(大廠高級(jí)中學(xué),江蘇 南京 210044)

1 背景

文獻(xiàn)[1]指出“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象是指拿到題目后，感覺(jué)會(huì)做，也能下筆求解，卻做不出正確答案的現(xiàn)象.其實(shí)這是一個(gè)永恒的話題.“如何有效地減少這種現(xiàn)象的發(fā)生”成為教師與學(xué)生共同關(guān)注的問(wèn)題.根據(jù)筆者的教學(xué)實(shí)踐和調(diào)查發(fā)現(xiàn)：中等生出現(xiàn)這種現(xiàn)象尤為明顯，特別是在考試狀態(tài)下.筆者收集中等生考試狀態(tài)下“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象的典型案例，探究其原因，并給出減少這種現(xiàn)象的策略.

基于2018年6月底江蘇省南京市高一數(shù)學(xué)統(tǒng)測(cè)及網(wǎng)上閱卷情況，筆者對(duì)南京市的3所高中(兩所四星高中、一所三星高中)的1 208名學(xué)生的解答情況進(jìn)行得分統(tǒng)計(jì)，通過(guò)錯(cuò)解收集分析以及個(gè)別學(xué)生和教師的訪談，發(fā)現(xiàn)中等生考試狀態(tài)下產(chǎn)生“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象的原因，尋求減少這種現(xiàn)象的有效方法和教學(xué)策略.

2 題目與得分情況

題目已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且a2=b2=1,a3-1=b3,a4-1=b4.

1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式；

2)記cn=anbn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn；

(江蘇省南京市2017學(xué)年第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考第20題)

說(shuō)明整卷滿分160分，平均分108.76，難度系數(shù)為0.68.

表1 第20題的得分情況

由表1可以看出，第2)小題難度系數(shù)為0.44，屬于中檔題，區(qū)分度為0.93，具有較高的區(qū)分度.第20題的3個(gè)小題中，第2)小題更能反映出中等生的解題狀況，下面僅對(duì)第2)小題進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和分析.

表2 第2)小題的得分情況

續(xù)表2

由表2可以看出，第1)小題正確、第2)小題有解答但未得分及得分不全的學(xué)生數(shù)為615人，占參加考試學(xué)生總數(shù)的50.91%，不妨稱這部分學(xué)生為中等生.

3 第2)小題的典型錯(cuò)誤及錯(cuò)因分析

由第1)小題知an=2n-3,bn=2n-2，本文的案例僅針對(duì)第1)小題正確但第2)小題錯(cuò)誤的學(xué)生.

3.1 寫(xiě)Sn的展開(kāi)式出錯(cuò)

圖1中的第4行出錯(cuò)，生1把第3行的“2n-3”看成了“2(n-3)”，導(dǎo)致后續(xù)全部出錯(cuò).展現(xiàn)出生1的運(yùn)算素養(yǎng)較弱，數(shù)學(xué)運(yùn)算總是在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，但該生把運(yùn)算對(duì)象看錯(cuò)了，實(shí)際上是短時(shí)記憶的準(zhǔn)確性不夠.

圖1

3.2 乘公比出錯(cuò)

圖2中的第3行出錯(cuò)，生2在等式兩邊乘以公比2時(shí)，最后一項(xiàng)“(2n-5)2n-2”與“ (2n-3) 2n-1”順序顛倒, 導(dǎo)致該生在相減時(shí)最后一項(xiàng)出錯(cuò).

圖2

3.3 相減出錯(cuò)

圖3中兩邊乘以公比2是正確的，但在第3行相減時(shí)出錯(cuò)，等式右邊括號(hào)內(nèi)的最后一項(xiàng)“2n-1”錯(cuò)了，應(yīng)該是“-(2n-3)·2n-2”，錯(cuò)誤出現(xiàn)在相減后的最后一項(xiàng).相減出錯(cuò)與乘公比出錯(cuò)類(lèi)似，主要發(fā)生在最后一項(xiàng)，其主要原因是作差時(shí)最后一項(xiàng)與前面不同，運(yùn)算路徑發(fā)生了變化.而當(dāng)運(yùn)算路徑發(fā)生變化時(shí)，中等生的出錯(cuò)率就會(huì)提高.

圖3

3.4 相減后求和出錯(cuò)

圖4

3.5 相減后除以系數(shù)出錯(cuò)

相減求和正確，等式兩邊除以系數(shù)時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤也較為常見(jiàn).圖5展現(xiàn)出來(lái)的過(guò)程都是對(duì)的，但是本題的解題目標(biāo)是求“Sn”，這位學(xué)生只是求出了“Sn-2Sn”，即“-Sn”，忘記了除以系數(shù)“-1”導(dǎo)致出錯(cuò)，未能得到這一小題的滿分“5分”，顯現(xiàn)出解題過(guò)程中自我監(jiān)控和目標(biāo)意識(shí)的缺失.這種錯(cuò)誤的原因是目標(biāo)意識(shí)不足，“解題回顧”環(huán)節(jié)缺失.

圖5

3.6 最后結(jié)果的表達(dá)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》)指出：要引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界[2].數(shù)學(xué)表達(dá)的目的之一是方便交流，這就需要有相對(duì)統(tǒng)一的格式要求，雖然教材上沒(méi)有對(duì)錯(cuò)位相減法求和的結(jié)果給出統(tǒng)一規(guī)范要求，但如果借鑒等比數(shù)列的求和公式，筆者認(rèn)為錯(cuò)位相減法求得的結(jié)果最好保留一項(xiàng)或兩項(xiàng)，即A+(Bn+C)qn-1型，其中A,B,C為常數(shù)，q為等比數(shù)列的公比，這樣更方便交流.

4 學(xué)生訪談、教師訪談

在考試結(jié)束后的一周內(nèi)，筆者與部分學(xué)生和教師進(jìn)行訪談.

4.1 學(xué)生訪談

考試答題紙返回到學(xué)生手中、公布各小題得分明細(xì)后的第二天，筆者對(duì)自己所在學(xué)校的一個(gè)普通班10名學(xué)生(這部分學(xué)生在第20題第2)小題中的得分為2～4分)進(jìn)行了訪談，A代表筆者，S代表學(xué)生.

A：你認(rèn)為你會(huì)做第20題的第2)小題嗎？如果會(huì)，用什么方法做？

S1:會(huì)的，這是等差乘以等比數(shù)列的求和問(wèn)題，應(yīng)該用錯(cuò)位相減法.

(10名學(xué)生全都認(rèn)為自己會(huì)做這種類(lèi)型的題目.)

A：現(xiàn)在，你知道錯(cuò)在哪一步嗎？

S2:現(xiàn)在我還是不知道自己錯(cuò)在哪里？

(10名學(xué)生中有7名這樣回答.)

A：考試時(shí)做完第2)小題后，你能判斷出自己的答案正確嗎？

S3：我沒(méi)有去判斷，就接著寫(xiě)下一個(gè)小題了，但是下一道題目，也沒(méi)有寫(xiě)出來(lái).

(有8名學(xué)生這樣回答.)

4.2 教師訪談

考試后的一周，筆者利用學(xué)期結(jié)束前最后一次組內(nèi)教研活動(dòng)的時(shí)間，對(duì)高一數(shù)學(xué)組的部分教師進(jìn)行訪談，其中T代表接受訪談的教師.

A：關(guān)于數(shù)列求和中的錯(cuò)位相減法教學(xué)，請(qǐng)各位老師談?wù)勛约旱捏w會(huì)和看法.

T1：見(jiàn)到等差乘以等比數(shù)列的求和問(wèn)題，就應(yīng)該想到可采用錯(cuò)位相減法求和，但有的學(xué)生還說(shuō)是用裂項(xiàng)相消法，真是讓我犯暈，這種學(xué)生怎么教？

T2：錯(cuò)位相減后，一定是對(duì)n-1項(xiàng)的等比數(shù)列求和，關(guān)于這一點(diǎn)，我強(qiáng)調(diào)了很多遍，學(xué)生還是出錯(cuò).

T3：采用錯(cuò)位相減法求和，由于求得的結(jié)果各異，批卷費(fèi)事，高考卷中一般不會(huì)出現(xiàn)這類(lèi)題，因此不應(yīng)過(guò)多復(fù)習(xí)，復(fù)習(xí)了也沒(méi)有什么用.

5 中等生考試狀態(tài)下“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象的影響因素與應(yīng)對(duì)策略

5.1 解題路徑變化“點(diǎn)”較多容易導(dǎo)致“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象

當(dāng)解題路徑變化“點(diǎn)”較多時(shí)，中等生更容易出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象，這是“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象產(chǎn)生的外在原因.錯(cuò)位相減法看似程序固定，容易操作，事實(shí)上，使用這種方法對(duì)數(shù)列求和時(shí)變化“點(diǎn)”較多：比如相減時(shí)的最后一項(xiàng)，與前面的項(xiàng)不同；相減后求和時(shí)，等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)問(wèn)題；最后還需要除以系數(shù)，化簡(jiǎn)等等.這就要控制好解題過(guò)程中快與慢的“時(shí)段”，中等生在變化“點(diǎn)”處需謹(jǐn)慎而又緩慢前行.交通安全中常有提示：“事故多發(fā)于彎道、路口”“十個(gè)事故，九個(gè)快”，這兩句警語(yǔ)對(duì)中等生解題也應(yīng)有所借鑒.

5.2 短時(shí)記憶能力弱容易導(dǎo)致“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象

短時(shí)記憶能力較弱是中等生的典型特征之一.記憶力弱更容易產(chǎn)生“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象，這是“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象形成的心理原因.從學(xué)生的視角上看，導(dǎo)致“會(huì)而不對(duì)”的主要影響因素是審題、計(jì)算和轉(zhuǎn)化.如看錯(cuò)題目、誤解題目、看錯(cuò)數(shù)字或符號(hào)等等，這些都與短時(shí)記憶的廣度和準(zhǔn)確性有密切的關(guān)系，也表現(xiàn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)有缺失.錯(cuò)位相減法求和時(shí)，數(shù)字與字母混合，加、減、乘、除、乘方這5種運(yùn)算混合，對(duì)短時(shí)記憶的準(zhǔn)確性和廣度要求較高，稍不留意就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤.化“隱”為“顯”，心算內(nèi)容可視化，加密運(yùn)算步驟可以有效減少“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象.比如在寫(xiě)出Sn的展開(kāi)式時(shí)，要求前3項(xiàng)和后2項(xiàng)具體，不可省略，教學(xué)實(shí)踐表明這樣做可以有效減少“錯(cuò)位相減”后最后一項(xiàng)出錯(cuò)的幾率，也有利于“對(duì)相減后產(chǎn)生的等比數(shù)列”正確求和.同時(shí)對(duì)于常規(guī)問(wèn)題，保證一定的訓(xùn)練次數(shù)，形成熟練度也是有必要的.

5.3 良好解題習(xí)慣的缺失容易導(dǎo)致“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象

良好的解題習(xí)慣是提高解題效率和準(zhǔn)確性的重要保障.波利亞提出解題的4個(gè)步驟：理解題意、擬定計(jì)劃、執(zhí)行計(jì)劃、解決回顧[3].中等生面對(duì)一道感覺(jué)會(huì)做的題目，他們當(dāng)然會(huì)完成前3個(gè)步驟，但是最后一個(gè)步驟“解題回顧”，被不少學(xué)生遺忘(訪談中10名學(xué)生有8名不知道自己錯(cuò)在哪里)，在考試狀態(tài)下，更是如此.事實(shí)上，只要對(duì)最后的結(jié)果，取n=1，2，算出Sn，就可以立刻檢查出錯(cuò)誤.解一道題目切莫忘了“驀然回首”這一步，即使在考試狀態(tài)下也應(yīng)如此.這比整張?jiān)嚲碜鐾旰笤倩仡^檢查效果要好得多.

6 減少中等生考試狀態(tài)下“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象的教學(xué)策略

減少中等生考試狀態(tài)下“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象，教師可以有所作為.結(jié)合教學(xué)實(shí)踐、數(shù)據(jù)分析及教師訪談的結(jié)果，筆者提出以下4個(gè)教學(xué)策略，以減少中等生考試狀態(tài)下的“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象：

6.1 教師對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容理解的深入，更容易幫助學(xué)生減少“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象

章建躍博士反復(fù)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)理解的重要性[4].準(zhǔn)確而又深刻地理解數(shù)學(xué)內(nèi)容是教好數(shù)學(xué)最重要的基礎(chǔ)，與義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)相比，這一點(diǎn)顯得更為重要.如果教師對(duì)數(shù)學(xué)本身理解不深入，就無(wú)法準(zhǔn)確地指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，與學(xué)生交流時(shí)也會(huì)捉襟見(jiàn)肘，不利于學(xué)生減少“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象.對(duì)于等差乘以等比型的數(shù)列問(wèn)題，從教師的訪談來(lái)看，還需要理解得更深刻一些，錯(cuò)位相減法并不是求解此類(lèi)問(wèn)題的唯一方法，裂項(xiàng)相消法也可以求解此類(lèi)問(wèn)題.訪談中T1提到“有的學(xué)生還說(shuō)是用裂項(xiàng)相消法，真是讓我犯暈，這種學(xué)生怎么教”，說(shuō)明他可能不太了解“用裂項(xiàng)相消法也可以求解差比型數(shù)列的前n項(xiàng)和”.在數(shù)學(xué)解題研究中，加強(qiáng)對(duì)一類(lèi)問(wèn)題的多解研究是一線教師的必修課，也是深刻理解數(shù)學(xué)的一種手段.T2提到“錯(cuò)位相減后，一定是對(duì)n-1項(xiàng)的等比數(shù)列求和”，事實(shí)上錯(cuò)位相減后，可能是對(duì)n-1項(xiàng)的等比數(shù)列求和，也可能是對(duì)n項(xiàng)的等比數(shù)列求和，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的首項(xiàng)與公差相等時(shí)就會(huì)產(chǎn)生后一種情況.若教師對(duì)“差比型”數(shù)列進(jìn)行一般性研究，即求出數(shù)列{(kn+b)qn}的前n項(xiàng)和，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這一結(jié)論，同時(shí)也會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)果相對(duì)統(tǒng)一的形式(一項(xiàng)或兩項(xiàng)).對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般化研究有利于更加全面地理解數(shù)學(xué)，進(jìn)而更有效地與學(xué)生交流，幫助中等生減少“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象.

6.2 改造出使學(xué)生更容易操作的數(shù)學(xué)，減少“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象

張景中院士特別強(qiáng)調(diào)：既要“數(shù)學(xué)教育”,又要“教育數(shù)學(xué)”[5].改造數(shù)學(xué)使之更適宜于教學(xué)和學(xué)習(xí)，是教育數(shù)學(xué)的任務(wù).張奠宙教授指出：教師的任務(wù)是把知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)[6].不管是“改造數(shù)學(xué)”還是“把知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)”，都需要教師創(chuàng)造性的勞動(dòng).怎樣教，學(xué)生才更容易學(xué)會(huì)、做對(duì)、錯(cuò)誤率小一些，中等生的“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象少一些.這需要教師改造出更容易操作的數(shù)學(xué).對(duì)于使用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，一些教師作了有效的嘗試,比如筆者所在學(xué)校的C教師要求學(xué)生：寫(xiě)出“Sn”的展開(kāi)式時(shí)，要“前三后二(前面保留三項(xiàng)，后面保留二項(xiàng))”；乘公比錯(cuò)位時(shí)，要“向后錯(cuò)位，補(bǔ)0對(duì)齊再相減”等，這樣可以有效提高相減時(shí)的準(zhǔn)確性，減少“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象的發(fā)生.通過(guò)數(shù)據(jù)比較,我們發(fā)現(xiàn)：C教師所教班級(jí)在此題的得分上顯著高于同層次其他班級(jí).改造數(shù)學(xué)，使之容易操作，提前預(yù)防錯(cuò)誤發(fā)生，讓學(xué)生有序地展開(kāi)運(yùn)算，就是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的過(guò)程.

6.3 加強(qiáng)試題研究，做好考試指導(dǎo),可以有效減少“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象

教師要加強(qiáng)高考試題研究，通過(guò)研究高考試題明確考試方向，指導(dǎo)教學(xué).訪談中T3提到“采用錯(cuò)位相減法求和，由于求得的結(jié)果各異，批卷費(fèi)事，因此高考卷中一般不會(huì)出現(xiàn)這類(lèi)題”，表明T3缺少對(duì)高考題的了解和研究.事實(shí)上，近5年的高考試題中每年均有“差比”型數(shù)列求和(一般使用錯(cuò)位相減法)的考題.比如2014年全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅰ文科第17題、2015年湖北省數(shù)學(xué)高考理科第18題、2016年山東省數(shù)學(xué)高考理科第18題、2017年天津市數(shù)學(xué)高考文科第18題、2018年浙江省數(shù)學(xué)高考第20題等.此外，關(guān)于錯(cuò)位相減法求得的結(jié)果，只要教師對(duì)學(xué)生稍加指導(dǎo),保留A+(Bn+C)qn-1型，求得的結(jié)果也不會(huì)形態(tài)各異.這樣的指導(dǎo)讓學(xué)生的書(shū)寫(xiě)更易得分，同時(shí)也方便了交流.

6.4 給學(xué)生足夠的“悟”的時(shí)間，可以有效減少“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象

《新課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)：提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式[2]，需要注意“獨(dú)立思考”是擺在第一位的，這也是數(shù)學(xué)學(xué)科自身的特征之一.沒(méi)有經(jīng)過(guò)“獨(dú)立思考”的合作交流(小組討論),雖然有時(shí)候看起來(lái)學(xué)生的參與度很高，但是通常是膚淺的，也是低效的.在錯(cuò)位相減法教學(xué)時(shí)，除了教師的啟發(fā)、講解外，還需要給予學(xué)生自主練習(xí)、獨(dú)立體悟的時(shí)間，讓學(xué)生悟出“錯(cuò)位相減法”的解題流程和注意點(diǎn).“悟”首先是學(xué)生個(gè)人獨(dú)立的思考.有問(wèn)題就立刻組織學(xué)生展開(kāi)討論，事實(shí)上剝奪了學(xué)生自主思考的時(shí)間和空間.學(xué)生擁有足夠的“悟”的時(shí)間，就更容易發(fā)現(xiàn)適合自己的解決問(wèn)題的方法，形成自己的解題模塊，可以有效地減少“會(huì)而不對(duì)”現(xiàn)象.