孟凡軍，李樹(shù)軍，潘宗鵬，孫亦成，李忠盼

(1. 海軍大連艦艇學(xué)院 軍事海洋與測(cè)繪系， 遼寧 大連 116018； 2. 信息工程大學(xué) 地理空間信息學(xué)院， 河南 鄭州 450001)

我國(guó)的北斗系統(tǒng)是全球首個(gè)全星座播發(fā)三頻導(dǎo)航信號(hào)的衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，三頻載波相位組合觀測(cè)值的優(yōu)化選取是我國(guó)北斗系統(tǒng)優(yōu)勢(shì)發(fā)揮的關(guān)鍵[1-3]。一般來(lái)講，全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System, GNSS)多頻導(dǎo)航信號(hào)的出現(xiàn)為載波相位觀測(cè)值提供了更多的組合方式，其中同時(shí)滿足波長(zhǎng)較長(zhǎng)、電離層延遲較弱、觀測(cè)噪聲較小的多頻組合為優(yōu)選組合，傳統(tǒng)上獲取該類(lèi)優(yōu)選組合的方法一般為按照優(yōu)選標(biāo)準(zhǔn)遍歷搜索后進(jìn)行人工篩選與分析，或者是運(yùn)用經(jīng)典的聚類(lèi)算法實(shí)現(xiàn)多頻觀測(cè)系數(shù)組合的自動(dòng)優(yōu)選，但隨著GNSS多系統(tǒng)的兼容性越來(lái)越高，多系統(tǒng)多頻數(shù)據(jù)的應(yīng)用將會(huì)越來(lái)越廣，這時(shí)，傳統(tǒng)方法便無(wú)法滿足多頻觀測(cè)值優(yōu)化選取中對(duì)高效性和可靠性的需求。因此，近年來(lái)GNSS多頻載波相位組合觀測(cè)值的優(yōu)化選取一直為該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

文獻(xiàn)[4]引入模糊聚類(lèi)理論，采用基于圖論的最大樹(shù)方法對(duì)GPS三頻載波相位組合觀測(cè)值進(jìn)行分類(lèi)，由此找到具有優(yōu)良特性的組合；文獻(xiàn)[5]利用基于相異度矩陣的自適應(yīng)聚類(lèi)算法，實(shí)現(xiàn)了GPS三頻載波相位觀測(cè)值的有效分類(lèi)，并運(yùn)用矩陣變換算法驗(yàn)證了該方法的有效性；文獻(xiàn)[6]通過(guò)對(duì)樣本中心與聚類(lèi)中心距離的修正，獲得合理的隸屬度，并通過(guò)構(gòu)建基于距離校正的聚類(lèi)指標(biāo)，自動(dòng)獲得最優(yōu)聚類(lèi)數(shù)；文獻(xiàn)[7]構(gòu)建了BDS/GPS四頻載波相位組合觀測(cè)模型，并采用傳統(tǒng)搜索分析法選擇了特性較好的BDS/GPS多頻組合。

可見(jiàn)，目前對(duì)于單系統(tǒng)雙頻或三頻的載波相位觀測(cè)值優(yōu)化選取方法已經(jīng)比較成熟，但在多種聚類(lèi)方法中，對(duì)于多頻高維數(shù)據(jù)自動(dòng)分類(lèi)選取方法的研究仍然較少或方法傳統(tǒng)，針對(duì)以上不足，本文以北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BeiDou navigation Satellite system, BDS)三頻載波相位觀測(cè)值為例，在對(duì)其進(jìn)行誤差分析的基礎(chǔ)上，采用了一種基于加權(quán)的模糊C均值混合數(shù)據(jù)聚類(lèi)算法，通過(guò)將不同的權(quán)重值賦予同一維度上的不同簇集來(lái)影響聚類(lèi)結(jié)果，有效解決了傳統(tǒng)三頻載波相位觀測(cè)值篩選方式的不足，并提高了高維稀疏混合數(shù)據(jù)聚類(lèi)算法的準(zhǔn)確度。

1 BDS三頻組合及優(yōu)選標(biāo)準(zhǔn)

BDS原始觀測(cè)量受很多因素的干擾，如衛(wèi)星鐘差、接收機(jī)鐘差、電離層延遲、對(duì)流層延遲等，以上誤差通過(guò)站、星間求雙差可以大大削弱或消除[8-11]。

為表達(dá)方便，同一歷元時(shí)刻，略去雙差符號(hào)及衛(wèi)星、接收機(jī)標(biāo)識(shí)，BDS載波相位雙差觀測(cè)方程可以表示為：

φi=λiφi=ρ-μiI+εi+λiNi

(1)

式中：i=1，2，3，分別代表BDS三個(gè)頻率；φi和φi分別對(duì)應(yīng)以cycle為單位和以m為單位的雙差載波相位觀測(cè)值；λi(i=1，2，3)分別對(duì)應(yīng)不同頻率的波長(zhǎng)；ρ表示衛(wèi)地幾何距離(以m為單位)；μi=(f1/fi)2(i=1,2,3)，為電離層延遲放大系數(shù)；I為B1頻點(diǎn)的電離層延遲誤差；Ni(i=1，2，3)為模糊度；εi(i=1,2,3)為觀測(cè)噪聲誤差(以m為單位)。BDS三頻載波的標(biāo)準(zhǔn)頻率及波長(zhǎng)見(jiàn)表1。

表1 BDS三頻載波

對(duì)BDS三頻載波進(jìn)行線性組合可得三頻載波相位組合觀測(cè)值的觀測(cè)方程為：

φc=αφ1+βφ2+γφ3…

=(α+β+γ)ρ-μcI+εc+λcNc

(2)

式中：φc為三頻組合觀測(cè)值(單位為m)；α，β，γ為組合觀測(cè)系數(shù)。

由于組合觀測(cè)量中衛(wèi)地幾何距離ρ不可隨組合系數(shù)的不同而發(fā)生改變，須令

α+β+γ=1

(3)

因此三頻組合觀測(cè)方程可表示為：

φc=ρ-μcI+εc+λcNc

(4)

其中，

(5)

由式(5)可得，

Nc=(αλ1/λc)N1+(βλ2/λc)N2+(γλ3/λc)N3

(6)

式(6)中，令

(7)

則三頻組合模糊度可表示為：

Nc=jN1+kN2+lN3

(8)

為保證組合模糊度依舊具有整數(shù)特性，要求j,k,l均為整數(shù)。則式(7)可變換為：

(9)

結(jié)合式(3)和式(9)可得，組合頻率和波長(zhǎng)分別表示為：

fc=jf1+kf2+lf3

(10)

(11)

通過(guò)以上推導(dǎo)，獲得了三頻組合觀測(cè)值波長(zhǎng)、電離層延遲系數(shù)以及觀測(cè)噪聲放大系數(shù)的表達(dá)式。為統(tǒng)一系數(shù)單位，得到以cycle為單位的電離層延遲誤差的放大系數(shù)為：

(12)

假設(shè)BDS觀測(cè)過(guò)程中三個(gè)頻點(diǎn)觀測(cè)精度相同，即σε1=σε2=σε3=σε。則以cycle為單位的組合觀測(cè)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σεc可以表示為：

(13)

理論上來(lái)講，BDS三頻觀測(cè)量可以形成無(wú)數(shù)組的組合，但要保證整周模糊度的快速解算，實(shí)現(xiàn)BDS高精度定位，優(yōu)選組合需要滿足長(zhǎng)波長(zhǎng)、弱電離層延遲、弱觀測(cè)噪聲的標(biāo)準(zhǔn)，具體分析可見(jiàn)文獻(xiàn)[11]。

本文綜合以上幾項(xiàng)篩選標(biāo)準(zhǔn)，通過(guò)限定波長(zhǎng)、電離層延遲系數(shù)、觀測(cè)噪聲放大系數(shù)這三個(gè)指標(biāo)量，并將組合系數(shù)j，k，l的取值范圍限定在[-10,10]以內(nèi)，遍歷搜索選出了一些特征值較優(yōu)的線性組合見(jiàn)表2。

表2 BDS三頻載波相位組合觀測(cè)值

2 加權(quán)FCM算法實(shí)現(xiàn)觀測(cè)值篩選

模糊C均值聚類(lèi)(fuzzy C means)算法的主要目的是將包含有N個(gè)L維向量的數(shù)據(jù)集X劃分為C個(gè)不同的簇，使得同一個(gè)簇中的數(shù)據(jù)對(duì)象比不同簇中的數(shù)據(jù)對(duì)象具有更高的相似度。結(jié)合本文應(yīng)用需求，這里的維度理解為聚類(lèi)指標(biāo)的數(shù)目。

2.1 經(jīng)典FCM算法概述

在FCM算法中，設(shè)待分類(lèi)樣本空間X={x1,x2,…,xi,…,xN}，該數(shù)據(jù)空間包含N個(gè)樣本，其中每個(gè)樣本都為L(zhǎng)維向量，可以表示為xi={xi1,xi2,…,xik,…,xil}，其中xik代表樣本xi的第k個(gè)特性值。

結(jié)合其定義，可設(shè)FCM算法的目標(biāo)函數(shù)為：

(14)

由約束條件可知，F(xiàn)CM算法是一個(gè)反復(fù)循環(huán)迭代的過(guò)程，為了求得滿足該條件的目標(biāo)函數(shù)的極值，通過(guò)拉格朗日因子來(lái)構(gòu)造新的目標(biāo)函數(shù)，并結(jié)合對(duì)目標(biāo)函數(shù)求極值的最優(yōu)化條件，可得隸屬度和聚類(lèi)中心的計(jì)算公式為：

(15)

根據(jù)上述公式不斷迭代求出滿足條件的隸屬度以及聚類(lèi)中心[11]。

2.2 加權(quán)FCM算法流程

已有研究表明，經(jīng)典的聚類(lèi)算法在實(shí)現(xiàn)GNSS多頻組合觀測(cè)值上的有效性[3-6,11]，但在多頻高維數(shù)據(jù)集的聚類(lèi)過(guò)程中，經(jīng)典的算法在應(yīng)用上仍然存在兩點(diǎn)不足：一是高維數(shù)據(jù)的屬性之間互不相關(guān)或存在冗余，增加了分類(lèi)的難度；二是高維數(shù)據(jù)空間分布相對(duì)稀疏，數(shù)據(jù)對(duì)象之間歐式距離的差異并不明顯，難以利用傳統(tǒng)的距離度量方式來(lái)劃分簇[12-13]。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文結(jié)合Ahmad和Dey所提出的基于監(jiān)督學(xué)習(xí)的距離計(jì)算方法[12]以及王振博所提出的基于加權(quán)模糊C均值的混合數(shù)據(jù)聚類(lèi)算法[13]，采用基于加權(quán)歐氏距離的度量方式對(duì)不同維度的對(duì)象屬性在簇內(nèi)所占權(quán)重不同進(jìn)行加權(quán)，并通過(guò)同一維度在不同簇上賦予不同的權(quán)重值來(lái)影響聚類(lèi)結(jié)果，有效提高了高維混合數(shù)據(jù)聚類(lèi)算法的準(zhǔn)確度，文中相關(guān)定義見(jiàn)文獻(xiàn)[13]。

改進(jìn)后的FCM算法流程如圖1所示。

圖1 改進(jìn)FCM算法流程Fig.1 Flowchart of improved FCM algorithm

步驟1：首先給定一個(gè)由N個(gè)L維向量組成的數(shù)據(jù)集X以及所要分得的類(lèi)別個(gè)數(shù)C(2≤C≤N)，自定義隸屬度矩陣。結(jié)合表2，N=15，L=3，取C=4。設(shè)定模糊系數(shù)m(一般取2)和迭代停止閾值ε(一般取0.001至0.01)；設(shè)置迭代計(jì)數(shù)次數(shù)l，初始化聚類(lèi)原型v(l)(l=0)。

步驟2：初始化加權(quán)值，初始化簇質(zhì)心內(nèi)對(duì)象的屬性值個(gè)數(shù)。

步驟3：隨即選擇C個(gè)對(duì)象作為初始質(zhì)心。

步驟4：計(jì)算對(duì)象到每個(gè)簇質(zhì)心的距離。

步驟5：計(jì)算每個(gè)對(duì)象屬于各個(gè)質(zhì)心的數(shù)值隸屬度。

步驟6：更新簇的數(shù)值質(zhì)心和分類(lèi)質(zhì)心。

步驟7：更新每個(gè)對(duì)象屬于各個(gè)質(zhì)心的加權(quán)值。

步驟8：重復(fù)步驟4～7，直到目標(biāo)函數(shù)的值與上一次的值小于閾值。

3 結(jié)果分析與算法驗(yàn)證

3.1 結(jié)果分析

基于上述改進(jìn)的FCM算法，選取長(zhǎng)波長(zhǎng)、弱電離層延遲和低觀測(cè)噪聲三個(gè)維度的聚類(lèi)指標(biāo)，對(duì)表2中通過(guò)遍歷搜索法所列出的15組優(yōu)選BDS三頻組合觀測(cè)值進(jìn)行了聚類(lèi)分析，設(shè)定聚類(lèi)類(lèi)別數(shù)目C=4，迭代停止閾值ε為0.001[14]，聚類(lèi)結(jié)果如表3和圖2所示。

表3 模糊聚類(lèi)結(jié)果

圖2 模糊聚類(lèi)輸出結(jié)果Fig.2 Fuzzy clustering results

下面對(duì)每一類(lèi)組合的適用范圍進(jìn)行分析。

第Ⅰ類(lèi)組合，7(φ0，-1，1)、11(φ1，4，-5)的組合波長(zhǎng)均大于4 m，以cycle為單位的電離層延遲誤差放大系數(shù)和噪聲觀測(cè)系數(shù)均相對(duì)較小，滿足最優(yōu)選組合的標(biāo)準(zhǔn)。

第Ⅱ類(lèi)組合，1(φ-1，-9，10)、2(φ-1，-8，9)、3(φ-1，-7，8)在表2各組合中波長(zhǎng)較短，同時(shí)以cycle為單位的電離層延遲誤差放大系數(shù)和觀測(cè)噪聲系數(shù)相對(duì)較大，不是優(yōu)選組合。

第Ⅲ類(lèi)組合，13(φ2，6，-8)、14(φ2，7，-9)、15(φ2，8，-10)波長(zhǎng)較短，觀測(cè)噪聲系數(shù)較大，而電離層延遲誤差放大系數(shù)特別小，因此這類(lèi)組合比較適合應(yīng)用于中長(zhǎng)基線條件下整周模糊度的固定，但由于其波長(zhǎng)較小，故在模糊度解算中應(yīng)充分考慮到對(duì)流層延遲對(duì)定位的影響。

第Ⅳ類(lèi)組合，4(φ0，-4，4)、5(φ0，-3，3)、6(φ0，-2，2)、8(φ1，1，-2)、9(φ1，2，-3)、10(φ1，3，-4)、12(φ2，5，-7)，該類(lèi)組合優(yōu)選性在第Ⅰ類(lèi)組合與第Ⅱ類(lèi)組合之間，電離層延遲誤差放大系數(shù)和噪聲觀測(cè)系數(shù)相對(duì)第Ⅰ類(lèi)組合較小，相比第Ⅱ類(lèi)組合較大。其中，組合6(φ0，-2，2)和組合10(φ1，3，-4)在該類(lèi)組合中波長(zhǎng)相對(duì)較大，因此在短基線條件下，電離層延遲誤差和對(duì)流層延遲誤差可以通過(guò)組合雙差解算大大削弱或消除，此時(shí)該類(lèi)組合可以選用。

3.2 算法驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證文中優(yōu)選組合的可靠性，本文采用無(wú)幾何層疊模糊度解算(Cascading Integer Resolution, CIR)方法對(duì)實(shí)測(cè)BDS三頻載波相位組合觀測(cè)值進(jìn)行模糊度的解算。

無(wú)幾何CIR方法是無(wú)幾何序貫取整算法的一種，其解算思路是根據(jù)不同的載波組合觀測(cè)量的波長(zhǎng)和相應(yīng)的組合電離層誤差、噪聲誤差特點(diǎn)，在保證組合觀測(cè)量的綜合誤差小于1/2的組合波長(zhǎng)情況下，對(duì)模糊度浮點(diǎn)解四舍五入直接取整固定，最后再確定原始的雙差模糊度[15-17]。

略去雙差符號(hào)以及衛(wèi)星與接收機(jī)標(biāo)識(shí)，雙差偽距觀測(cè)量可以表示為以下形式：

P=ρ+qpI+Tp+ep

(16)

式中：qp表示雙差電離層延遲放大系數(shù)；Tp表示雙差對(duì)流層延遲誤差；I表示 B1頻點(diǎn)上的雙差電離層延遲誤差；ep表示偽距觀測(cè)噪聲。

同時(shí)，用下標(biāo)“E”“W”“N”分別表示超寬巷、寬巷和窄巷載波，那么以m為單位超寬巷、寬巷和窄巷載波相位組合觀測(cè)量ΦEWL、ΦWL和ΦNL形式可以寫(xiě)成：

ΦE=λEφE=ρ-λENE-μEI1+TE+λEεE

(17)

ΦW=λWφW=ρ-λWNW-μWI1+TW+λWεW

(18)

ΦN=λNφN=ρ-λNNN-μN(yùn)I1+TN+λNεN

(19)

無(wú)幾何CIR方法的具體步驟如下。

步驟1：選取B3頻點(diǎn)偽距觀測(cè)量求解超寬巷模糊度，直接取整固定。

B3頻點(diǎn)的雙差偽距觀測(cè)方程與組合系數(shù)為(0，-1，1)的超寬巷組合觀測(cè)值ΦE雙差觀測(cè)方程如下：

P3=ρ+q3I+T3+ep3

(20)

ΦE=λφE=ρ-λENE-μEI1+TE+εE

(21)

由上兩式可得超寬巷模糊度表達(dá)式為：

(22)

對(duì)于上式，略去對(duì)流層延遲誤差、電離層延遲誤差和觀測(cè)噪聲，并對(duì)其直接進(jìn)行取整固定，超寬巷模糊度整數(shù)解可以表示為：

(23)

式中，round[·]為取整符號(hào)。

步驟2：將求解得到的超寬巷模糊度整數(shù)解作為已知值，求解寬巷模糊度。

將載波超寬巷組合觀測(cè)量與載波寬巷組合觀測(cè)量進(jìn)行差分：

(24)

略去對(duì)流層延遲誤差、電離層延遲誤差和觀測(cè)噪聲，并對(duì)其直接進(jìn)行取整固定，寬巷模糊度整數(shù)解可以表示成

(25)

步驟3：利用固定后的寬巷模糊度，求解原始載波的雙差模糊度。

B1頻點(diǎn)的載波雙差觀測(cè)方程為：

λ1φ1=ρ-λ1N1-μ1I1+T1+λ1ε1

(26)

將式(25)代入式(18)并結(jié)合式(26)可得 B1頻點(diǎn)的雙差模糊度為：

(27)

忽略電離層誤差和噪聲誤差四舍五入取整得B1頻點(diǎn)雙差模糊度為：

(28)

(29)

(30)

以上就是無(wú)幾何CIR方法解算的全過(guò)程。

根據(jù)實(shí)測(cè)BDS觀測(cè)數(shù)據(jù)，利用B1、B2、B3三個(gè)頻點(diǎn)的觀測(cè)值，測(cè)定不同組合的模糊度估值殘差解算結(jié)果如圖3～6所示。

圖3 (φ0，-1，1)組合模糊度估值殘差Fig.3 Residual ambiguity difference of combination(φ0，-1，1)

圖4 (φ1，4，-5)組合模糊度估值殘差Fig.4 Residual ambiguity difference ofcombination(φ1，4，-5)

圖5 (φ-1，-9，10)組合模糊度估值殘差Fig.5 Residual ambiguity difference of combination(φ-1，-9，10)

圖6 (φ-1，-8，9)組合模糊度估值殘差Fig.6 Residual ambiguity difference of combination(φ-1，-8，9)

由圖3～6可知，組合1(φ-1，-9，10)和2(φ-1，-8，9)模糊度估值殘差解算結(jié)果較大，最大接近2 cycle，在表2 所列優(yōu)選組合中對(duì)模糊度的固定效率最低。組合7(φ0，-1，1)和11(φ1，4，-5)模糊度殘差解算結(jié)果較小，在0.5 cycle以內(nèi)，對(duì)模糊度的固定效率最高。由此可得，組合7(φ0，-1，1)、11(φ1，4，-5)的特性要比組合1(φ-1，-9，10)、2(φ-1，-8，9)好。

4 結(jié)論

本文引入三頻載波相位組合觀測(cè)值定義，對(duì)其進(jìn)行誤差分析，以長(zhǎng)波長(zhǎng)、弱電離層延遲、弱觀測(cè)噪聲作為優(yōu)選組合系數(shù)的篩選標(biāo)準(zhǔn)，針對(duì)高維多頻混合數(shù)據(jù)的聚類(lèi)需求，采用基于加權(quán)的模糊C均值聚類(lèi)算法，通過(guò)對(duì)同一維度的篩選標(biāo)準(zhǔn)在不同簇集上賦予不同的權(quán)重值，對(duì)傳統(tǒng)遍歷搜索法得到的部分組合進(jìn)行分類(lèi)，并對(duì)分類(lèi)結(jié)果進(jìn)行分析，確定了每一類(lèi)組合的適用范圍，最后結(jié)合北斗三頻實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，利用無(wú)幾何CIR算法計(jì)算組合模糊度估值殘差，通過(guò)優(yōu)選組合與非優(yōu)選組合之間的比較證明，本文所選方法可以有效地對(duì)高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行自動(dòng)分類(lèi)。