黃湘湘

摘要：用EXCEL實(shí)施結(jié)構(gòu)力學(xué)矩陣位移法，所有步驟和計(jì)算結(jié)果均以常見表格方式清晰展示，核對各步驟數(shù)據(jù)簡單方便，便于學(xué)生查找計(jì)算錯誤、理順解題思路、鞏固力學(xué)概念和原理、熟悉數(shù)據(jù)處理軟件解決問題的思維、提高利用計(jì)算機(jī)軟件編程解決實(shí)際問題的能力。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)力學(xué);矩陣位移法;EXCEL;解題能力

中圖分類號：G642.41 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2019）21-0154-04

一、引言

結(jié)構(gòu)力學(xué)矩陣位移法是從電算角度出發(fā)，在解題步驟上以矩陣作為組織運(yùn)算的數(shù)學(xué)工具。學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時，往往會在單剛計(jì)算、集成總剛、解總剛方程、求解單元桿端力這些步驟出現(xiàn)純數(shù)據(jù)運(yùn)算錯誤，從而導(dǎo)致解題失敗。目前大多數(shù)桿系結(jié)構(gòu)有限元程序都是用VB、FORTRAN等專業(yè)編程軟件編寫的，中間步驟的運(yùn)算結(jié)果難以直觀查看。而EXCEL軟件直接可以以表格形式展示單剛、總剛、結(jié)點(diǎn)位移向量的運(yùn)算結(jié)果，學(xué)生查找核對比較方便。但是，目前以EXCEL編制的矩陣位移法表格比較少見，且有諸多不足，文獻(xiàn)[4]只能計(jì)算桁架體系，且需要VBA軟件輔助，文獻(xiàn)[5]中單剛、總剛和綜合荷載列向量均無法自動生成，需要手算。

本文編制的用矩陣位移法求解平面結(jié)構(gòu)的EXCEL表格無需學(xué)生掌握任何其他軟件和編程技能，能自動計(jì)算單剛、總剛并求解方程，并且能直觀查找每一步計(jì)算結(jié)果。

二、EXCEL表格簡介

用矩陣位移法求解平面結(jié)構(gòu)的EXCEL表格文件可以計(jì)算平面桁架、平面剛架和平面組合結(jié)構(gòu)，采用高斯-塞德爾迭代法解方程，得到結(jié)點(diǎn)位移和各單元桿端內(nèi)力。單元類型有三種，分別是：（1）兩端鉸接單元;（2）兩端剛接單元;（3）始端剛接終端鉸接單元。這里“剛接”指受到轉(zhuǎn)動約束，故定向支座按“剛接”考慮，其橫向線位移不為0。

生成各單元局部坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣時，針對單元類型編號使用IF函數(shù)對每個單剛元素進(jìn)行賦值。

受限于表格形式，本EXCEL表格能計(jì)算的平面結(jié)構(gòu)，結(jié)點(diǎn)數(shù)不大于20，單元數(shù)不大于30，結(jié)點(diǎn)位移數(shù)不大于37。

表格文件分為輸入輸出表單和計(jì)算表單。需要輸入的數(shù)據(jù)有結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)和單元數(shù)據(jù)兩大類：

1.結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)：包括結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、結(jié)點(diǎn)荷載、結(jié)點(diǎn)約束信息。

2.單元數(shù)據(jù)：包括單元起點(diǎn)和終點(diǎn)編號、材料模量E、截面慣性矩I、面積A、單元類型編號（其中編號“1”表示兩端鉸接單元、“2”表示兩端剛接單元、“3”表示始端剛接終端鉸接單元）以及單元非結(jié)點(diǎn)荷載數(shù)據(jù)。

單元非結(jié)點(diǎn)荷載即各桿件上的跨間荷載。在各桿局部坐標(biāo)系下，本表格可以考慮以下五類荷載：（1）1組沿桿軸的集中力（荷載值、荷載位置）。（2）1組橫向力（荷載值、荷載位置）。（3）1組跨間集中力偶（荷載值、荷載位置）。（4）1組均布滿布荷載（荷載值）。（5）溫度效應(yīng)（截面高度、線膨脹系數(shù)、上側(cè)溫度變化、下側(cè)溫度變化）。

三、平面桁架教學(xué)算例

設(shè)有桁架如圖1，EA=常數(shù)，經(jīng)結(jié)點(diǎn)與單元編號后，在電子表格中輸入數(shù)據(jù)，結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)如圖2所示，單元數(shù)據(jù)如圖3所示。由于EA=常數(shù)，各單元均輸入了完全一致的E值與A值。

數(shù)據(jù)輸入后，EXCEL自動按照各單元格預(yù)先輸入的公式進(jìn)行計(jì)算，可以得到結(jié)點(diǎn)荷載列陣、各桿件單元的桿長和傾角（圖4）、單元定位向量（圖5）。根據(jù)桁架各單元類型編號（均為1），生成局部坐標(biāo)系下單剛，并進(jìn)一步生成整體坐標(biāo)系下單剛。由單剛對號入座形成總剛需要套用EXCEL內(nèi)置的IF、IFERROR、INDEX、MATCH等函數(shù)，生成的總剛?cè)鐖D6所示。

采用高斯-塞德爾迭代法解方程，得到結(jié)點(diǎn)位移結(jié)果（圖7）。桁架單元桿端轉(zhuǎn)角無需計(jì)算，這里顯示各結(jié)點(diǎn)z方向的位移是0。將結(jié)點(diǎn)位移結(jié)果代入單元剛度方程，得到各單元桿端力（圖8），即各桿軸力分別為42.78kN、4.59kN、-17.2kN、-40.98kN和59.0kN。經(jīng)驗(yàn)證，計(jì)算結(jié)果無誤。

四、平面剛架教學(xué)算例

設(shè)有剛架如圖9，忽略桿件軸向變形，E=30GPa，I1=0.0625m4，I2=0.04167m4，經(jīng)結(jié)點(diǎn)與單元編號后輸入數(shù)據(jù)，結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)如圖10所示，其中結(jié)點(diǎn)5為一復(fù)鉸，與之相連的三根桿件（單元類型編號均為3）在此處的轉(zhuǎn)角都不計(jì)算，故5號結(jié)點(diǎn)z方向不進(jìn)行結(jié)點(diǎn)位移編號。

單元基本數(shù)據(jù)如圖11所示，通過填寫較大的截面面積A值來忽略桿件軸向變形。本例剛架中存在兩種單元類型，單元1為兩端剛接單元（單元類型編號為2），單元2—4為始端剛接終端鉸接單元（單元類型編號為3）。因此，單元2—4的終端均為結(jié)點(diǎn)5。本例題無結(jié)點(diǎn)荷載，且只有單元1上作用有非結(jié)點(diǎn)荷載，填入數(shù)據(jù)并得到其固端力，如圖12所示。結(jié)構(gòu)綜合結(jié)點(diǎn)荷載列陣計(jì)算結(jié)果如圖13所示。

根據(jù)各單元類型，EXCEL自動生成局部坐標(biāo)系下各單元單剛。圖14和圖15分別為單元1和單元2在局部坐標(biāo)下的單剛。由于單元2為始端剛接終端鉸接單元，其單剛第6行和第6列的元素均為0。由單剛對號入座生成的結(jié)構(gòu)總剛?cè)鐖D16所示。

解方程后得到結(jié)點(diǎn)位移結(jié)果如圖17。結(jié)點(diǎn)4和結(jié)點(diǎn)5的水平位移有微小差異，且二者豎向位移均不完全為0，說明各單元都存在微小軸向變形。這與結(jié)構(gòu)的實(shí)際受力和變形狀態(tài)是一致的。各單元桿端力計(jì)算結(jié)果如圖18。經(jīng)驗(yàn)證，計(jì)算結(jié)果無誤。

五、結(jié)語

用EXCEL實(shí)施結(jié)構(gòu)力學(xué)矩陣位移法，所有步驟和計(jì)算結(jié)果均以常見表格方式清晰展示，核對數(shù)據(jù)簡單方便。學(xué)生對同一題目先進(jìn)行手算，再用電子表格復(fù)核中間步驟和計(jì)算結(jié)果，便于學(xué)生查找計(jì)算錯誤、理順解題思路、鞏固力學(xué)概念和原理。此外，電子表格可快速對多組類似結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，使學(xué)生能進(jìn)一步理解結(jié)構(gòu)幾何布置、連接結(jié)點(diǎn)的性質(zhì)假定、構(gòu)件材料和截面變化、荷載分布、力學(xué)假定（比如忽略剛架桿件軸向變形、忽略桁架桿件次內(nèi)力）等因素與計(jì)算結(jié)果之間的因果關(guān)系，提高學(xué)生的概念分析能力。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下逐步熟悉軟件解題思維、提高EXCEL編程能力，還將為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)乃至以后的職業(yè)生涯開辟更寬廣的道路。

參考文獻(xiàn)：

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[5]黃小濤.用EXCEL矩陣函數(shù)求解結(jié)構(gòu)力學(xué)問題[J].中小企業(yè)管理與科技（上旬刊），2010，（5）：250-251.