重慶郵電大學(xué) 電子信息工程(中美) 重慶 400065

就此類問題我們采用了線性規(guī)劃與層次分析法，首先通過未來四周的需求量與實際提供的汽車數(shù)379對比，分析供求狀態(tài)，得到公司在代理點處需要購買新車；接著，根據(jù)附件4提供的10款同類汽車的價格、使用壽命、壽命期內(nèi)的年維修費用，以八年為一周期，計算出每款汽車的總費用，確定公司應(yīng)該購買第8款車型使得最終效益最高；最后，利用最小二乘法擬合需求量與擁有量的關(guān)系，結(jié)合前三問求出的總收入及總支出，建立回歸函數(shù)，借助函數(shù)極值點求解及matlab圖像分析，得到購進(jìn)41輛第8款型號的汽車可使年利潤最高，利潤最高為4.2×104萬元。

對于線性規(guī)劃這種方法，常常在動態(tài)理解的一些實際問題中大放異彩，作者在此篇文章中利用matlab對線性規(guī)劃有著深入的理解。

1 問題重述

國內(nèi)汽車租賃市場興于1990年北京亞運會興起，起初只在國際化程度較高的城市率先發(fā)展，隨著城市國際化程度和經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，汽車租賃也在其他城市慢慢出現(xiàn)。某城市有一家汽車租賃公司，此公司年初在全市范圍內(nèi)有379輛可供租賃的汽車，分布于20個代理點中。每個代理點的位置都以地理坐標(biāo)X和Y的形式給出，單位為千米。假定兩代理點之間的距離約為兩者直線距離的1.2倍。通過分析附件1—附件6給出的數(shù)據(jù)，解決下列問題：

1.結(jié)合附件給出未來四周內(nèi)每天的汽車調(diào)度方案，在盡量滿足每個代理點汽車數(shù)量需求的前提下，使總的轉(zhuǎn)運費用最低。

2.為了使年度總獲利最大，從長期考慮是否需要購買新車?如果購買的話，確定購買計劃(考慮到購買數(shù)量與價格優(yōu)惠幅度之間的關(guān)系，在此假設(shè)如果購買新車，只購買一款車型)。

2 問題分析

我們考慮用線性規(guī)劃解決問題，該問題解決核心是：針對不同問題，通過改變目標(biāo)函數(shù)和約束條件并通過編程軟件來得到最優(yōu)解，并且通過對未來一周的求得的最優(yōu)解，將結(jié)果拓展到未來四周，并得出各種滿足題目要求的調(diào)度方案。

問題一的分析

問題一要求僅考慮轉(zhuǎn)運費用最低的汽車調(diào)度方案，根據(jù)附件一、附件三、附件六的數(shù)據(jù)可得各點車輛初始量、以后四天各點的需求量以及各代理點間轉(zhuǎn)運費用。該問題可用基于當(dāng)天轉(zhuǎn)運費用最低的線性規(guī)劃模型求解連續(xù)兩天之間的關(guān)系，通過使用matlab軟件可得出當(dāng)天轉(zhuǎn)運費最低的最優(yōu)解，進(jìn)而以所得第二天數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)與第三天需求建立線性規(guī)劃，依次算出未來七天的調(diào)度方案，并且以這一周的調(diào)度方案拓展到未來四周的調(diào)度方案。

問題二的分析

問題四要求使得年度獲利最大是否需要購買車，若購買需要哪款車，依據(jù)去年每天的需求總量進(jìn)行分析，得出了需要購置新汽車的需求，根據(jù)購買數(shù)量以及優(yōu)惠幅度對各款汽車進(jìn)行分析得出車型選擇。根據(jù)假設(shè)，購買相同數(shù)量的各型號汽車，優(yōu)惠幅度相同。在車輛壽命周期中，各車輛維修費用不盡相同，根據(jù)對車輛價格與維修費用的分析發(fā)現(xiàn)，8號車型購買價格與維修價格均為最低，故選擇8號車型，然后通過分析需求量與現(xiàn)有車輛的對比，并且列出總利潤與車輛數(shù)量的關(guān)系，通過matlab以圖表的形式展示出來并得到總利潤最大值時的車輛數(shù)，最終進(jìn)一步確認(rèn)具體購買車輛數(shù)。

3 模型建立與求解

3.1 問題一模型建立 對于問題一，我們根據(jù)附件三中未來四周每個代理點每天的汽車需求量的相關(guān)數(shù)據(jù)，我們決定對每天進(jìn)行分析，并依次得出未來四周每天的租賃計劃。對于此問題，我們決定用線性規(guī)劃模型，目標(biāo)函數(shù)則為該天的汽車轉(zhuǎn)運成本數(shù)的最小值。通過該天與下一天的需求量的對比，得出哪些代理點需要出車，哪些代理點需要進(jìn)車，并且在此過程中，汽車總數(shù)保持不變，各個代理點進(jìn)車總和與出車總和為零，并加以約束條件。如果下一天的總需求量大于現(xiàn)有車輛數(shù)，則保證需要出車的代理點達(dá)到出車數(shù)量要求，需要進(jìn)車的代理點保證進(jìn)車數(shù)量小于等于該點需求量；如果下一天的總需求量小于現(xiàn)有車輛數(shù)，則保證需要進(jìn)車的代理點達(dá)到進(jìn)車數(shù)量要求，需要出車的代理點保證出車數(shù)量小于等于該點需求量。同理，得到未來四周的租賃計劃。

3.2 問題一模型求解 首先根據(jù)各個代理點的位置，利用matlab找到他們相應(yīng)的位置。如下圖所示：

表1 各代理點位置

得到各代理點位置后，通過matlab計算得到各個代理點間的直線距離后，分別乘1.2，后利用數(shù)學(xué)方程整理：

可列出目標(biāo)函數(shù)，如下所示：

對于約束條件如果下一天的總需求量大于現(xiàn)有車輛數(shù)，則保證需要出車的代理點達(dá)到出車數(shù)量要求，需要進(jìn)車的代理點保證進(jìn)車數(shù)量小于等于該點需求量；如果下一天的總需求量小于現(xiàn)有車輛數(shù)，則保證需要進(jìn)車的代理點達(dá)到進(jìn)車數(shù)量要求，需要出車的代理點保證出車數(shù)量小于等于該點需求量，基于這一想法，針對第一天到第二天的調(diào)度需求，我們要求需要出車的代理點全部達(dá)到要求，而需要進(jìn)車的代理點進(jìn)車數(shù)小于等于需要進(jìn)車的數(shù)量，故我們列出如下約束條件，約束條件如下所示：

利用matlab，求解可得：

各個代理點需要出車或進(jìn)車的具體數(shù)量，經(jīng)過進(jìn)一步計算可得第二天實際調(diào)度情況如下圖所示，已經(jīng)基本滿足第二天需求量的要求。

表2 第二天實際調(diào)度情況與理論調(diào)度情況對比

3.3 問題四模型建立與求解 根據(jù)我們前面求解的最佳調(diào)度方案，可得出未來四周每天所得的汽車需求量數(shù)。又已知現(xiàn)有車輛數(shù)為379，然后將調(diào)度方案中的需求車輛數(shù)與379相比對，得到對比圖如下圖所示：

表3 需求量與379對比

經(jīng)過對比，我們對需求量多于379和需求量小于379的天數(shù)一目了然。然后我們對附件4中十款車的八年的維修費用進(jìn)行excel加和，再分別與各自的購買費用進(jìn)行加和，由于我們假設(shè)各車輛購買時有相同的優(yōu)惠力度，故綜上分析，我們得知選擇種類8車輛。因為他的八年維修費用總和與購買費用均為最低，總體成本最少，能帶來更多的收益，故選擇這一款車型。

對于每一輛車每天的收入求解

每個代理點的每天的盈利不會有太大的變動，而且每輛車的每天的租賃收入波動也不會太大，因此對每天利潤(其中已經(jīng)除去轉(zhuǎn)運費用及短缺損失費用)對每輛車的收入。問題三已經(jīng)算出28天的公司綜合獲利、調(diào)度方案的結(jié)果，由此可以算出每輛車的平均利潤，這樣可以具體求出收入平均值為：0.36049495萬元/輛。

對于年利潤的模型建立與求解

設(shè)汽車年度總利潤為p，則由簡單經(jīng)濟(jì)學(xué)公式知：總利潤=總收入-總支出，即

p=[365*(379+a)-b]*0.3605-41.21*a

其中，a表示新購買的汽車數(shù)量，b表示當(dāng)需求量小于擁有量時閑置的車輛，即

b=|bik-b0ik|(i=1，2，3...28且k=1，2，3...20)

bik表示第i個代理點第k天的實際車輛數(shù)，b0ik表示當(dāng)天理想狀態(tài)下需求的車輛數(shù)(附件中表格每行標(biāo)注“實際”二字的就是當(dāng)天車輛數(shù)，用需求量減去實際數(shù)量取絕對值就是閑置車輛數(shù))

根據(jù)附件二計算上一年內(nèi)每天每個代理點汽車需求量的均值，和問題二中求出的四周汽車擁有量的均值，近似替代需求量xtotal和擁有量ptotal，通過最小二乘法進(jìn)行擬合：

其中A是需求車輛數(shù)據(jù)矩陣，B是實際車輛數(shù)據(jù)矩陣。

利用數(shù)學(xué)的條件極值解決方法：

利用拉格朗日乘數(shù)法就可以模擬xtotal和ptotal的具體關(guān)系，如下：

ptotal=-0.34xtotal2+0.1xtotal+21.858

從而可以求得汽車購買數(shù)量與年利潤的關(guān)系式：

p=-1.1744a2+95.77a+40419.8

利用matlab軟件，可得年利潤與車輛數(shù)的關(guān)系圖如下圖所示：

表4 車輛數(shù)量與年利潤的關(guān)系

由于只能取整數(shù)，故二次函數(shù)利用極點存在定理找到最優(yōu)解a=41，即購買第8種型號的車輛41輛，可獲得最高的利潤4.2×104萬元。