面和粗骨料所組成的三相復(fù)合材料，其彈性模量通過下列步驟獲得：

1) 將正方形模擬單元劃分成2M×2M個小正方形單元，M為快速傅里葉算法中像素點個數(shù)的指數(shù)，取每個小單元的中心為單元的像素點。

2) 若像素點位于粗骨料內(nèi)，該點楊氏模量取粗骨料的楊氏模量Eagg；若像素點位于界面層內(nèi)，該點楊氏模量取界面層的楊氏模量Eitz；若像素點位于含空隙瀝青砂漿內(nèi)，該點楊氏模量取Eamav。

3) 再根據(jù)1.3節(jié)所提出的多相混凝土彈性模量計算的迭代法計算含空隙瀝青混凝土楊氏模量Eacav。

3 試驗驗證

3.1 試驗驗證

選擇Li等[4]的試驗結(jié)果來檢驗筆者數(shù)值方法的精度。在他們的試驗中，瀝青體積分數(shù)為4.2%，當(dāng)溫度為25 ℃，油石比(瀝青與礦料的質(zhì)量比)分別為3%，4%，5%，6%時，瀝青砂漿的楊氏模量分別為2 384，1 954，1 340，1 034 MPa。粒徑位于0.15～4.75 mm的細骨料視為瀝青砂漿材料的一部分。各級粗骨料的體積分數(shù)[5]如表1所示，楊氏模量為40 GPa，泊松比對結(jié)果影響不大，取0.2[12]?？障堵蕿?%，假設(shè)空隙中的水全飽和，S等于1.0。界面區(qū)楊氏模量為35 GPa，界面區(qū)厚度取20 μm[13]，泊松比取0.3。數(shù)值模擬與試驗結(jié)果的比較如表2所示。從表2可以看出：數(shù)值模擬與試驗結(jié)果良好吻合，當(dāng)油石比分別為3%，4%，5%，6%時，它們之間的相對誤差分別為1.41%，4.54%，1.71%，2.12%。因此，數(shù)值模擬具有較高的精度。

表1 粗骨料體積分數(shù)Table 1 Coarse aggregate volume fractions

表2 數(shù)值模擬與試驗結(jié)果比較

Table 2 Comparison between numerical simulations and experimental results

油石比/%3456彈性模量試驗數(shù)據(jù)/GPa5.7604.7394.6273.870彈性模量數(shù)值模擬/GPa5.8414.9544.7063.952

3.2 影響因素分析

從上面的分析可以看出：諸多因素影響瀝青混凝土的彈性模量，但下面著重分析骨料形狀、界面厚度以及空隙水飽和度等對彈性模量的影響。分析時，考慮富勒級配粗骨料[14]，楊氏模量為50 GPa，泊松比取0.2，瀝青砂漿楊氏模量為1.5 GPa，泊松比取0.3，界面楊氏模量為35 GPa，泊松比為0.3。

圖2 骨料形狀對彈性模量的影響Fig.2 Effect of aggregate shape on elastic modulus

首先分析骨料形狀的影響。設(shè)粗骨料體積分數(shù)分別為45%，55%，65%，長細比(多邊形骨料最小粒徑所對應(yīng)的外接矩形的長與寬之比)分別為1，2，3，界面厚度為20 μm，空隙率φ為3%，空隙水全飽和，即S取1.0，結(jié)果如圖2所示。從圖2可以看出：當(dāng)粗骨料體積分數(shù)一定時，彈性模量隨長細比增大而降低。這是因為長細比越大，界面體積分數(shù)越低[14]，而界面楊氏模量高于瀝青砂漿的楊氏模量，所以瀝青混凝土楊氏模量也越低。當(dāng)粗骨料體積分數(shù)為45%，55%，65%時，長細比為3時的彈性模量比長細比為1時的彈性模量分別低3.17%，5.18%，3.74%。

其次分析界面厚度的影響。設(shè)粗骨料體積分數(shù)為35%～65%，長細比為2，界面厚度分別為5，12，20 μm，空隙率φ為3%，空隙水全飽和，即S取1.0，結(jié)果如圖3所示。從圖3可以看出：當(dāng)粗骨料體積分數(shù)一定時，彈性模量隨界面厚度增大而增大。這是因為界面厚度越大，界面體積分數(shù)也越大[14]。當(dāng)粗骨料體積分數(shù)為35%，45%，55%，65%時，界面厚度為20 μm時的彈性模量比界面厚度為5 μm時的彈性模量分別高3.59%，4.63%，5.50%，8.78%。

圖3 界面厚度對彈性模量的影響Fig.3 Effect of ITZ thickness on elastic modulus

最后分析空隙水飽和度的影響。設(shè)粗骨料體積分數(shù)為35%～65%，長細比為2，界面厚度為20 μm，空隙率φ為7%，空隙水飽和度S分別取0，0.5，1.0，結(jié)果如圖4所示。從圖4可以看出：當(dāng)粗骨料體積分數(shù)一定時，彈性模量隨著空隙水飽和度的增大而增大。這是因為空隙水飽和度越大，含水空隙的體積模量也越大。當(dāng)粗骨料體積分數(shù)為35%，45%，55%，65%時，空隙水飽和度為1.0時的彈性模量比空隙水飽和度為0時的彈性模量分別高4.00%，6.59%，5.43%，4.88%。

圖4 空隙水飽和度對彈性模量的影響Fig.4 Effect of degree of saturation on elastic modulus

4 結(jié) 論

將解析解與數(shù)值解相結(jié)合，提出了含空隙瀝青混凝土彈性模量計算的數(shù)值方法，該方法的主要優(yōu)點是考慮了骨料形狀、界面以及空隙水飽和度的影響。通過與試驗結(jié)果比較，證實了該數(shù)值方法的有效性?；? 個數(shù)值算例，討論了骨料形狀、界面厚度以及空隙水飽和度對瀝青混凝土彈性模量的影響。結(jié)果表明：當(dāng)粗骨料體積分數(shù)分別為45%，55%，65%，粗骨料長細比從3減小到1時，瀝青混凝土彈性模量分別降低3.17%，5.18%，3.74%；當(dāng)粗骨料體積分數(shù)分別為35%，45%，55%，65%，界面厚度從20 μm減小到5 μm時，瀝青混凝土彈性模量分別減小3.59%，4.63%，5.50%，8.78%；當(dāng)粗骨料體積分數(shù)為35%，45%，55%，65%，空隙水飽和度從0增大到1.0時，瀝青混凝土彈性模量分別增大4.00%，6.59%，5.43%，4.88%。因此，為了提高瀝青混凝土的彈性模量，在材料設(shè)計時應(yīng)盡量增大界面厚度和采用長細比接近1的粗骨料。