陶繼智

[摘? 要] 平面向量是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)知識(shí)，由于向量的矢量性，學(xué)生在理解時(shí)存在一定的難度，對(duì)于該部分內(nèi)容的教學(xué)需要從易于理解的角度出發(fā)，結(jié)合學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)開(kāi)展. 而對(duì)于平面向量的概念、定理教學(xué)，應(yīng)采用探究式的教學(xué)方式，并且充分滲透數(shù)形結(jié)合思想，從“數(shù)”與“形”的角度揭示向量特性，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)、能力和思想的綜合提升. 文章將從情境理解、過(guò)程探究、思想滲透三個(gè)方面開(kāi)展“平面向量”知識(shí)的教學(xué)討論，與同行交流學(xué)習(xí).

[關(guān)鍵詞] 平面向量;理解;過(guò)程;思想;數(shù)形結(jié)合

向量是高中數(shù)學(xué)的重要概念，它是代數(shù)與幾何的共同研究對(duì)象，是溝通兩者聯(lián)系的橋梁. 從教學(xué)視角來(lái)看，平面向量知識(shí)的教學(xué)不同于以往內(nèi)容，由于其自身的豐富背景和學(xué)科聯(lián)系使得實(shí)際教學(xué)存在一定的難度，若不能準(zhǔn)確把握教材內(nèi)容，合理編排教學(xué)環(huán)節(jié)，則會(huì)造成學(xué)生理解障礙，影響課堂教學(xué)效果. 以下是筆者對(duì)于“平面向量”相關(guān)知識(shí)的教學(xué)建議.

[?]基于學(xué)生理解，開(kāi)展情境教學(xué)

平面向量是一種較為特殊的量，對(duì)于學(xué)生而言還很陌生，因此起始教學(xué)時(shí)需要基于學(xué)生理解，從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上來(lái)開(kāi)展，通過(guò)對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)的發(fā)展和完善來(lái)構(gòu)建新知，并將其納入學(xué)生的知識(shí)體系中，提升學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)的能力.

對(duì)于平面向量的理解性學(xué)習(xí)策略，可以引入問(wèn)題情境，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的講解幫助學(xué)生理解平面向量. 教學(xué)中直接引出向量會(huì)造成學(xué)生理解困難，可以先從路程和位移的認(rèn)識(shí)開(kāi)展教學(xué)，比如設(shè)置如下情境：有一蜘蛛織了一張邊長(zhǎng)為15 cm的正六邊形的網(wǎng)，它位于網(wǎng)的中心O，蚊子在點(diǎn)A處，如圖1. 讓學(xué)生思考蜘蛛走怎樣的路線可以吃到蚊子，蜘蛛是不是只要爬行15 cm就一定可以吃到蚊子. 以六邊形為基礎(chǔ)，從不同路徑入手，讓學(xué)生初步理解路程與位移之間的區(qū)別，為后續(xù)的向量引出做基礎(chǔ).

由于在中學(xué)物理中學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了力與速度的分解問(wèn)題，可以以此為教學(xué)的情境素材，結(jié)合已學(xué)知識(shí)，利用實(shí)際問(wèn)題來(lái)開(kāi)展進(jìn)一步的概念教學(xué)，通過(guò)力的分解引出向量，教學(xué)中可以設(shè)置如下問(wèn)題：在一斜面上有一重物，自身所受重力為G，可將其分解為物體沿斜面的下滑力F1和垂直于斜面的壓力F2，如右圖2所示. 物理上用G=F1+F2來(lái)表示三者之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生理解上述三個(gè)量不僅具有大小性，還具有方向性，通過(guò)這樣的類比學(xué)習(xí)可以直指向量概念.

以生活原型為教學(xué)素材，聯(lián)系物理學(xué)相關(guān)知識(shí)來(lái)引申平面向量，這樣的教學(xué)方式是從學(xué)生理解的角度來(lái)開(kāi)展，是舊知向新知完美過(guò)渡的過(guò)程，對(duì)于學(xué)生理解向量概念極為有利. 另外從實(shí)際問(wèn)題中引申向量也是對(duì)向量應(yīng)用性的充分體現(xiàn)，有利于后續(xù)向量應(yīng)用性教學(xué).

[?]注重形成過(guò)程，細(xì)化設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)

對(duì)于向量的起始教學(xué)，讓學(xué)生充分體驗(yàn)向量概念、定理的形成過(guò)程是十分必要的，無(wú)論是概念、定理的猜想階段，還是對(duì)其科學(xué)性的論證階段，都需要精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生充分思考，積極討論，通過(guò)自身的實(shí)踐探究來(lái)理解概念的內(nèi)涵.

學(xué)生對(duì)于向量的幾何表示是從物理問(wèn)題的矢量性畫(huà)法中引出的，而對(duì)于向量的符號(hào)表示，即利用有向線段表示向量，則需要教師通過(guò)設(shè)問(wèn)的方式來(lái)不斷引導(dǎo)，讓學(xué)生理解向量的方向性是其本質(zhì)屬性. 教學(xué)中可以在方格紙上繪制向量和直線，如圖3所示，首先讓學(xué)生思考e0和e1的異同，學(xué)生很容易就會(huì)發(fā)現(xiàn)e1具有箭頭，而e0沒(méi)有;然后讓學(xué)生思考e1和e2之間、a和b之間的區(qū)別，從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)向量的方向性，并理解方向是向量的本質(zhì)屬性. 在此基礎(chǔ)上引出幾何中向量的表示方法，結(jié)合直角三角形，如圖4所示，讓學(xué)生理解和所表示的含義是不同的，初步掌握數(shù)學(xué)上向量的表示方法. 設(shè)計(jì)這樣的教學(xué)過(guò)程使向量概念從實(shí)際問(wèn)題上升到了數(shù)學(xué)的符號(hào)高度，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)符號(hào)表示向量的重要特征.

而在向量概念的學(xué)習(xí)階段，還需要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)向量關(guān)系，可以設(shè)計(jì)如下環(huán)節(jié)：在圖5所示的正六邊形ABCDEF中畫(huà)出一些向量，并用數(shù)學(xué)符號(hào)將其表示出來(lái)，學(xué)生以小組為單位比較一下所畫(huà)向量之間存在何種關(guān)系，并總結(jié)向量之間具有哪些關(guān)系. 由于正六邊形具有一定的特殊性，圖形上的短線段均等長(zhǎng)，從而直接將向量比較限制在其方向性上，通過(guò)這樣的對(duì)比、討論、總結(jié)的方式，學(xué)生可以較為直觀地獲得向量的“相等”“相反”“共線”和“平行”關(guān)系.

對(duì)于平面向量基本定理的學(xué)習(xí)，同樣可以設(shè)置探究的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖、分析、討論的方式來(lái)掌握定理，可以借助幾何畫(huà)板，指導(dǎo)學(xué)生在圖6中結(jié)合非零向量e1和e2，作出向量a=3e1+2e2以及向量b=-e1+2e2，然后讓學(xué)生思考如果給出任意實(shí)數(shù)λ1和λ2，是否可以作出形如λ1e1+λ2e2的向量，進(jìn)一步設(shè)問(wèn)讓學(xué)生思考向量a是否可以表示為λ1e1+λ2e2的形式以及需要滿足哪些條件. 通過(guò)畫(huà)圖實(shí)踐、設(shè)問(wèn)引導(dǎo)、獨(dú)立思考的教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生可以逐步歸納基本定理，為后續(xù)的定理深入理解做基礎(chǔ).

新課改下的教學(xué)課堂應(yīng)該是學(xué)生參與、教師引導(dǎo)的實(shí)踐課堂，學(xué)生對(duì)知識(shí)的探索過(guò)程遠(yuǎn)遠(yuǎn)比結(jié)果重要，因此無(wú)論是在向量概念，還是定理學(xué)習(xí)中都應(yīng)該設(shè)計(jì)多樣的實(shí)踐活動(dòng)，關(guān)注學(xué)生的思維過(guò)程，適時(shí)引導(dǎo)，讓學(xué)生在掌握知識(shí)的前提下獲得探究實(shí)踐技能，逐步形成科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯的數(shù)學(xué)思維，這才是過(guò)程教學(xué)的重要意義.

[?]滲透思想方法，數(shù)形結(jié)合教學(xué)

向量建立了代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，不僅具有代數(shù)精準(zhǔn)和幾何直觀的雙重特性，還在思想方法上對(duì)兩者完成了繼承，教材的編寫(xiě)也在無(wú)形中對(duì)兩者的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行了滲透. 因此對(duì)于向量?jī)?nèi)容的教學(xué)也不能僅限于知識(shí)本身，而拋棄知識(shí)背后的思想精華.

向量的運(yùn)算容易使學(xué)生產(chǎn)生向量純屬代數(shù)知識(shí)的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，但由于向量的方向性，以及運(yùn)算規(guī)律是基于幾何圖形的，因此向量知識(shí)同樣需要從幾何角度來(lái)分析. 因此在向量教學(xué)中需要采用數(shù)形結(jié)合的方式，充分滲透數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生從幾何代數(shù)化、代數(shù)幾何化等多角度進(jìn)行思考. 尤其在對(duì)一些定理進(jìn)行證明時(shí)，需要引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”與“形”的角度來(lái)分析，如證明定理“a⊥b?

向量知識(shí)有很強(qiáng)的實(shí)用性，在向量有關(guān)問(wèn)題計(jì)算時(shí)同樣可以滲透數(shù)形結(jié)合思想，可給出關(guān)于向量積問(wèn)題：如圖8所示，點(diǎn)E為直線BC上的一點(diǎn)，現(xiàn)已知=2，求·的值. 在向?qū)W生講解時(shí)可以采用建立直角坐標(biāo)系的方式，利用坐標(biāo)系兼具“數(shù)”與“形”的特點(diǎn)，向?qū)W生傳達(dá)數(shù)形思想. 首先讓學(xué)生以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸建立直角坐標(biāo)系，令點(diǎn)B（3，0），C（0，b），引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)條件求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，并計(jì)算和，然后利用向量積的知識(shí)求值. 這樣的解題方式充分滲透了數(shù)形結(jié)合思想，圖形分析關(guān)系，代數(shù)輔助計(jì)算，實(shí)現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.

向量知識(shí)背后的數(shù)形結(jié)合思想是對(duì)向量的幾何、代數(shù)本質(zhì)屬性的體現(xiàn)，在向量的定理教學(xué)、解題教學(xué)中充分滲透該思想，不僅可以使學(xué)生對(duì)向量知識(shí)產(chǎn)生深刻的理解，而且可以使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的思想方法，促進(jìn)學(xué)生思想的提升，而后者思想的提升對(duì)于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展更為有利.

[?]結(jié)束語(yǔ)

平面向量具有幾何和代數(shù)的雙重特性，對(duì)于該部分內(nèi)容的教學(xué)具有一定的挑戰(zhàn)性，不同于代數(shù)與幾何的單一視角，向量的教學(xué)需要充分轉(zhuǎn)化視角，實(shí)現(xiàn)兩者的完美結(jié)合. 在實(shí)際教學(xué)中，可以依照課標(biāo)要求，以理解性學(xué)習(xí)作為教學(xué)基準(zhǔn)，在學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上構(gòu)建向量的知識(shí)體系;注重知識(shí)的形成過(guò)程，開(kāi)展實(shí)踐探究，讓學(xué)生充分參與課堂教學(xué)，獲得知識(shí)和技能的雙重提升;而在具體教學(xué)中要注意思想方法的合理滲透，對(duì)于向量定理以及解題應(yīng)用，采用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生智力與能力綜合發(fā)展.