張 驍，龔憲生，寧顯國(guó)，萬(wàn) 園

(1.重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶 400044；2.重慶大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,重慶 400044)

近年來(lái)，隨著我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，我國(guó)對(duì)礦產(chǎn)資源的需求量大幅增加，促使我國(guó)對(duì)地下礦產(chǎn)資源的開(kāi)采不斷向深層擴(kuò)張，未來(lái)10年我國(guó)的采礦深度將達(dá)到1 000～2 000 m。由于單繩纏繞式提升機(jī)和摩擦式提升機(jī)，會(huì)隨著采礦深度的增加，鋼絲繩直徑和尾繩重量都會(huì)急劇增加，因此不能滿足超深井提升的需求[1]。因此，多點(diǎn)并行驅(qū)動(dòng)的多層纏繞式提升機(jī)有望成為深部礦產(chǎn)資源開(kāi)發(fā)的有效提升裝備，其具體結(jié)構(gòu)形式如圖1所示。

與傳統(tǒng)的提升機(jī)不同，每一個(gè)卷筒上有兩個(gè)纏繩區(qū)，兩根鋼絲繩繞過(guò)天輪分別與容器相連，并將其重量均勻分配到兩根鋼絲繩上，從而實(shí)現(xiàn)高速的同步提升。超深礦井提升裝備的重負(fù)載、高速度、大慣量和鋼絲繩在高速纏繞過(guò)程產(chǎn)生的周期擾動(dòng)、纏繞誤差等會(huì)引起多點(diǎn)驅(qū)動(dòng)柔性系統(tǒng)的變形失諧。變形失諧會(huì)導(dǎo)致兩根鋼絲繩長(zhǎng)度出現(xiàn)差異和纏繞不同步，造成鋼絲繩的張力異常，引起兩鋼絲繩之間的張力差過(guò)大，導(dǎo)致鋼絲繩的壽命急劇縮短，甚至引發(fā)鋼絲繩張力超標(biāo)、斷繩等重大安全事故。因此對(duì)提升系統(tǒng)鋼絲繩在多繩多層纏繞下特別是對(duì)超深井提升，其振動(dòng)特性將更加復(fù)雜，建立更加符合實(shí)際提升系統(tǒng)鋼絲繩的動(dòng)力學(xué)模型和研究其動(dòng)力學(xué)特性十分重要。

圖1 雙繩多層纏繞式提升系統(tǒng)Fig.1 Diagram of the ultra-deep mine hoisting system

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)電梯和摩擦式提升系統(tǒng)鋼絲繩振動(dòng)特性進(jìn)行了一定的研究。王春華[2]利用集中質(zhì)量法建立了塔式多繩摩擦提升系統(tǒng)的橫向振動(dòng)模型，發(fā)現(xiàn)繩長(zhǎng)變化比重錘質(zhì)量變化對(duì)提升鋼絲繩固有頻率影響更大；張長(zhǎng)友[3]建立了電梯鋼絲繩的縱向振動(dòng)方程，通過(guò)數(shù)值計(jì)算推導(dǎo)出了鋼絲繩的固有頻率計(jì)算公式，并對(duì)電梯垂直振動(dòng)的固有頻率進(jìn)行了分析，解釋了電梯鋼絲繩在提升過(guò)程中某行程階段振動(dòng)加劇的原因；Zhang等[4]以簡(jiǎn)化的軸向提升鋼絲繩模型為基礎(chǔ)，建立了集中參數(shù)的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程，分析了提升鋼絲繩做衰減振動(dòng)、發(fā)散振動(dòng)以及等幅橫向振動(dòng)的原因，并結(jié)合數(shù)值分析與試驗(yàn)對(duì)理論推導(dǎo)公式就行了驗(yàn)證；朱真才等[5-6]利用Hamilton原理建立了纏繞式提升機(jī)的運(yùn)動(dòng)微分方程，并提出該方法也適用于研究深井提升下礦車進(jìn)罐時(shí)的振動(dòng)特性；張鵬等[7-8]人以高速電梯提升鋼絲繩為研究對(duì)象，運(yùn)用Hamilton原理和Galerkin方法對(duì)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)方程建模和求解，進(jìn)一步對(duì)振型函數(shù)就行了修改，得到了更加精確的數(shù)值解；Kaczmarczyk等[9-10]利用Hamilton原理推導(dǎo)出了纏繞式提升機(jī)鋼絲繩的縱向振動(dòng)微分方程，并運(yùn)用多尺度法分析了在周期的外部激勵(lì)下提升系統(tǒng)的振幅和共振區(qū)域等；Kaczmarczyk等[11]研究了高速電梯提升系統(tǒng)的非線性和非穩(wěn)態(tài)振動(dòng)特性，并發(fā)現(xiàn)提升系統(tǒng)的參數(shù)變化會(huì)導(dǎo)致提升系統(tǒng)內(nèi)部出現(xiàn)自參數(shù)共振現(xiàn)象。

單繩提升系統(tǒng)的振動(dòng)特性研究比較多，但對(duì)于雙繩以及多繩纏繞式提升的研究比較少，本文通過(guò)將容器看為平面運(yùn)動(dòng)的剛體，兩鋼絲繩通過(guò)容器連接進(jìn)行耦合，建立了雙繩多層纏繞提升模型，并分析兩鋼絲繩在圈間過(guò)渡不同步時(shí)，鋼絲繩張力差及動(dòng)張力的變化規(guī)律，為控制同一卷筒兩纏繩區(qū)的兩根鋼絲繩纏繞不同步提供理論依據(jù)。

1 雙繩提升系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 無(wú)邊界激勵(lì)時(shí)提升系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

本文將雙繩多層纏繞提升系統(tǒng)分為懸繩和垂繩部分，如圖2所示。其中，將懸繩與卷筒的接觸點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)O1,O2，設(shè)兩鋼絲繩上任意一點(diǎn)p1,p2的長(zhǎng)度為x1(t)，x2(t)天輪到原點(diǎn)的距離為L(zhǎng)s，兩鋼絲繩與提升容器的連結(jié)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離分別為lv1(t),lv2(t)。對(duì)于懸繩段上的任意一點(diǎn)具有縱向、橫向和側(cè)向的位移，分別為uci(xi,t),wi(xi,t)和vi(xi,t)，其中i=1,2。對(duì)于垂繩段，由于天輪和罐道的限制作用，僅考慮其縱向位移ui(xi,t),其中i=1,2。

此外，對(duì)圖2模型做出以下假設(shè)：①提升鋼絲繩的材料均勻并假設(shè)為黏彈性體；②鋼絲繩在卷筒和天輪上的纏繞沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)；③卷筒、天輪和提升容器均為剛體；④忽略鋼絲繩的扭轉(zhuǎn)特性和提升容器運(yùn)行過(guò)程的空氣阻尼；⑤忽略靜平衡狀態(tài)時(shí)，懸繩由于重力作用形成的垂度。

圖2 雙繩多層纏繞提升系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型Fig.2 Model of the two cable mine hoisting system

此提升系統(tǒng)為非保守系統(tǒng)，可以采用分析力學(xué)中的變分方法，并結(jié)合廣義的Hamilton原理對(duì)提升系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行推導(dǎo)，即系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能之差以及阻尼虛功在時(shí)間邊界條件范圍內(nèi)的積分的變分為零。

(1)

式中：T為提升系統(tǒng)的動(dòng)能；Ee為系統(tǒng)的彈性勢(shì)能；Ep為系統(tǒng)的重力勢(shì)能；W為系統(tǒng)阻尼所做的功。

假設(shè)兩鋼絲繩上任意一點(diǎn)p1,p2的位置矢量分別為

(2)

(3)

對(duì)位置矢量進(jìn)行全微分可以得到相應(yīng)的速度矢量

(4)

(5)

(6)

對(duì)于提升容器而言，假設(shè)其為平面運(yùn)動(dòng)的剛體，僅有繞X軸的旋轉(zhuǎn)和沿Z軸的平移，則可以如圖3所示，使用廣義坐標(biāo)(U,θ)來(lái)描述容器在提升過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，其中廣義坐標(biāo)可由如式(7)表示。

(7)

圖3 提升容器旋轉(zhuǎn)示意圖Fig.3 Diagram of rotation of mine cage

容器在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中由于兩側(cè)柔性罐道的限制作用，轉(zhuǎn)動(dòng)角度相對(duì)于容器尺寸而言較小，則cosθ≈1,sinθ≈θ，因此簡(jiǎn)化上式后可以推出U和θ的表達(dá)式為

(8)

提升系統(tǒng)的動(dòng)能

(9)

提升系統(tǒng)的彈性勢(shì)能

(10)

式中：E0為提升鋼絲繩的初始彈性能；Tci,Tvi分別為懸繩和垂繩的準(zhǔn)靜態(tài)張力

(11)

εci,εvi分別為懸繩和垂繩段鋼絲繩的正應(yīng)變

(12)

提升系統(tǒng)的重力勢(shì)能

(13)

式中：Ep0為提升系統(tǒng)的初始重力勢(shì)能；第二項(xiàng)為兩鋼絲繩重力勢(shì)能的改變量；第三項(xiàng)為容器重力勢(shì)能的改變量。

鋼絲繩在提升過(guò)程中的阻尼耗散能

(14)

式中:fcu,fcv,fcw為懸繩段鋼絲繩沿鋼絲繩軸向、沿卷筒徑向和沿卷筒軸向的等效阻尼；fu為垂繩段鋼絲繩的縱向等效阻尼。本文使用等效的黏性阻尼模型，其中各個(gè)阻尼的具體表達(dá)式為

(15)

將以上系統(tǒng)的動(dòng)能、彈性勢(shì)能、重力勢(shì)能以及阻尼虛功代入式(1)，并利用以下時(shí)間和幾何邊界條件

(1)時(shí)間邊界條件

(16)

(2)幾何邊界條件

(17)

利用變分原理，并結(jié)合以上時(shí)間和幾何邊界條件，根據(jù)獨(dú)立變分不為零，同時(shí)運(yùn)用變上限積分的萊布尼茲公式可以推出提升系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)控制方程為

x2=lv2

(18)

其中，

(19)

1.2 邊界激勵(lì)下提升系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

由超深井提升的需要，卷筒必須滿足多繩多層纏繞，其繩槽布置形式采用的是雙折線平行繩槽，其簡(jiǎn)圖如圖4所示。其中繩槽間隙為ε，鋼絲繩直徑為d。此繩槽的特點(diǎn)是，鋼絲繩在每經(jīng)過(guò)一個(gè)過(guò)渡區(qū)時(shí)，沿卷筒軸向(d+ε)/2的排繩位移，且每次沿卷筒軸向移動(dòng)(d+ε)/2的距離。對(duì)于第二層以及以上的鋼絲繩在過(guò)渡區(qū)時(shí)與底層鋼絲繩交叉相互作用，會(huì)造成沿卷筒徑向的抬高位移。同時(shí)，在卷筒轉(zhuǎn)過(guò)相同角度下，鋼絲繩經(jīng)過(guò)過(guò)渡區(qū)與經(jīng)過(guò)平行區(qū)相比，會(huì)產(chǎn)生一定的弧長(zhǎng)差，因此會(huì)對(duì)鋼絲繩沿軸向，即沿卷筒切向會(huì)產(chǎn)生一個(gè)位移激勵(lì)。

圖4 雙折線平行繩槽Fig.4 Groove of lebus

基于雙折線平行繩槽的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，在提升過(guò)程中沿卷筒三個(gè)方向的激勵(lì)都是周期性的，因此可以建立周期性的邊界激勵(lì)函數(shù)來(lái)代替原有的邊界條件。如圖5所示，根據(jù)鋼絲繩在經(jīng)過(guò)過(guò)渡區(qū)時(shí)，沿卷筒軸向排繩的最大位移和徑向抬高的最大位移，可以推導(dǎo)出沿鋼絲繩的軸向的位移最大激勵(lì)幅值。

因此沿卷筒徑向、軸向和切向的最大位移激勵(lì)幅值可以表達(dá)為

(20)

(21)

(22)

式中：Rd為卷筒的半徑；ψ為過(guò)渡區(qū)對(duì)應(yīng)的圓心角；n為鋼絲繩纏繞層數(shù)；d為鋼絲繩的直徑。

以下使用三角函數(shù)來(lái)模擬沿鋼絲繩軸向的周期邊界激勵(lì)函數(shù)，具體表達(dá)式為

(23)

式中：tψ為提升過(guò)程中經(jīng)過(guò)過(guò)渡區(qū)的時(shí)間tψ=ψR(shí)d/V；V為提升速度；te為提升過(guò)程中連續(xù)經(jīng)過(guò)一個(gè)直線區(qū)和一個(gè)過(guò)渡區(qū)的總時(shí)間；te=πRd/V，α=πV/ψR(shí)d。

圖5 平行區(qū)和過(guò)渡區(qū)鋼絲繩堆疊簡(jiǎn)圖Fig.5 Stacking of wire rope in parallel and crossover zone

對(duì)式(12)中懸繩的應(yīng)變公式進(jìn)行變換，并考慮鋼絲繩天輪處的力邊界條件EA[εci-ui,xi(Ls,t)]=0，可以推導(dǎo)出

(24)

式(24)為垂繩的力邊界條件，其中K=EA/Ls，通過(guò)天輪與垂繩相互作用，可以推導(dǎo)出垂繩段在邊界激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)方程為

(25)

式中：

(26)

ρr=ρ+Msδ(xi-Ls),i=1,2

(27)

2 方程離散化

本文鋼絲繩的力學(xué)模型采用的是分布式參數(shù)連續(xù)體，其推導(dǎo)出的動(dòng)力學(xué)方程組為無(wú)限自由度的偏微分方程組，且方程系數(shù)是時(shí)變的，因此難以求解出其精確解。以下使用Galerkin方法將其離散化為常微分方程組，并通過(guò)MATLAB編程進(jìn)行數(shù)值近似求解。

2.1 形函數(shù)求解

對(duì)于垂繩段鋼絲繩，其縱向振動(dòng)可以參考桿的縱向振動(dòng)[13]，因此鋼絲繩的自由振動(dòng)方程可以假設(shè)為

(28)

對(duì)于以上二階偏微分方程具有以下形式的通解

ui(xi,t)=ψ(x)ejωt

(29)

且ψ(xi),ω滿足如下特征方程

(30)

式中：E為鋼絲繩的彈性模量；A為鋼絲繩的有效截面積；ψ(xi)為振型函數(shù)；ω為振動(dòng)頻率；C1，C2為待定系數(shù)，且有β=ω2ρ/EA。

由鋼絲繩在天輪處和容器處的力邊界條件

(31)

將其代入式(30)，可以推導(dǎo)出提升系統(tǒng)頻率的超越方程為

(K-Msω2){Mω2sin(βlvi)-EAβcos(βlvi)+

EAβ[Mω2cos(βlvi)+EAβsin(βlvi)]}=0,i=1,2

(32)

和垂繩段振型函數(shù)為

(33)

2.2 離散偏微分方程組

將兩鋼絲繩的振動(dòng)位移u1,u2改寫為向量形式

(34)

式中：ψ=(ψ1,ψ2,…,ψn)T為振型函數(shù)組成的列向量;p=(p1,p2,…,pn)T,q=(q1,q2,…，qn)T為廣義模態(tài)坐標(biāo)組成的列向量，n為所取的振型階數(shù)。

將式(34)代入有邊界激勵(lì)的鋼絲繩動(dòng)力學(xué)控制方程組式(25)，并同時(shí)在左邊乘以一個(gè)列向量ψ，同時(shí)在(0,lvi)范圍后對(duì)xi進(jìn)行積分，既可以將原來(lái)無(wú)限自由度的偏微分方程組離散化成常微分方程組

(35)

式中：M1,M2為廣義模態(tài)坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的時(shí)變質(zhì)量矩陣;C1,C2為對(duì)應(yīng)的時(shí)變阻尼矩陣;K1,K2為對(duì)應(yīng)的時(shí)變剛度矩陣;F1,F2為對(duì)應(yīng)的廣義力矩陣；m3,m4,m5和m6為容器處廣義模態(tài)坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的時(shí)變質(zhì)量矩陣;c3,c4,c5和c6為對(duì)應(yīng)的時(shí)變阻尼矩陣;k3,k4,k5和k6為對(duì)應(yīng)的時(shí)變剛度矩陣。

3 數(shù)值計(jì)算及結(jié)果分析

本文以某大型超深礦井多層纏繞提升系統(tǒng)為例，分析了當(dāng)兩纏繩區(qū)由于圈間過(guò)渡激勵(lì)不同步時(shí)，兩纏繩區(qū)過(guò)渡不同步時(shí)形成的圓心角大小與兩鋼絲繩張力差值的大小關(guān)系，同時(shí)分析了在不同提升速度下，張力差的變化情況。提升系統(tǒng)的具體參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 超深井提升系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of the deep mine hoisting system

在實(shí)際的礦井提升過(guò)程中，提升系統(tǒng)會(huì)經(jīng)歷慢加速、加速、勻速、慢減速、減速和停車等階段，為了簡(jiǎn)化模擬運(yùn)行曲線的函數(shù)，僅采用三階段的運(yùn)行曲線圖，如圖6所示。

超深井提升具有高速、重載、大慣量的特點(diǎn)，在提升過(guò)程中兩鋼絲繩在圈間過(guò)渡時(shí)經(jīng)過(guò)折線區(qū)可能不同步而形成一定的圓心角差β，如圖7所示。

圖6 三階段提升速度圖Fig.6 Diagram of three-stage hoisting speed

圖7 左右纏繩區(qū)過(guò)渡不同步Fig.7 Non-synchronous transition between two crossover zones

過(guò)渡區(qū)圓心角大小一般取15d/Rd[15]，由表1參數(shù)計(jì)算可知，過(guò)渡區(qū)圓心角α可取為0.285 rad。以下分別以兩繩區(qū)過(guò)渡圓心角差值β為0.01 rad,0.02 rad,0.025 rad,0.03 rad,0.035 rad,0.04 rad,0.045 rad時(shí)來(lái)分析提升系統(tǒng)的動(dòng)張力差。

對(duì)式(35)進(jìn)行數(shù)值求解，可得到在不同提升速度下隨時(shí)間變化的廣義模態(tài)坐標(biāo)[16-17]，并根據(jù)式(34)可以得到相應(yīng)的振動(dòng)位移[18]。由于垂繩段靠近天輪處的點(diǎn)所受張力最大，以下取垂繩段上天輪處的點(diǎn)來(lái)進(jìn)行動(dòng)張力計(jì)算，根據(jù)黏彈性力學(xué)，其計(jì)算公式為

(36)

根據(jù)式(36)可以計(jì)算出兩鋼絲繩在提升過(guò)程中的動(dòng)張力變化曲線[19]，進(jìn)而可以得到提升過(guò)程中兩繩張力差隨時(shí)間變化的曲線。其中β=0.01 rad時(shí)鋼絲繩張力、張力差及動(dòng)張力見(jiàn)圖8、圖9，其余值詳見(jiàn)表1。

圖8 β=0.01 rad,V=18 m/s時(shí)垂繩段兩鋼絲繩在天輪處的處張力及張力差Fig.8 Vertical cable tension and tension difference at the sheave,when β=0.01 rad,V=18 m/s

圖9 β=0.01 rad,V=18 m/s時(shí)垂繩段兩鋼絲繩在天輪的動(dòng)張力Fig.9 Vertical cable dynamic tension difference at the sheave,when β=0.01 rad,V=18 m/s

圖10 不同速度激勵(lì)頻率及垂繩固有頻率Fig.10 Different speed excitation frequency and vertical rope natural frequency

由圖8可知，兩鋼絲繩的張力隨著提升時(shí)間的增加，鋼絲繩的張力是逐漸減小的[20-21]，原因是隨著提升高度變化，垂繩段的鋼絲繩質(zhì)量不斷減??；同時(shí)由于提升過(guò)程中由于縱向振動(dòng)而產(chǎn)生的動(dòng)張力，鋼絲繩總張力曲線是一條沿右向下傾斜的振動(dòng)曲線；其中兩鋼絲繩的最大張力差是出現(xiàn)在提升時(shí)間段為t=80～100 s。由圖10可知，當(dāng)提升速度為V=13～20 m/s時(shí)激勵(lì)頻率與垂繩二階、三階固有頻率都存在交點(diǎn)，在此提升速度范圍內(nèi)都會(huì)有垂繩發(fā)生共振，由于鋼絲繩內(nèi)阻尼的作用，振幅快速衰減。由激勵(lì)頻率Ω=2V/Rd，當(dāng)V=18 m/s時(shí)，圈間過(guò)渡的激勵(lì)頻率與垂繩固有頻率存在一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖9，圖10可知，在此時(shí)刻附近由于圈間過(guò)渡激勵(lì)頻率與垂繩固有頻率接近而產(chǎn)生了共振；同時(shí)本文中張力差主要是由于兩鋼絲繩振動(dòng)相位不一致而產(chǎn)生的，振動(dòng)相位不一致主要來(lái)自圈間過(guò)渡激勵(lì)不同步而形成的，即與兩繩在圈間過(guò)渡形成的圓心角差相關(guān)，如圖7所示。在未發(fā)生共振時(shí)，圈間激勵(lì)引起的垂繩振動(dòng)較小，因而由于振動(dòng)相位不一致形成的張力差較小，而共振階段振幅較大，從而導(dǎo)致V=18 m/s時(shí)鋼絲繩最大張力差出現(xiàn)在共振區(qū)域，對(duì)于其他提升速度也是僅有圈間過(guò)渡不同步而造成振動(dòng)相位不一致而形成張力差。綜上所述，由于振動(dòng)造成兩繩的張力差大小主要由兩個(gè)因素共同決定：①兩鋼絲繩振動(dòng)相位差是多少，即激勵(lì)函數(shù)的相位差是多少；②兩鋼絲繩振動(dòng)幅值的大小。

表2 v=18 m/s時(shí)不同β值下鋼絲繩最大張力差Tab.2 Maximum tension difference of different β at v=18 m/s

由表2可知，當(dāng)V=18 m/s時(shí)，一定范圍內(nèi)β越大張力差越大，其中β≤0.03 rad時(shí)張力差不超過(guò)初始平均張力的10%。對(duì)于其他提升速度最大張力差也應(yīng)發(fā)生在共振階段，為了進(jìn)一步限制過(guò)渡圓心角差值，需要計(jì)算出7種圓心角差值在其他幾種提升速度下的兩鋼絲繩最大張力差值的百分比，結(jié)果如圖11所示。

由圖11可知，在同一提升速度下，一定范圍內(nèi)β值越大，兩鋼絲繩由于振動(dòng)相位不一致而形成的張力差也越大；激勵(lì)頻率(Ω=2V/Rd)與提升速度有關(guān)，當(dāng)β值一定時(shí)，不同提升速度下鋼絲繩動(dòng)張力共振最大幅值不相同，如圖12所示，因而形成的最大張力差值也不相同，在提升速度V=15～17 m/s時(shí)的值較大。

圖12 不同提升速度下共振區(qū)最大動(dòng)張力Fig.12 The maximum dynamic tension of resonance zone at different hoisting speed

為了滿足安全運(yùn)行的要求，需要保證兩纏繩區(qū)圈間過(guò)渡不同步時(shí)形成的β值在各種提升速度下，鋼絲繩張力差最大值均不超過(guò)初始平均張力的10%，兩繩區(qū)圈間過(guò)渡時(shí)形成的圓心差需滿足β≤0.02 rad。

4 結(jié) 論

(1)本文針對(duì)雙繩多層纏繞式提升系統(tǒng)，考慮了變長(zhǎng)度提升鋼絲繩的質(zhì)量、剛度時(shí)變特性以及雙折線平行繩槽所產(chǎn)生的定常擾動(dòng)，運(yùn)用變分原理和Hamilton原理建立了雙繩變長(zhǎng)度提升系統(tǒng)的縱向振動(dòng)微分方程。

(2)張力差值大小是由圈間過(guò)渡形成的圓心角差值和共振幅值共同決定的，同一速度下，圓心角差值越大張力差越大；同一圓心角差值下，提升速度V=15～17 m/s時(shí)張力差較其他提升速度更大。

(3)兩繩的最大動(dòng)張力差值是出現(xiàn)在提升過(guò)程中的共振區(qū)域，為保證各種提升速度下張力差均不超過(guò)10%，需滿足圈間過(guò)渡差值β不能超過(guò)0.02 rad。

(4)以本文方法得到的雙繩提升系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，未將容器在提升過(guò)程中所受到的空氣阻尼考慮在內(nèi)，因此得到的結(jié)果存在一定的誤差，但此模型對(duì)進(jìn)一步研究更復(fù)雜多繩提升系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型提供了一定的基礎(chǔ)。

附 錄