李 濤，許 華，蔣 磊

（空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，西安 710077）

0 引言

通信信號(hào)的信噪比（SNR：Single-to-Noise-Ratio）是反應(yīng)通信信號(hào)質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo)，而且在無線通信中的許多場(chǎng)合，如分集接收中的最大比合并、調(diào)制信號(hào)識(shí)別、Turbo編碼中的迭代譯碼、移動(dòng)通信中的功率控制、碼分多址中各鏈路的功率分配等，都需要將信噪比作為先驗(yàn)信息[1]，信噪比估計(jì)的準(zhǔn)確度直接影響到通信系統(tǒng)的性能，因而信噪比估計(jì)算法的研究是一項(xiàng)重要課題。

目前，對(duì)于非衰落信道下的信噪比估計(jì)算法[2-7]研究最充分，主要有基于似然函數(shù)、統(tǒng)計(jì)量和子空間分解的方法，特別是在有數(shù)據(jù)輔助下，最大似然估計(jì)（ML）性能基本達(dá)到理論下限，而且實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單。而對(duì)于高速移動(dòng)終端，恒定信道的經(jīng)典假設(shè)不符合實(shí)際，如果想要跟蹤快速變化的信道參數(shù)，需要插入大量的導(dǎo)頻序列，會(huì)降低信息傳輸速率。而且，對(duì)于頻譜檢測(cè)、通信偵查和其他非合作接收中，導(dǎo)頻序列極難獲得。在現(xiàn)實(shí)中，信道往往是衰落信道，因此，對(duì)時(shí)變衰落信道下的信噪比盲估計(jì)算法[8]的研究是一項(xiàng)重要的課題。

本文基于EM算法的迭代期望值最大化思想，首先推導(dǎo)了時(shí)變平坦衰落SIMO信道下EM算法的閉式解，實(shí)現(xiàn)了對(duì)信噪比的盲估計(jì)。為進(jìn)一步改善性能，利用M2M4算法得到待估參數(shù)的粗略值，對(duì)EM算法進(jìn)行初始化，從而加快EM迭代算法的收斂速度并提高其估計(jì)精度。

1 信號(hào)模型

考慮恒包絡(luò)調(diào)制信號(hào)（下文以MPSK調(diào)制信號(hào)為例），在信號(hào)經(jīng)過時(shí)變平坦衰落SIMO信道后，接收端經(jīng)過時(shí)間同步和匹配濾波后，第i（i=1，2，…，Nr）個(gè)天線單元接收信號(hào)模型可以表示為：

其中，Ts為采樣間隔，與符號(hào)間隔相等，N為處理窗口長(zhǎng)度，nTs表示離散時(shí)間的瞬時(shí)時(shí)刻（下文用tn表示）。x（tn）表示tn時(shí)刻的發(fā)送信號(hào)，hi（tn）表示第i個(gè)天線單元的瞬時(shí)信道復(fù)增益，ωi（tn）表示復(fù)高斯白噪聲，均值為0，方差為2σ2。將hi（tn）進(jìn)行L-1階泰勒級(jí)數(shù)展開，如下：

當(dāng)L太大時(shí)，可能導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定，本文根據(jù)FD通過選取合適的N和Fs，使為無窮小。

2 EM算法

整個(gè)EM算法的迭代過程由兩部分組成：

E步：根據(jù)前一次得到的θ估計(jì)值計(jì)算似然函數(shù) L（θ|xk）的數(shù)學(xué)期望值；

M步：求新的θ估計(jì)值使E步驟中的數(shù)學(xué)期望值最大化。

定義如下向量：

發(fā)送端發(fā)送 x（n）（即 x（tn）），接收端所有天線單元的接收矩陣y（n）可以表示為：

由式（5）得y（n）的先驗(yàn)概率密度函數(shù)為：

其中，xk可以是MPSK的任意一個(gè)星座點(diǎn)，θ表示待估向量ci和參數(shù)σ2。對(duì)于發(fā)送符號(hào)x（n），待估參數(shù)θ的似然函數(shù)為：

定義關(guān)于θ的函數(shù)Q：

由于ci由實(shí)部和虛部構(gòu)成，即：

其中，

將式（8）對(duì) σ2求導(dǎo)并置 0，求得 σ2（q）的最大似然估計(jì)值為：

其中，

利用ci和σ2的估計(jì)值，第i個(gè)天線單元的信噪比最大似然估計(jì)值可以表示為：

3 基于M2M4的參數(shù)初始化

EM算法具有收斂性[9]，但一般情況下，EM算法的結(jié)果只能保證收斂到后驗(yàn)分布密度函數(shù)穩(wěn)定的點(diǎn)，并不能保證一定收斂到所求問題的極大似然解。如果似然函數(shù)具有多極值，則EM算法只能保證收斂于某一局部極大值處，在這種情況下，EM算法能否收斂到全局極大值處，取決于算法初值的選取。

M2M4估計(jì)方法[10]利用接收信號(hào)的二階和四階矩的相互關(guān)系來進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，是一種自適應(yīng)全盲算法，不需要載波相位的恢復(fù)，不需要接收機(jī)進(jìn)行判決，而且運(yùn)算量相對(duì)較小。采用較小運(yùn)算量的M2M4算法對(duì)θ進(jìn)行初始化，能快速提高EM算法的收斂速度，減少迭代次數(shù)，并盡可能使算法收斂到全局最大值處。

為簡(jiǎn)化初始化信號(hào)模型，當(dāng)NFD較小時(shí)，第i個(gè)天線單元的時(shí)變信道增益可以當(dāng)作常數(shù)，假設(shè)高斯白噪聲 ωi功率為 Pi，即 Pi=2σ2。則式（1）的接收信號(hào)模型重寫為：

第i個(gè)天線單元接收信號(hào)的2階和4階統(tǒng)計(jì)量分別為：

參數(shù) ci，σ2初始化為：

4 仿真與結(jié)果分析

為檢驗(yàn)M2M4-EM算法性能，本文以常見的QPSK和16-QAM恒包絡(luò)信號(hào)為例，分別仿真了EM算法和M2M4-EM算法在不同信噪比和接收天線單元數(shù)量下的性能，以信噪比的歸一化均方誤差（NMSE）作為性能指標(biāo)，即：

圖1是QPSK信號(hào)在不同γ下，兩種SNR估計(jì)算法獨(dú)立進(jìn)行5 000次MonteCarlo試驗(yàn)的NMSE對(duì)比。仿真條件設(shè)置為：N=56，Nr=3，L=4，F(xiàn)s=14 000 Hz且FD/Fs=7.14×10-3。仿真時(shí)，EM迭代10次，初值；M2M4-EM算法仿真中僅進(jìn)行4次迭代，初值由M2M4算法求得，其余仿真條件相同。

圖1 不同γ下QPSK信號(hào)的SNR估計(jì)算法的NMSE對(duì)比

圖2 不同γ下16-QAM信號(hào)的SNR估計(jì)算法的NMSE對(duì)比

從圖1中兩算法的性能曲線中可以看出，算法在較寬的信噪比范圍內(nèi)都具有較好的性能。M2M4-EM算法在迭代4次的情況下性能優(yōu)于迭代10次的EM算法，且這種優(yōu)勢(shì)在信噪比低于-2 dB時(shí)更加明顯。信噪比在-2 dB～8 dB時(shí)，兩種算法性能幾乎無異。當(dāng)信噪比高于8 dB時(shí)，由于初始值不夠精確，兩種算法的性能相對(duì)降低。

表1為在上述5 000次MonteCarlo仿真中，兩種算法的時(shí)間開銷數(shù)據(jù)對(duì)比?？梢钥闯?，與EM算法相比，M2M4-EM算法耗時(shí)少近60%。

表1 兩種算法的時(shí)間開銷對(duì)比

圖2是針對(duì)16-QAM信號(hào)進(jìn)行的仿真，其他仿真條件與圖1相同。從圖中可以看出，兩條性能曲線與圖1相似，表明算法對(duì)恒包絡(luò)信號(hào)都具有較好的實(shí)用性。

圖3是在不同接收天線單元數(shù)量下，兩種SNR估計(jì)算法的性能曲線，其他仿真條件與圖1相同，EM算法迭代10次，M2M4-EM算法僅迭代4次。從圖中可以看出，隨著接收天線數(shù)量的增加，算法性能越好，且M2M4-EM算法性能始終優(yōu)于EM算法；當(dāng)接收天線數(shù)量大于6時(shí)，M2M4參數(shù)初始化算法的估計(jì)精度得到提升，使M2M4-EM算法性能得到顯著提高。

圖3 不同接收天線單元數(shù)量對(duì)兩種SNR估計(jì)算法性能影響

5 結(jié)論

針對(duì)恒包絡(luò)信號(hào)在時(shí)變平坦衰落SIMO信道下的信噪比盲估計(jì)問題，提出一種基于EM算法的改進(jìn)M2M4-EM算法。首先利用了常規(guī)EM算法的迭代期望值最大化思想，推導(dǎo)出了SIMO信道下EM算法的閉式解。為了進(jìn)一步提高算法性能，通過M2M4算法利用接收信號(hào)的二階四階矩得到待估參數(shù)的粗略值，對(duì)EM算法進(jìn)行初始化，從而加快EM迭代算法的收斂速度并提高其估計(jì)精度。通過仿真算法在不同信噪比和接收天線單元數(shù)量下的性能，說明了M2M4-EM算法在較寬的信噪比范圍內(nèi)具有較好的估計(jì)精度和較快的收斂速度，在接收天線數(shù)量大于6時(shí)，能減小EM算法在高信噪比時(shí)由于初值偏差過大引起的估計(jì)誤差，具有良好的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。