劉流， 梁曉龍,2， 張佳強(qiáng),3， 何呂龍， 侯岳奇

(1.空軍工程大學(xué) 空管領(lǐng)航學(xué)院， 陜西 西安 710051； 2.陜西省電子信息系統(tǒng)綜合集成重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 陜西 西安 710051；3.國家空管防相撞技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 陜西 西安 710051)

0 引言

近年來，無人機(jī)集群系統(tǒng)編隊(duì)控制問題得到了科研及工程領(lǐng)域的廣泛關(guān)注，并取得了大量的研究成果[1-2]。在軍事領(lǐng)域中，由無人機(jī)或有人機(jī)組成的航空集群[1-2]可實(shí)現(xiàn)無源定位[3]、協(xié)同反隱身探測[4]等單個(gè)航空器難以實(shí)現(xiàn)的功能，類似功能的實(shí)現(xiàn)離不開集群所形成的特定編隊(duì)構(gòu)型。在集群執(zhí)行任務(wù)過程中，往往需要根據(jù)不同的任務(wù)需求進(jìn)行相應(yīng)的構(gòu)型變換。與此同時(shí)，在實(shí)際戰(zhàn)場環(huán)境中，由于通信裝備功率、帶寬、距離等性能約束，如果需要保持集群間通信拓?fù)溥B通性以及對集群的有效控制，則可能需要根據(jù)情況改變集群通信拓?fù)潢P(guān)系；同時(shí)在不同作戰(zhàn)任務(wù)中，無人機(jī)的任務(wù)角色同樣可能發(fā)生變化，此時(shí)集群通信拓?fù)潢P(guān)系同樣需要相應(yīng)改變。因此在無人機(jī)集群通信拓?fù)浒l(fā)生變化情況下，確保對無人機(jī)集群的有效控制是研究的重點(diǎn)[5]。

近年來，關(guān)于集群系統(tǒng)的編隊(duì)控制問題得到了廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[6]基于Leader-Follower方法，針對無人機(jī)集群系統(tǒng)提出了分層控制策略，以實(shí)現(xiàn)無人機(jī)在避障時(shí)能夠保持恒定編隊(duì)隊(duì)形。該方法具有簡單、易實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，但缺點(diǎn)在于編隊(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性較差，一旦領(lǐng)導(dǎo)者出現(xiàn)問題，則系統(tǒng)難以保持穩(wěn)定。文獻(xiàn)[7]基于行為控制方式，借鑒斥力和地心偏轉(zhuǎn)力的理念構(gòu)造避障偏轉(zhuǎn)力，該方法能夠克服傳統(tǒng)人工勢場法的振蕩和極小值問題，比較適用于不確定環(huán)境，但缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摲治?。文獻(xiàn)[8]針對三維空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的無人機(jī)集群系統(tǒng)設(shè)計(jì)了基于虛擬結(jié)構(gòu)的編隊(duì)控制器，通過一系列仿真結(jié)果證明了控制器的有效性；該方法在一定程度上可以增強(qiáng)編隊(duì)控制的魯棒性，但是應(yīng)用范圍受編隊(duì)構(gòu)型的影響較大，結(jié)構(gòu)單一且適用性不強(qiáng)。

隨著一致性理論的發(fā)展[9]，越來越多的學(xué)者將一致性理論用于無人機(jī)集群編隊(duì)控制中。文獻(xiàn)[10]研究了具有時(shí)延的2階多智能體系統(tǒng)編隊(duì)控制問題，設(shè)計(jì)了基于速度和位置一致項(xiàng)信息的編隊(duì)控制協(xié)議，并給出了相關(guān)參數(shù)的設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[11]研究了具有隨機(jī)切換拓?fù)涞耐瑯?gòu)多智能體系統(tǒng)一致性問題，并給出了實(shí)現(xiàn)一致的條件是通信拓?fù)鋱D在任意時(shí)刻都保持連通，但是只對1階多智能體系統(tǒng)進(jìn)行了分析，存在一定的局限性。文獻(xiàn)[12]研究了具有通信時(shí)延的1階離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)的一致性問題，通過引入狀態(tài)預(yù)測協(xié)議對時(shí)延進(jìn)行動(dòng)態(tài)補(bǔ)償，設(shè)計(jì)了一致性控制協(xié)議，但同樣只考慮了1階多智能體模型。文獻(xiàn)[13]基于固定時(shí)間一致性理論研究了無人機(jī)集群的構(gòu)型變換控制問題，實(shí)現(xiàn)了無人機(jī)集群在指定時(shí)間內(nèi)達(dá)成一致并完成相應(yīng)構(gòu)型的變換，并利用四旋翼無人機(jī)平臺進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證，但是無人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型為1階積分器模型，只能生成相應(yīng)構(gòu)型，無法保持指定速度和構(gòu)型。

本文結(jié)合一致性控制理論，解決了具有2階積分特性的無人機(jī)集群在切換通信拓?fù)錀l件下的構(gòu)型變換問題。通過考慮具有2階積分特性的無人機(jī)集群模型，使得集群在進(jìn)行構(gòu)型變換時(shí)不僅能夠完成相應(yīng)構(gòu)型的變換，同時(shí)能夠以期望速度保持構(gòu)型。通過引入編隊(duì)參考向量，設(shè)計(jì)分布式控制協(xié)議，使得無人機(jī)集群能夠?qū)崿F(xiàn)特定構(gòu)型的變換，同時(shí)保持期望速度與相應(yīng)構(gòu)型，便于后續(xù)作戰(zhàn)任務(wù)的執(zhí)行，最后通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了理論的有效性。

1 圖論預(yù)備知識

考慮一個(gè)多智能體系統(tǒng)，將每個(gè)智能體視作節(jié)點(diǎn)，則智能體網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涑Ｓ糜邢驁DG=(W,E,A)來描述，其中W=(w1,w2,…,wn)為非空有限的節(jié)點(diǎn)集合，E={(wi,wj):wi,wj∈W(G)}為邊集，A=[aij]∈RN×N為非負(fù)鄰接矩陣，其中n、i、j為下表索引自然數(shù)，N為矩陣空間維度自然數(shù)。圖G中：若節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j之間存在信息交換，則存在邊(wi,wj)；若信息交換是沒有方向性的，即(wi,wj)∈E?(wj,wi)∈E，則稱圖G為無向圖；若信息流只從節(jié)點(diǎn)j流向節(jié)點(diǎn)i，即邊是有方向性的，則稱圖G為有向圖,可以將無向圖看作有向圖的特殊情況。如果在任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都存在至少一條路徑，則圖G為連通的。記節(jié)點(diǎn)i的鄰居節(jié)點(diǎn)為集合Ni?W(G)，即Ni={wj∈W:(wi,wj)∈E}。若wj∈Ni(i≠j)，則aij>0，否則aij=0.G圖的Laplacian矩陣L=[lij]∈RN×N定義為

(1)

2 集群構(gòu)型控制問題描述及控制協(xié)議

考慮由N架無人機(jī)組成的無人機(jī)集群，無人機(jī)間的通信拓?fù)溆蔁o向圖G表示，其中每架無人機(jī)為圖G中的節(jié)點(diǎn)wi，i∈{1,2,…,N}. 將每架無人機(jī)視作質(zhì)點(diǎn)，其動(dòng)力學(xué)模型為2階動(dòng)力學(xué)模型[14]：

(2)

式中：xi(t)、vi(t)、ui(t)分別為無人機(jī)wi的位置、速度、加速度，xi(t)∈R1，vi(t)∈R1，ui(t)∈R1,同時(shí)ui(t)也為無人機(jī)wi的控制輸入，1表示元素全為1的相應(yīng)維數(shù)列向量。為了便于描述，本文在一維情況下進(jìn)行分析，但所得結(jié)論仍然適用于二維平面及三維空間。

定義ξi(t)=[xi(t),vi(t)]T，B1=[1,0]T，B2=[0,1]T. 則無人機(jī)集群系統(tǒng)(2)式可以表示為

(3)

定義1?i,j=1,2,…,N，如果存在Ri(t)=[Rxi(t),Rvi]T∈R2，使得

(4)

則稱無人機(jī)集群實(shí)現(xiàn)了期望構(gòu)型及期望速度，其中r為參考向量。

為使無人機(jī)wi在切換通信拓?fù)錀l件下實(shí)現(xiàn)期望構(gòu)型變換，設(shè)計(jì)如下控制協(xié)議：

(5)

式中：K∈R1×2為常數(shù)參數(shù)矩陣；α為常數(shù)參數(shù)。

在控制協(xié)議(5)式中，第1項(xiàng)為使無人機(jī)達(dá)到期望速度，第2項(xiàng)為控制一致項(xiàng)。無人機(jī)wi的鄰居個(gè)體會(huì)隨著通信拓?fù)涞那袚Q發(fā)生變化。需要指出的是，在控制協(xié)議(5)式中并未考慮無人機(jī)間的避撞問題。為了確保無人機(jī)集群運(yùn)動(dòng)的一致性，并對相關(guān)定理進(jìn)行理論推導(dǎo)證明，未在控制協(xié)議中加入勢函數(shù)等避撞項(xiàng)，以免無人機(jī)集群在構(gòu)型變換過程中出現(xiàn)振蕩等現(xiàn)象，在實(shí)際飛行中可采取為無人機(jī)劃分不同高度層的方法來避免無人機(jī)相撞。

在控制協(xié)議(5)式下，將系統(tǒng)方程(3)式表示為矩陣形式：

(6)

3 控制協(xié)議設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化

對無人機(jī)集群系統(tǒng)(6)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)子系統(tǒng)，一個(gè)主要用來描述編隊(duì)誤差系統(tǒng)，另一個(gè)用來形成期望編隊(duì)構(gòu)型。通過證明可以看出，無人機(jī)集群形成期望構(gòu)型等價(jià)于誤差系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)漸進(jìn)穩(wěn)定。則控制協(xié)議(5)式的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為設(shè)計(jì)合適的參數(shù)，使得誤差系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)漸進(jìn)穩(wěn)定。

(7)

為便于后文進(jìn)一步的研究，還需要以下引理。

引理1對于任意σ(t)∈Q，如果Gσ(t)是連通的，則Lσ(t)只有一個(gè)零特征值[15]，其余特征值均為正。

(8)

(9)

證明取e1∈RN，為首行元素為1、其余元素為0的N維列向量。定義

(10)

(11)

因?yàn)閇ζT(t),0]T=e1?ζ(t)，則(10)式可以表示為

(12)

(13)

由(12)式、(13)式可得

(14)

4 主要結(jié)果證明

下面給出無人機(jī)集群系統(tǒng)(6)式在通信拓?fù)淝袚Q條件下實(shí)現(xiàn)期望構(gòu)型變換的充要條件，同時(shí)給出控制協(xié)議中參數(shù)矩陣K的設(shè)計(jì)方法。

定理1具有切換通信拓?fù)涞臒o人機(jī)集群系統(tǒng)(6)式，實(shí)現(xiàn)期望構(gòu)型變換的充要條件為當(dāng)且僅當(dāng)：

1)對于所有的i∈{1,2,…,N}，

(15)

2)下述切換通信拓?fù)渚€性系統(tǒng)趨于漸進(jìn)穩(wěn)定，

(16)

式中：θ(t)為系統(tǒng)(16)式的狀態(tài)變量。

證明必要性。如果無人機(jī)集群系統(tǒng)(6)式能夠?qū)崿F(xiàn)期望構(gòu)型變換，則根據(jù)引理2和(9)式可知:

(17)

且下述系統(tǒng)

(18)

=-1N-1.

(19)

(20)

(21)

條件1得證。

條件2得證。

充分性。如果滿足條件1，可得

(22)

則

(23)

(24)

(25)

(26)

證明考慮系統(tǒng)(16)式的穩(wěn)定性，構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)：

V(t)=θT(t)(IN-1?P)θ(t),

(27)

將V(t)對時(shí)間t求導(dǎo)，可得

5 仿真結(jié)果與分析

考慮由4架無人機(jī)組成的集群系統(tǒng)，在二維平面運(yùn)動(dòng)并進(jìn)行構(gòu)型變換，仿真中涉及到的位置單位為m，速度單位為m/s，加速度單位為m/s2. 假定存在由4個(gè)不同通信拓?fù)潢P(guān)系組成的集合S，如圖1所示。無人機(jī)集群系統(tǒng)的通信拓?fù)涿扛?0 s在集合S中進(jìn)行隨機(jī)切換，拓?fù)淝袚Q信號圖如圖2所示。

無人機(jī)集群系統(tǒng)相關(guān)系統(tǒng)矩陣為

(28)

式中：i=1,2,3,4；xix、xiy分別為無人機(jī)wi的北向位置和東向位置；Rxvi、Ryvi分別為期望速度向量的北向和東向分量；vix、viy分別為無人機(jī)wi的北向速度和東向速度。

無人機(jī)集群系統(tǒng)初始位置為

初始速度均為0.

編隊(duì)期望速度為Rxvi=2，Ryvi=0.5. 期望構(gòu)型矩陣為

(29)

式中：Rxx(t)為期望構(gòu)型北向位置分量；Ryx(t)為期望構(gòu)型東向位置分量。

(30)

仿真步驟流程圖如圖3所示。

由于本文在控制協(xié)議設(shè)計(jì)過程中并未考慮機(jī)間避撞問題，在實(shí)際飛行過程中，可通過為無人機(jī)設(shè)置不同高度層來避免相撞問題。圖4所示為無人機(jī)運(yùn)動(dòng)軌跡圖。

6 結(jié)論

本文研究了在通信拓?fù)淝袚Q條件下的無人機(jī)集群系統(tǒng)的構(gòu)型變換控制問題。針對連續(xù)2階積分器模型，通過引入編隊(duì)參考向量設(shè)計(jì)了一致性構(gòu)型變換控制協(xié)議，并給出了參數(shù)矩陣設(shè)計(jì)方法以及實(shí)現(xiàn)并保持期望構(gòu)型的充要條件。通過仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制協(xié)議的有效性。