江蘇省泰州市智堡實驗學校

李光紅 (郵編：225300)

筆者前不久翻看2018年的中考題，其中有兩道題引起筆者濃厚的興趣，進而進行了深入思考，請看這兩題：

例1 (2018年無錫中考)如圖1，平面直角坐標系中，已知點B的坐標為(6,4).

圖1

(1)請用直尺(不帶刻度)和圓規(guī)作一條直線AC，它與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和點C，且使∠ABC=90°，△ABC與△AOC的面積相等.(作圖不必寫作法，但要保留作圖痕跡.)

(2)問：(1)中這樣的直線AC是否唯一？若唯一，請說明理由；若不唯一，請在圖中畫出所有這樣的直線AC，并寫出與之對應的函數(shù)表達式.

分析第(1)題考慮到矩形的中心對稱性，過B作BA⊥x軸于A點，過B作BC⊥y軸于C點，則△AOC≌△CBA，所以AC符合要求；第(2)題受第(1)題的啟發(fā)，只要作出直線AC使△ABC與△AOC全等即可，考慮軸對稱性，連接OB，作線段OB的垂直平分線分別交x軸和y軸于點A和點C，則△AOC≌△ABC，直線AC符合要求，進而求出直線AC的函數(shù)關系式.

如圖1所示：

圖2

進一步思考：以上共有兩種作法，會不會有其他作法呢？

我們知道，若△ABC與△AOC全等，必然能使∠ABC=∠AOC=90°，△ABC與△AOC的面積相等；但是其逆命題正確嗎？通過研究發(fā)現(xiàn)其逆命題是正確的.下面我們來證明一下：

已知：如圖2所示，在平面直角坐標系中，點B的坐標為(6,4)，作一條直線AC，它與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和點C，且使∠ABC=90°，△ABC與△AOC的面積相等.

求證：△ABC與△AOC全等.

證明因為∠ABC=∠AOC=90°，

所以AO2+CO2=AC2，

AB2+CB2=AC2，

所以AO2+CO2=AB2+CB2，

①

又因為△ABC與△AOC的面積相等，

所以2AO·CO=2AB·CB，

②

①+②，得：AO2+2AO·CO+CO2=AB2+2AB·CB+CB2，

即：(AO+CO)2=(AB+CB)2，

因為AO+CO>0，AB+CB>0，

所以AO+CO=AB+CB，

③

①-②，得：AO2-2AO·CO+CO2=AB2-2AB·CB+CB2，

即：(AO-CO)2=(AB-CB)2，

所以AO-CO=±(AB-CB)，

④

由③、④聯(lián)立，可得：AO=AB，CO=CB或AO=CB，CO=AB.

兩種情況均能得到△ABC與△AOC全等.

因此，符合條件的作法有且只有兩種！

例2 (2018年南京中考)結果如此巧合！

下面是小穎對一道題目的解答.

題目如圖，Rt△ABC的內切圓與斜邊AB相切于點D，AD=3，BD=4，求△ABC的面積.

圖3

解設△ABC的內切圓分別與AC、BC相切于點E、F，CE的長為x.

根據(jù)切線長定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x.

根據(jù)勾股定理，得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.

整理，得x2+7x=12.

小穎發(fā)現(xiàn)12恰好就是3×4，即△ABC的面積等于AD與BD的積.這僅僅是巧合嗎?

請你幫她完成下面的探索.

已知△ABC的內切圓與AB相切于點D，AD=m，BD=n.

可以一般化嗎？

(1)若∠C=90°，求證：△ABC的面積等于mn.

倒過來思考呢？

(2)若AC·BC=2mn，求證∠C=90°.

改變一下條件……

(3)若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面積.

分析設△ABC的內切圓分別與AC、BC相切于點E、F，CE的長為x.

根據(jù)切線長定理，得AE=AD=m，BF=BD=n，CF=CE=x.第(1)(2)兩小題解法省略，第(3)小題過程如下：

圖4

(3)如圖4，過點A作AG⊥BC，垂足為G.

在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理，得

整理，得x2+(m+n)x=3mn.

這是一道閱讀理解+探索應用的題目，第(1)題把原題中AD和BD的長一般化；第(2)題是第(1)題的逆向應用；第(3)題把∠C的度數(shù)進行了變化，探索其中有無相似的規(guī)律.做完之后，感覺意猶未盡：如把∠C的度數(shù)也一般化，△ABC的面積是否也可以用含m、n及∠C的代數(shù)式表示呢？下面來研究一下：

如圖4，過點A作AG⊥BC，垂足為G.

在Rt△ACG中，

AG=AC·sinC=(x+m)·sinC，

CG=AC·cosC=(x+m)·cosC.

所以BG=BC-CG=(x+n)-(x+m)·cosC.在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理，得

[(x+m)·sinC]2+[(x+n)-(x+m)·cosC]2=(m+n)2.

展開，得(x+m)2sin2C+(x+n)2-2(x+n)(x+m)cosC+(x+m)2cos2C=(m+n)2.

即 (x+m)2(sin2C+cos2C)+(x+n)2-2(x+n)(x+m)cosC=(m+n)2.

(x+m)2+(x+n)2-2(x+n)(x+m)cosC=(m+n)2.

x2+2mx+m2+x2+2nx+n2-2cosC·x2-2cosC·(m+n)x-2cosC·mn=m2+2mn+n2.

2(1-cosC)x2+2(1-cosC)(m+n)x=2mn(1+cosC).

至此，發(fā)現(xiàn)△ABC的面積可以用含m、n及∠C的代數(shù)式表示，且第(1)、(3)題都可以通過上式得到驗證.

鄭毓信教授在談到如何落實核心素養(yǎng)問題時，提出：我們應當努力做到“深度教學”；進而，適當?shù)摹皢栴}引領”正是我們實現(xiàn)上述目標最重要的一條途徑.我想，每年各地的中考題為我們提供了豐富多彩、鮮活有創(chuàng)意的素材，我們應該做個有心人，對這些好的素材進行深入研究.要引導學生“深度學習”，我們老師首先要對問題有“深入思考”.在“深入思考”的基礎上，通過“問題引領”，即通過適當?shù)奶釂?，特別是啟發(fā)性的問題，將學生的思維引向深入，從而使學生的思考更清晰、更深入、更全面、更合理，更有效地促進學生思維的發(fā)展.以上是本人一點淺見，供諸位同仁參考指正.