張煜航，陳青青，張 杰，王志勇，李志強，王志華

（1.太原理工大學機械與運載工程學院應(yīng)用力學研究所，山西 太原 030024；2.太原理工大學材料強度與結(jié)構(gòu)沖擊山西省重點實驗室，山西 太原 030024）

混凝土材料從細觀層次上由骨料、砂漿以及兩者之間的黏接界面層（interfacial transitional zone，ITZ）組成，各組分的細觀力學性質(zhì)直接或間接地決定了混凝土材料的宏觀力學性能和破壞模式[1-2]。根據(jù)混凝土細觀結(jié)構(gòu)特點及其力學性能，深入研究細觀結(jié)構(gòu)和宏觀力學性能之間的關(guān)系，是混凝土力學性質(zhì)的重要研究內(nèi)容之一。

Wittmann 等[3]首先將多尺度的研究方法應(yīng)用到混凝土材料的研究中，認為混凝土是一種非均質(zhì)復合材料，提出了用隨機分布的多邊形來模擬混凝土骨料的細觀力學模型。該方法一直被后來的研究者所采用。Zhou 等[4-5]建立了圓形隨機骨料模型，利用材料損傷本構(gòu)關(guān)系，系統(tǒng)研究了混凝土細觀模型在不同受力條件下的拉伸、壓縮和爆炸問題，指出骨料和砂漿之間的黏接界面層在壓縮時先出現(xiàn)破壞裂紋，在拉伸時對混凝土失效機理和拉伸強度影響最大。Wang 等[6]在橢圓形和多邊形骨料的基礎(chǔ)上引入孔隙，并研究了骨料形狀、骨料體積分數(shù)和孔隙率對抗拉強度的影響。吳成等[7]對剛性彈丸侵徹細觀混凝土靶進行了數(shù)值模擬，分析了砂漿種類、粗骨料種類和粗骨料體積分數(shù)等對靶板抗侵徹能力的影響，并通過擴展Forrestal 阻力方程，建立了細觀混凝土侵徹深度模型。相比于二維模型，三維細觀模型更接近于實際混凝土的真實形態(tài)，因此能較好地反映混凝土材料的實際變形與損傷破壞情況。Wang 等[8]提出了“投放算法”用于產(chǎn)生隨機分布的三維骨料模型，并在單元之間嵌入零厚度黏接單元，以此來模擬混凝土在拉應(yīng)力作用下的開裂行為。Zhang 等[9]通過對生成的骨料進行平移和旋轉(zhuǎn)來控制骨料的移動，提出了“隨機爬行算法”，該算法可以實現(xiàn)更高骨料含量的混凝土建模。鄧勇軍等[10]基于骨料隨機投放的思想建立了混凝土三維細觀幾何模型，分析了剛性彈正侵徹過程中發(fā)生彈道偏轉(zhuǎn)的原因及可能的影響因素，定量研究了混凝土細觀因素對彈道偏轉(zhuǎn)的影響。然而，骨料投放往往需要復雜的算法對骨料相互之間是否發(fā)生侵入進行判斷，同時需要花費較多的時間，建模效率較低。三維Voronoi 圖形中胞元形狀與混凝土骨料具有良好的相似性，其胞元可實現(xiàn)隨機的空間形狀和空間分布，可作為建立骨料的一種方法。

本文中基于三維Voronoi 圖形，提出一種簡單、高效的混凝土細觀模型生成方法。在傳統(tǒng)Voronoi 圖形的基礎(chǔ)上，通過控制多面體的隨機度和引入縮放因子等參數(shù)，得到具有級配的隨機骨料模型。然后，對骨料幾何體的外表面進行延伸，得到一定厚度的黏接界面層，從而得到完整的混凝土細觀有限元模型。采用連續(xù)介質(zhì)損傷模型分析混凝土材料的靜態(tài)和動態(tài)力學特性，擬為該模型的進一步應(yīng)用提供基礎(chǔ)。

1 混凝土三維細觀模型

1.1 細觀幾何模型

三維Voronoi 圖形是一組由連接兩頂點直線的垂直平分面形成的連續(xù)多面體。在一個特定的空間內(nèi)，隨機分布N 個種子點，Si代表第i 個胞元的核心坐標，相應(yīng)的胞體由頂點P 圍成，頂點P 到所屬胞元的核心Si的距離小于或等于到其他胞元核心Sj的距離：

為了避免產(chǎn)生過于畸形的胞元，通過下式控制兩核心之間的最小距離：

式中： q( 0＜q＜1)為縮放因子，通過改變q，可以實現(xiàn)對多面體縮放大小的控制，從而得到滿足一定級配的隨機骨料模型（見圖3）。

在生成的骨料模型基礎(chǔ)上，利用下式對多面體頂點沿著向量 v進 行延伸，并保留多面體頂點，得到頂點（見圖4）：

式中： η( 0＜η＜1)為控制黏接界面層厚度的延伸因子。圖5 為利用此方法生成的具有不同界面層厚度的骨料示意圖。

圖 1 K=0.2 時三維Voronoi 多面體Fig.1 3D Voronoi polyhedron when K=0.2

圖 2 骨料縮放示意圖Fig.2 Schematic diagram for single aggregate

圖 3 不同大小骨料模型Fig.3 Aggregate cells with grading sizes

圖 4 ITZ 產(chǎn)生示意圖Fig.4 Schematic diagram of generating ITZ

圖 5 具有不同ITZ 厚度的骨料外輪廓圖Fig.5 Geometry outlines of different ITZ layer thicknesses

1.2 細觀有限元模型

上述生成細觀模型的方法具有過程簡單、隨機性可控制以及生成速度快[11]等特點，但多面體縮放會降低初始生成骨料的體積含量，達不到實際混凝土對體積分數(shù)的要求。通過重力下落過程[12]不僅可以提高模型中骨料的體積分數(shù)，同時可以改善骨料分布，增強隨機性，使模型更接近真實混凝土。一定區(qū)域內(nèi)不同骨料體積分數(shù)的模型如圖6 所示。由于實際混凝土材料中黏接界面層厚度僅為10～50 μm，遠小于骨料尺寸，采用四面體劃分網(wǎng)格數(shù)量巨大，嚴重耗費計算時間。因此，對于ITZ 的網(wǎng)格劃分采用楔形單元，在保留模型計算精度的同時，可以最大程度地降低網(wǎng)格數(shù)量，提高計算效率。圖7 為試樣尺寸為25 mm×25 mm×25 mm、骨料體積分數(shù)為37.38%的有限元模型，其中綠色區(qū)域為骨料（四面體單元72 114 個），紅色區(qū)域為黏接界面層（楔形單元25 408 個），界面層厚度0.1 mm，藍色區(qū)域為砂漿（四面體單元36 727 個）。

圖 6 含有不同骨料體積分數(shù)的立方體試樣Fig.6 Cubic specimens with different volume fractions of aggregate

ABAQUS 有限元軟件中塑性損傷模型主要用于模擬砂漿、巖石和混凝土等材料在低靜水壓力下由損傷引起的不可恢復的材料性能，該模型考慮了拉壓性能的差異，可以較好地描述砂漿和黏接界面層的力學特性[13-16]。將圖7 模型導入ABAQUS 有限元軟件，采用塑性損傷模型模擬混凝土細觀組分中砂漿和黏接界面層的力學性能，砂漿塑形損傷模型曲線如圖8 所示，界面層相應(yīng)曲線由砂漿曲線按強度進行等比例折減得到。通常骨料強度遠高于砂漿強度，因此骨料采用線彈性模型。具體材料參數(shù)見表1。

圖 7 三維混凝土細觀模型有限元模型Fig.7 Meshing results for concrete specimen

圖 8 砂漿單軸準靜態(tài)壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.8 Strain-stress curves of mortar phase under uniaxial load

表 1 細觀組分材料參數(shù)Table 1 Material parameters of three-phase materials

2 三維細觀模型靜力學分析

2.1 單軸靜力特性分析

圖 10 單軸壓縮與拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.10 Comparison of strain-stress curves between experiment and simulation

圖9 為試樣單軸加載示意圖，試樣上下兩端為剛性平面，上剛性板采用位移加載，下剛性板完全固定。對于準靜態(tài)問題，隱式算法不受試樣慣性效應(yīng)以及加載動能的影響，更能反映試樣真實受力狀態(tài)，本文中采用ABAQUS/standard 隱式計算模塊模擬準靜態(tài)加載下的壓縮和拉伸。單軸壓縮和拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線以及相應(yīng)的實驗對照如圖10 所示。由圖10可知，數(shù)值模擬與實驗結(jié)果[17]曲線趨勢相同，峰值誤差在10%以內(nèi)，吻合較好。對于單軸壓縮，剛性板與試樣之間的摩擦條件的不同，對混凝土試樣的破壞模式有較大影響。不同摩擦條件下混凝土單軸壓縮破壞模式的對比如圖11 所示。在低摩擦條件下，混凝土裂縫主要為平行于加載方向的豎向裂縫；在高摩擦條件下，裂縫轉(zhuǎn)變?yōu)榘俗中瘟芽p，與通常實驗結(jié)果[17]相似。圖12 為單軸拉伸載荷作用下試樣的破壞模式。裂縫主要為垂直于加載方向的環(huán)向裂縫，符合實際實驗結(jié)果。

圖 11 不同摩擦條件下試樣破壞模式Fig.11 Failure patterns of different frictional conditions

圖 12 單軸拉伸試樣破壞模式Fig.12 Failure patterns under uniaxial tension

2.2 雙軸靜力特性分析

尚世明[18]采用定測壓加載方式，得到了標準立方體試樣（100 mm×100 mm×100 mm 的混凝土試件）在不同側(cè)壓下的宏觀應(yīng)力應(yīng)變曲線和相應(yīng)的破壞模式。圖13 為數(shù)值模擬試樣雙軸加載示意圖，試樣上下兩端為剛性平面，下端固定，上端位移加載。側(cè)向方向施加均勻的壓應(yīng)力，分別為0、8、16、24 MPa。圖14為數(shù)值模擬與實驗在位移加載方向的應(yīng)力應(yīng)變對比圖。由于試樣尺寸、骨料級配以及應(yīng)力加載等原因的影響，導致數(shù)值模擬與實驗結(jié)果存在誤差，但兩者趨勢相同，峰值應(yīng)變也較接近，可以認為誤差在合理范圍之內(nèi)。不同側(cè)壓應(yīng)力條件下試樣的破壞模式如圖15 所示。隨著側(cè)向壓應(yīng)力不斷增大，對試樣的約束作用不斷增強，受壓面裂縫逐漸沿垂直于自由面方向產(chǎn)生，破壞形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閷訝钇茐摹Ｓ蓤D15 可知，數(shù)值模擬與實驗破壞模式基本吻合，說明該模型能有效反映混凝土試樣在雙軸受壓載荷下的力學特性。

圖 13 定測壓加載示意圖Fig.13 3D model under biaxial simulation

圖 14 雙軸壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.14 Comparison of strain-stress curves between experiment and simulation

2.3 三軸靜力特性分析

為了進一步研究復雜應(yīng)力狀態(tài)下混凝土材料的靜力特性，基于本文的三維細觀模型，對常規(guī)三軸條件下混凝土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系進行了研究。圖16 為不同圍壓下試樣位移加載方向應(yīng)力應(yīng)變曲線。如圖16 所示，隨著圍壓不斷增大，峰值應(yīng)力增大明顯，軟化段逐漸模糊，當圍壓達到30 MPa 時，會出現(xiàn)應(yīng)力隨應(yīng)變增大而增大的強化段，與文獻[19]的實驗曲線趨勢相似。

圖 15 不同側(cè)向壓應(yīng)力下試樣破壞模式Fig.15 Failure patterns of different frictional conditions

圖 16 三軸壓應(yīng)力作用下應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.16 Comparison of stress-strain curves between experiment and simulation

3 三維細觀模型動力學分析

混凝土作為一種典型的率相關(guān)材料，在動態(tài)載荷作用下表現(xiàn)出不同于靜態(tài)載荷的力學特性[20-22]。運用ABAQUS 顯式算法，模擬低應(yīng)變率下混凝土SHPB 沖擊破壞實驗，其中入射桿和透射桿為彈性金屬材料，采用彈性模型，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.28。細觀混凝土模型仍采用與準靜態(tài)模擬相同的材料模型與材料參數(shù)。圖17 為計算得到的4 種應(yīng)變率下抗壓強度動態(tài)增強因子。準靜態(tài)模擬得到的抗壓強度為24 MPa（無摩擦邊界），即 fc=24 MPa。從圖17 可以看出，抗壓強度隨著應(yīng)變率的增大而增大，這與常規(guī)混凝土SHPB 實驗所得結(jié)論一致，說明模型在動態(tài)載荷作用下同樣具有較好的有效性。細觀模型在不同應(yīng)變率下的破壞模式如圖18所示，應(yīng)變率較低時，宏觀裂紋發(fā)展不明顯，結(jié)構(gòu)無明顯破壞，隨著應(yīng)變率的增大，試樣表面逐漸出現(xiàn)宏觀裂紋，且裂紋逐漸貫穿，導致試樣發(fā)生破壞。

圖 17 不同應(yīng)變率下的動態(tài)增強因子Fig.17 Dynamic increasing factor for concrete at different strain rates

圖 18 不同應(yīng)變率下混凝土試樣破壞模式Fig.18 Failure patterns at differentstrain rates

4 結(jié) 論

在傳統(tǒng)Voronoi 圖形的基礎(chǔ)上，提出了一種簡單高效的混凝土三維細觀模型建立方法：即通過引入縮放因子產(chǎn)生具有一定級配的隨機凸多面體作為骨料，隨后對多面體的外表面進行延伸，得到具有一定厚度的黏接界面層，最后通過布爾運算得到包裹骨料和界面層的砂漿部分。利用塑性損傷模型對該細觀模型進行準靜態(tài)和動態(tài)加載下的有限元分析，得到如下結(jié)論。

（1）利用本文的三維細觀模型模擬混凝土單軸、雙軸以及三軸應(yīng)力狀態(tài)下的靜力學性能，得到的應(yīng)力應(yīng)變曲線和破壞模式與實驗結(jié)果基本一致，說明該模型能較好地反映實際混凝土在準靜態(tài)載荷下的力學特性，這為進一步從細觀角度研究混凝土損傷演化規(guī)律和破壞機理，提供了模型基礎(chǔ)。

（2）混凝土在單軸壓縮下的破壞模式與接觸面摩擦條件有較大關(guān)系，在摩擦較低的條件下，主要產(chǎn)生與受載方向平行的豎向裂紋；在高摩擦條件下，破壞形態(tài)為八字型裂縫。拉應(yīng)力作用下，主要產(chǎn)生垂直于載荷平面的環(huán)狀裂紋。

（3）動態(tài)SHPB 數(shù)值模擬結(jié)果表明，混凝土的抗壓強度隨著應(yīng)變率的增大而提高。在較低應(yīng)變率（50 s-1以下）下，試樣外表面未發(fā)生明顯損傷，隨著應(yīng)變率的提高，試樣損傷愈發(fā)明顯，外表面產(chǎn)生明顯裂紋，導致混凝土失效破壞。