江蘇第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)系

胡晉賓 (郵編：210013)

南京師范大學(xué)附中數(shù)學(xué)組

劉洪璐 (郵編：210003)

1 研究緣起

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為基本理念，指出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象等6種.許多一線優(yōu)秀教師的日常教學(xué)設(shè)計(jì)，就與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)是高度契合的.2017年12月1日是百年名校南師附中的教學(xué)開(kāi)放日，數(shù)學(xué)組資深教師蘭松斌應(yīng)邀開(kāi)設(shè)了一節(jié)《三角函數(shù)的周期性》的公開(kāi)課并進(jìn)行了網(wǎng)絡(luò)直播，受到了許多專家和聽(tīng)眾的一致好評(píng).以下結(jié)合現(xiàn)場(chǎng)觀摩和錄像整理，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂落實(shí)角度進(jìn)行探討.

2 過(guò)程實(shí)錄

2.1 教學(xué)導(dǎo)入(時(shí)間00′00″—07′50″)

師：今天是12月1日，農(nóng)歷丁酉年十月十四，前兩天南京的天氣非常沉悶，今天終于出現(xiàn)了太陽(yáng)，我們當(dāng)然希望也有月亮，正好我早晨打開(kāi)手機(jī)一看日歷，明天就是十五啦！我們常說(shuō)，十五的月亮最圓，我忽然想起了這樣一副對(duì)聯(lián)：天上月圓，人間月半，月月月圓逢月半；今夕年尾，明朝年頭，年年年尾接年頭.請(qǐng)同學(xué)們給它加一個(gè)橫批吧.

生(眾)：周而復(fù)始.

師：很好，這是一個(gè)周而復(fù)始的現(xiàn)象.在日常生活中、在自然界，我們常常會(huì)遇到類似的現(xiàn)象.同學(xué)們，你還能舉出類似的周而復(fù)始的現(xiàn)象嗎？

生(眾)：晝夜交換、四季更替、擺鐘、時(shí)鐘、人的心跳.

師：嗯.人的心跳，要是這個(gè)人生病了怎么辦？(就不是周期性的)(學(xué)生笑)

生：太陽(yáng)直射點(diǎn)移動(dòng).

師：這個(gè)問(wèn)題比較專業(yè)，我不能加以判斷.還有嗎？

生：車輪上一點(diǎn)的軌跡.

師：這個(gè)應(yīng)該是的，這個(gè)應(yīng)該是旋輪線……慢，這個(gè)可能不一定.(學(xué)生笑)……你這么說(shuō)，是有一些問(wèn)題的……還有嗎？

生：紅綠燈.紅綠黃交替.

師：類似的現(xiàn)象舉不勝舉.比如：星期幾過(guò)7天就重復(fù)，白居易的“離離原上草，一歲一枯榮”，周華健的“黑夜又白晝，春去春會(huì)來(lái)，花謝花會(huì)再開(kāi)……”我們統(tǒng)稱這種“周而復(fù)始”現(xiàn)象為周期性.(板書(shū)“周期性”)

問(wèn)題1 今天是12月1日星期五，再過(guò)1000天是星期幾？(學(xué)生很快得到答案)

師：這個(gè)問(wèn)題很簡(jiǎn)單，是被7除的余數(shù).讓我們從數(shù)學(xué)上，更確切地說(shuō)從函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)看，自變量x(與今天相隔的天數(shù))與函數(shù)y(星期幾)之間有何關(guān)系.教師板書(shū)并歸納.x：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9…對(duì)應(yīng)的y：5，6，7，1，2，3，4，5，6，7，…從中我們發(fā)現(xiàn)x與y有怎樣的關(guān)系式？

生：f(x+7)=f(x).

師：這種函數(shù)具有“周而復(fù)始”的性質(zhì).什么叫做周而復(fù)始呢？就是又回到原來(lái)的函數(shù)值了.

問(wèn)題2 教材第18面誘導(dǎo)公式一中，令k=1，有sin(α+2π)=sinα，cos(α+2π)=cosα，tan(α+2π)=tanα.從上面的公式中，能看出y=sinx，y=cosx，y=tanx的共同特征是什么？能用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來(lái)嗎？

生：f(x+2π)=f(x).

2.2 講解新課(時(shí)間07′51″—14′30″)

師：這兩個(gè)例子都具有周而復(fù)始的性質(zhì).從這個(gè)誘導(dǎo)公式一可以看出，三角函數(shù)具有周期性.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)具有奇偶性，但具有奇偶性的不只有三角函數(shù).通過(guò)剛才的討論，我們發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)具有周期性，那么具有周期性的函數(shù)是否只有三角函數(shù)呢？為此，要研究怎樣的函數(shù)可以稱之為周期函數(shù)，也就是說(shuō)，怎樣給周期函數(shù)下一個(gè)定義呢？從上面2個(gè)例子中，如何概括出周期函數(shù)的定義呢？

生：一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)，存在一個(gè)非零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

師：你為什么要說(shuō)是非零常數(shù)T呢？

生：假如T=0的話，那么f(x+T)=f(x)對(duì)于任意的函數(shù)都成立，那就沒(méi)有意義.

師：從以上定義可以看出，正弦、余弦和正切函數(shù)都以2π為周期.既然周期性如此定義，定義域內(nèi)的每一個(gè)值都滿足條件，那么它對(duì)定義域有什么要求嗎？這個(gè)問(wèn)題比較難、不好思考，具體地，比如T>0，將會(huì)怎樣？

生：定義域大于0.

師：當(dāng)T>0時(shí)，根據(jù)f(x)=f(x+T)=f(x+2T)=…=f(x+nT)，那么在數(shù)軸右邊將走向無(wú)窮.如果T<0，那么在數(shù)軸左邊是無(wú)界的.所以對(duì)于周期函數(shù)，定義域至少有一端是無(wú)界的，可以在一端是有界的.因此，周期性對(duì)定義域是有嚴(yán)格要求的.注意：①T是非零常數(shù)；②任意x∈D(D為定義域)，都有x+T∈D，可見(jiàn)周期函數(shù)定義域必定至少一端無(wú)界；③周期性是反映函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)(同奇偶性單調(diào)性一樣).

2.3 鞏固理解(時(shí)間14′31″—30′18″)

生：①③錯(cuò)誤，②④⑤正確.

師：①是錯(cuò)誤的，為什么？

生：按照定義，它們構(gòu)不成因果關(guān)系.

問(wèn)題3 函數(shù)y=sinx，y=cosx的周期除了2π之外，還有沒(méi)有其他的周期呢？它們到底有多少周期呢？

生：2kπ，k∈Z，k≠0.(師強(qiáng)調(diào)k≠0)

問(wèn)題4 對(duì)函數(shù)y=sinx，y=cosx而言，是否存在比2π更小的正周期呢？(教師當(dāng)堂板書(shū)證明，2π是正弦函數(shù)的最小正周期，強(qiáng)調(diào)反證法使用時(shí)關(guān)鍵在于否定結(jié)論并列舉反例)

問(wèn)題5 是否所有的周期函數(shù)，都具有最小的正周期呢？更確切地說(shuō)，是否所有具有正周期的周期函數(shù)，一定有最小正周期呢？先給出最小正周期的定義，即對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)，如果在它的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)叫做函數(shù)的最小正周期.

生：不.常函數(shù).它對(duì)于任意的正數(shù)，都是它的周期，因此沒(méi)有最小的正周期.

師：嗯，y=2，這個(gè)是平凡的例子，找不到它的最小正周期.有沒(méi)有不是平凡的例子，它不是常數(shù)函數(shù)，但是它是周期函數(shù)，并且沒(méi)有最小正周期呢？

生：……

師：想一想課堂上曾經(jīng)講過(guò)的函數(shù)，并說(shuō)明原因.

生：狄利克雷函數(shù).

生(眾)：有的說(shuō)周期是任意實(shí)數(shù)，有的說(shuō)周期是除0以外的有理數(shù).

師：狄利克雷函數(shù)是一個(gè)經(jīng)典的案例，除0以外的所有有理數(shù)都是它的周期.但是，在所有的正有理數(shù)中，并不存在最小的正有理數(shù)，所以它沒(méi)有最小正周期.以后大學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，大家會(huì)知道它經(jīng)常作為數(shù)學(xué)分析中的反例出現(xiàn)的.

2.4 課堂練習(xí)(時(shí)間30′19″—46′00″)

問(wèn)題6 正切函數(shù)是周期函數(shù)嗎？若是，它有最小正周期嗎？

生：有.從誘導(dǎo)公式tan(α+π)=tanα可知.

師：此處需要注意的是，正切函數(shù)的定義域有限制.當(dāng)然，我們也可以證明正切函數(shù)具有最小的正周期π，此處我們從略.這就是我們今天研究的三角函數(shù)的周期性.(教師在原來(lái)“周期性”板書(shū)的前面補(bǔ)加“三角函數(shù)的”板書(shū))

師：根據(jù)剛才的定義，以及類似例2的方法可以推導(dǎo).如果ω≠0,那么結(jié)果是什么？為什么？

生：取絕對(duì)值.

師：為什么？

生：因?yàn)門>0.

師：這不對(duì)，這是混亂的邏輯.(學(xué)生笑)如果ω<0，那么情況會(huì)是什么呢？

生：……

師：這個(gè)問(wèn)題考驗(yàn)大家的理解和轉(zhuǎn)換能力.有人想出來(lái)了嗎？(眾生沉默，在思考)

生：我可以把負(fù)號(hào)提到外面去.

圖1

例3 若鐘擺的高度h(mm)與時(shí)間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示.①求該函數(shù)的周期；②求t=10s時(shí)鐘擺的高度.(教師一帶而過(guò)，指出t=10s時(shí)可以利用周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，過(guò)程略)

問(wèn)題7 教材第19頁(yè)第四組誘導(dǎo)公式sin(π+x)=-sinx，cos(π+x)=-cosx，將之推廣到一般函數(shù)，即滿足的關(guān)系式為f(π+x)=-f(x).試問(wèn)：滿足該式的y=f(x)是周期函數(shù)嗎？(如果定義域是R)能概括出更一般的結(jié)論嗎？

生：是周期函數(shù).但是周期是……

生：是周期函數(shù).如果……先代入……

師：你代100個(gè)值也沒(méi)有用啊，你難道不知道周期函數(shù)的定義是對(duì)任意的數(shù)值都成立的嗎？(學(xué)生會(huì)心一笑)

生：因?yàn)閒(2π+x)=f(π+π+x)=-f(π+x)=f(x)，所以2π是它的周期.

師：更一般地，你能概括出什么結(jié)論？

生：如果f(a+x)=-f(x)，那么2a一定是它的周期.

師：嗯，很好，其中的a是常數(shù).這就說(shuō)明誘導(dǎo)公式四揭示了正弦和余弦函數(shù)都是以2π為周期的函數(shù).今天，我們學(xué)習(xí)了周期，這有什么用呢，實(shí)際上它可以用在簡(jiǎn)諧振動(dòng)分解的周期延拓和周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)等方面，函數(shù)周期性具有重要價(jià)值.

2.5 回顧反思(時(shí)間46′00″—48′00″)

師：通過(guò)這節(jié)課學(xué)習(xí)，你們有哪些收獲？

生：利用周期性，可以從特殊性結(jié)論得出一些普遍性結(jié)論等.此外，還有一些有關(guān)周期性的具體結(jié)論.

3 設(shè)計(jì)淺析

3.1 教學(xué)內(nèi)容：數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是空穴來(lái)風(fēng)，而是立足于知識(shí)的深刻把握，來(lái)源于問(wèn)題的成功解決，取決于數(shù)學(xué)思維的參與經(jīng)歷.對(duì)于函數(shù)的性質(zhì)，高中主要研究周期性、單調(diào)性、奇偶性以及最值等.作為一個(gè)整體性的概念，周期性的一個(gè)認(rèn)知難點(diǎn)是，利用有限來(lái)認(rèn)識(shí)無(wú)限，把周期性作為一個(gè)模型來(lái)驅(qū)動(dòng)三角函數(shù)的學(xué)習(xí).在有的版本教材中，是先講三角函數(shù)的圖象再講周期函數(shù)的概念，從而讓學(xué)生觀察圖象中的“周而復(fù)始”等特點(diǎn)，從中抽象和概括出周期性概念.而蘇教版是以周期性作為基本模型和驅(qū)動(dòng)主線來(lái)貫穿整章的，并且先有函數(shù)的周期性再講三角函數(shù)的圖象.因此，蘇教版中的周期性概念的重要性不言而喻.有關(guān)周期性的知識(shí)譜系的問(wèn)題主要有：為什么要提出周期性概念？生活中有哪些周期性的案例？數(shù)學(xué)中有哪些經(jīng)典的案例？周期性概念的數(shù)學(xué)定義是什么？周期函數(shù)的內(nèi)涵有哪些？周期函數(shù)的周期有多少個(gè)？周期函數(shù)有沒(méi)有最小(正)周期？任意一個(gè)函數(shù)都有周期性嗎？如何判定函數(shù)是周期函數(shù)？什么樣的函數(shù)才有周期性？為什么2π是正弦函數(shù)的最小正周期？怎樣去求周期性函數(shù)(三角函數(shù))的周期？周期性概念的提出有什么意義？這些問(wèn)題的深刻理解和把握，是周期性概念理解的關(guān)鍵.

蘭老師認(rèn)識(shí)到本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)不是獲得三角函數(shù)周期的求解公式，并幫助學(xué)生簡(jiǎn)單套用這些公式解題，而是借助三角函數(shù)來(lái)把握和理解周期性概念的數(shù)學(xué)本質(zhì).因此，他的教學(xué)從生活中的案例和已學(xué)知識(shí)誘導(dǎo)公式出發(fā)，讓學(xué)生不斷建構(gòu)周期性的概念，加深對(duì)周期性概念的深度理解.指出周期性是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型，并非所有的函數(shù)都是周期函數(shù)，周期性函數(shù)的定義域具有一端無(wú)限的特點(diǎn)，周期不能為零，并借助正反例子幫助學(xué)生深度理解周期性的含義.其中，選用了狄利克雷和常數(shù)函數(shù)等反例的思想來(lái)幫助理解周期性的概念，介紹了反證法思想等.特別是，考慮到生源基礎(chǔ)緣故，蘭老師對(duì)2π是正弦函數(shù)的最小正周期給予了證明，而對(duì)于三角函數(shù)的一般周期公式則一帶而過(guò).

3.2 教師教學(xué)：傳統(tǒng)特征的自覺(jué)踐行

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落實(shí)，數(shù)學(xué)課堂的組織設(shè)計(jì)是關(guān)鍵.中國(guó)數(shù)學(xué)教育教學(xué)中的一些傳統(tǒng)做法，就是很好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)方式.就中國(guó)數(shù)學(xué)教育(教學(xué))的特色，許多人有不同的總結(jié).例如，張奠宙指出，中國(guó)數(shù)學(xué)教育，具有許多與世界主流研究不同的特色，至少有“新課導(dǎo)入”教學(xué)，“大班級(jí)的師生互動(dòng)”、“數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)”、“變式引領(lǐng)練習(xí)”、“熟能生巧的演練”等5個(gè)方面.[1]涂榮豹等指出，中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的5個(gè)特點(diǎn)分別是：注重教學(xué)的具體目標(biāo)；教學(xué)中長(zhǎng)于由舊知引出新知；注重對(duì)新知識(shí)的深入理解；強(qiáng)調(diào)解題，關(guān)注方法和技巧；重視及時(shí)鞏固、課后練習(xí)、記憶有法.[2]

在新課改中，面對(duì)紛繁復(fù)雜的外來(lái)教育理論，多元教學(xué)理念和新穎教學(xué)方法，許多新手教師在組織教學(xué)時(shí)往往迷失方向.而在一些名校中，許多優(yōu)秀教師扎根課堂，在看似樸實(shí)無(wú)華的課堂教學(xué)中，傳承著中國(guó)數(shù)學(xué)教育的優(yōu)秀傳統(tǒng)，彰顯著深厚的數(shù)學(xué)功底和非凡的教學(xué)實(shí)力.本課中的蘭老師，就是一個(gè)代表.蘭老師在該課中充分體現(xiàn)了上述多條傳統(tǒng)教學(xué)特征.首先，蘭老師注重教學(xué)導(dǎo)入和銜接過(guò)渡.蘭老師洞悉學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，一開(kāi)始就從生活常識(shí)和舊有知識(shí)中自然切入.整節(jié)課上，層次清楚，過(guò)渡自然，銜接流暢，清新親切，絕不矯揉造作、絕不生拉硬拽.其次，在大班的師生互動(dòng)中，蘭老師充分采用了啟發(fā)式教學(xué)方法.蘭老師的這節(jié)課不是以技術(shù)取勝，不是以情境見(jiàn)長(zhǎng)，不是以活動(dòng)為本，而是采用了傳統(tǒng)的啟發(fā)式教學(xué)，所有提出的問(wèn)題，都在學(xué)生思維射程之內(nèi).整節(jié)課的教學(xué)過(guò)程水到渠成、輕松自然.學(xué)生在看似輕松活潑的學(xué)習(xí)氛圍中，卻不斷經(jīng)歷了數(shù)學(xué)思維的歷險(xiǎn)和穿越.再次，體現(xiàn)出了問(wèn)題驅(qū)動(dòng)和變式理論的特色.蘭老師借用變式設(shè)計(jì)幫助豐富學(xué)生對(duì)周期概念的理解，借助有思維深度的多種問(wèn)題，在提出、探究、解決和反思中來(lái)推進(jìn)整個(gè)教學(xué)活動(dòng).

3.3 學(xué)生學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)素養(yǎng)的建構(gòu)生成

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的獲得，當(dāng)然離不開(kāi)學(xué)習(xí)主體的自主建構(gòu).《課標(biāo)(2017年版)》把數(shù)學(xué)活動(dòng)劃分為情境與問(wèn)題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)和交流與反思4個(gè)方面.從教學(xué)設(shè)計(jì)來(lái)看，蘭老師尊重教材把周期作為一個(gè)思維主線貫通全章的處理方式，整節(jié)課循循善誘地以周期為核心，充分經(jīng)歷水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化的過(guò)程，在現(xiàn)實(shí)生活和已學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng).蘭老師創(chuàng)設(shè)生活和數(shù)學(xué)情境(情境與問(wèn)題)，從中抽象出周期性的定義和判定原則(知識(shí)與技能)，借助問(wèn)題串這一高效腳手架，促進(jìn)思維的嚴(yán)密、表達(dá)的精準(zhǔn)和形式的抽象，達(dá)到對(duì)周期性概念的深度理解(思維與表達(dá))，課堂中師生之間的對(duì)話聲中，充斥著數(shù)學(xué)表達(dá)、質(zhì)疑、批判和反思(交流與反思).

從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的6種分類來(lái)看，本節(jié)課中主要體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等多種核心素養(yǎng).其中，在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念，在多個(gè)問(wèn)題的解決中發(fā)展運(yùn)算能力，在正反多方面的批判和交鋒中磨練(演繹)推理能力，把周期性作為一類數(shù)學(xué)模型，等等.此外，在周期函數(shù)定義域特征的探索和解決例3的過(guò)程中，也體現(xiàn)了直觀想象的核心素養(yǎng).而從核心素養(yǎng)的水平劃分來(lái)看，主要有畢業(yè)水平、高考水平和拓展水平，本課中的相應(yīng)水平較高，顯然是充分考慮了生源優(yōu)秀的實(shí)際.當(dāng)然，這些核心素養(yǎng)的養(yǎng)成是整體實(shí)現(xiàn)的，是借助數(shù)學(xué)思維形成的.在整節(jié)課中，體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想方法有：化歸思想，模型思想，數(shù)形結(jié)合思想，特殊與一般.發(fā)展了學(xué)生的以下能力：抽象能力，概括能力，形式化能力，演繹能力.在教學(xué)過(guò)程中，體現(xiàn)出的聯(lián)系有：和先學(xué)知識(shí)誘導(dǎo)公式的聯(lián)系，和生活的聯(lián)系，和函數(shù)的聯(lián)系，和大學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，和其他學(xué)科的聯(lián)系，等等.總之，本節(jié)課中師生、生生的交互協(xié)商和思維建構(gòu)，最后磨礪了思維品質(zhì)，鑄就了關(guān)鍵能力.不難想象，經(jīng)過(guò)天長(zhǎng)日久的積累，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就養(yǎng)成了.

致謝：感謝蘭松斌老師的精彩設(shè)計(jì)和無(wú)私分享