梁文耀, 譚希超, 劉 基, 王 琪

(華南理工大學(xué) a. 物理與光電學(xué)院； b. 物理教學(xué)實(shí)驗(yàn)中心； c. 電子與信息學(xué)院， 廣州 510641)

0 引 言

近代物理實(shí)驗(yàn)是融合物理思想和實(shí)驗(yàn)技術(shù)的綜合性實(shí)驗(yàn)課程，是我國(guó)高校物理類專業(yè)的必修實(shí)驗(yàn)課程之一[1-2]。然而其實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容長(zhǎng)期以來缺乏及時(shí)和有效的更新，難以反映當(dāng)前物理學(xué)發(fā)展的前沿現(xiàn)狀，迫切需要新增貼近物理學(xué)前沿的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容。本文提出將物理學(xué)研究熱點(diǎn)之一的多光束激光全息干涉法制作光子晶體的理論引入近代物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)。

光子晶體是介質(zhì)或金屬材料構(gòu)成的人工周期結(jié)構(gòu)[3]，被譽(yù)為“光子學(xué)半導(dǎo)體”。光子晶體由介電材料類比固體物理晶格排列制作而成，其獨(dú)特的光子帶隙、缺陷模、超準(zhǔn)直、負(fù)折射等新穎物理效應(yīng)引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[4-8]，人們據(jù)此提出了全向反射鏡、光子晶體波導(dǎo)、非互易傳輸、光子晶體光纖等重要應(yīng)用[9-13]。由于光子晶體的巨大潛在應(yīng)用價(jià)值，設(shè)計(jì)和制作各種光子晶體成為人們的研究熱點(diǎn)之一。人們已發(fā)展了半導(dǎo)體微電子加工技術(shù)、激光刻蝕法和激光全息法等多種制備方法[14-16]。其中半導(dǎo)體微電子加工技術(shù)比較成熟，但工藝復(fù)雜，成本較高；激光刻蝕法只能形成橢圓形狀的單一刻蝕形狀，而且制作微結(jié)構(gòu)的效率較低。與其他方法不同，激光全息法是一種并行刻寫的方法，它利用多束相干光在相干區(qū)域匯聚形成光強(qiáng)分布有序的周期干涉圖樣，利用“模板+填充”方式完成微結(jié)構(gòu)的制作，可制作各種光學(xué)晶格微結(jié)構(gòu)，具有靈活高效、圖樣豐富、大面積制作等獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)。傳統(tǒng)的激光全息法是讓光刻膠在全息光路中曝光，從而產(chǎn)生周期微結(jié)構(gòu)，需要大量制作實(shí)驗(yàn)樣品，制作效率和成功率較低。本實(shí)驗(yàn)利用CMOS傳感器代替光刻膠，將干涉結(jié)果實(shí)時(shí)傳輸?shù)接?jì)算機(jī)進(jìn)行分析，根據(jù)分析結(jié)果調(diào)節(jié)光路參數(shù)，無需曝光、顯影等步驟，有效提升對(duì)微結(jié)構(gòu)制作的掌控程度和降低實(shí)驗(yàn)成本。

為了便于分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，通常需要解決微結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)測(cè)量這一難題。傳統(tǒng)的方法是結(jié)合實(shí)驗(yàn)裝置的光路參數(shù)通過公式計(jì)算得到。然而實(shí)際測(cè)量實(shí)驗(yàn)裝置的參數(shù)時(shí)通常面臨以下問題：① 在實(shí)驗(yàn)中干涉圖樣經(jīng)顯微物鏡放大后由CMOS傳感器采集圖像輸送到計(jì)算機(jī)進(jìn)行觀察，由于顯微物鏡的內(nèi)部光路未知，同時(shí)顯微物鏡和CMOS傳感器的相對(duì)位置不固定，從而導(dǎo)致圖樣的具體放大倍數(shù)未知；② 為了利用公式來計(jì)算晶格常數(shù)，需要精確測(cè)量實(shí)驗(yàn)光路的各項(xiàng)參數(shù)，例如萬向鏡光點(diǎn)之間的距離、光束夾角以及光點(diǎn)到成像點(diǎn)的距離等，這些參數(shù)在實(shí)際測(cè)量時(shí)難以精確測(cè)量，誤差較大。因此迫切需要發(fā)展高效便捷的實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法。

本實(shí)驗(yàn)中，提出一種基于泰伯效應(yīng)(Talbot effect)的標(biāo)定法來精確測(cè)量微結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)。在同一實(shí)驗(yàn)環(huán)境下在顯微物鏡前放置一塊光柵，讓激光垂直入射，由于泰伯效應(yīng)產(chǎn)生光柵的自成像。在不改變實(shí)驗(yàn)環(huán)境參數(shù)設(shè)置的情況下，光柵的自成像與激光全息法產(chǎn)生的光學(xué)晶格微結(jié)構(gòu)放大比例相同，在已知光柵參數(shù)的情況下，將光柵的自成像作為參考導(dǎo)入Matlab進(jìn)行分析標(biāo)定，以自成像作為測(cè)量光學(xué)晶格的標(biāo)尺，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)光學(xué)微結(jié)構(gòu)晶格常數(shù)的簡(jiǎn)便、精確測(cè)量。研究表明，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算吻合得很好。

1 理論分析

1.1 多光束激光全息法基本原理

激光全息微結(jié)構(gòu)制作是利用多束相干光在會(huì)聚區(qū)域產(chǎn)生干涉圖案作為模板，進(jìn)而通過光與物質(zhì)相互作用形成折射率空間周期變化的二維或三維結(jié)構(gòu)。改變光束波矢差和光束之間的夾角，能夠產(chǎn)生多種周期結(jié)構(gòu)。其干涉結(jié)果可看成是多束激光兩兩干涉結(jié)果的疊加。兩束相干光干涉形成一系列極大值平行平面，其方向垂直于兩光束所在平面，平行平面之間的距離由入射光波長(zhǎng)和兩光束之間的夾角決定：

(1)

式中：λ為入射光波長(zhǎng)；θ為兩光束夾角。

入射光多于兩束時(shí)，兩兩光束間所形成的不同平面組數(shù)為n(n-1)/2，其中n為不共面的入射光束數(shù)。本實(shí)驗(yàn)主要研究二維晶格，取n=3，共有3組平行平面，它們?cè)诳臻g相交形成的極大值點(diǎn)在二維平面上具有良好的周期特性，這就是所謂的光學(xué)晶格點(diǎn)陣。N束相干光在會(huì)聚區(qū)域干涉的空間光強(qiáng)分布如下：

(2)

式中:Ej(r)、kj分別是第j束平面光波的復(fù)振幅和波矢。波矢差Gij=ki-kj，初相位差δij=δi-δj。

為了便于分析各束光的偏振組合影響，把參與干涉的各光束進(jìn)一步分解為振動(dòng)互相垂直、初相位彼此相差π/2的橢圓偏振光形式(Ea、Eb分別為橢圓長(zhǎng)、短軸)：

Ej=Eja+Ejb=Ejaexp(ikj·r+δj)eja+

(3)

由式(2)可知：① 該干涉場(chǎng)分布具有周期性，可用于制作周期微結(jié)構(gòu)。② 由固體物理學(xué)的正、倒易空間的變換關(guān)系可知，光束波矢差和倒格基矢存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，Gij可等效為周期結(jié)構(gòu)的倒空間矢量，所以光學(xué)晶格的類型取決于Gij。③ 光束兩兩相干形成各種取向的一維晶面，其對(duì)比度、元胞形狀依賴于光束振幅、偏振組合(如Ei·Ej)。

1.2 二維光學(xué)晶格的光束配置及晶格類型

利用式(2)研究干涉場(chǎng)空間分布I(r)的晶格類型與波矢差Gij的關(guān)系，即光束配置。各束光的波矢差與倒格矢存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，波矢差Gij可等效為干涉周期結(jié)構(gòu)的倒空間矢量。如圖1所示，要形成二維光學(xué)晶格微結(jié)構(gòu)，需有3束非共面激光參加干涉，但僅有2個(gè)獨(dú)立基矢，假設(shè)G1=G31=k3-k1和G2=G23=k2-k3，而k2-k1=G31+G23，并非獨(dú)立基矢。倒格子基矢Gij的大小以及它們之間的夾角決定了正空間光學(xué)晶格的對(duì)稱性。

圖1 二維光學(xué)晶格光束配置圖

根據(jù)固體物理中的分類，二維晶格類型共有4種，分別為斜方晶格、矩形晶格、正方晶格、三角晶格，其條件分別如下：① 斜方晶格。最普通的二維周期結(jié)構(gòu)，其條件為|G1|≠|(zhì)G2|，且G1與G2的夾角不等于90°。② 矩形晶格。其條件為|G1|≠|(zhì)G2|，且G1與G2的夾角為90°。③ 正方晶格：其條件為|G1|=|G2|，且G1與G2的夾角為90°。④ 三角晶格。其條件為|G1|=|G2|，且G1與G2的夾角為60°。不失一般性，后文以三角晶格為例開展實(shí)驗(yàn)研究，其他類型晶格可類似研究。圖2所示為三角晶格的計(jì)算機(jī)模擬實(shí)例，相應(yīng)參數(shù)見表1。

圖2 三角光學(xué)晶格模擬實(shí)例

1.3 晶格常數(shù)測(cè)量原理——基于泰伯效應(yīng)的標(biāo)定法

泰伯效應(yīng)：1836年，泰伯發(fā)現(xiàn)，用單色平行光垂直照射周期為d的光柵時(shí)，在光柵后距離為2m(d2/λ)

表1 模擬實(shí)例對(duì)應(yīng)參數(shù)

上出現(xiàn)該光柵的清晰像，m為正整數(shù)，稱最小重復(fù)距離d2/λ為泰伯距離。這種不用透鏡即可對(duì)周期性物體成像的現(xiàn)象稱為泰伯效應(yīng)或自成像效應(yīng)。此外，在(2m-1) (d2/λ)的位置上，會(huì)出現(xiàn)沿橫向平移d/2的光柵像，周期仍為d。泰伯效應(yīng)可用圖3表示。

圖3 泰伯效應(yīng)

同一實(shí)驗(yàn)環(huán)境下，在顯微物鏡前放置一塊光柵，讓激光垂直入射。根據(jù)泰伯效應(yīng)，近似為單色平面波的激光垂直照射光柵時(shí)，物體后會(huì)以泰伯距離為周期出現(xiàn)光柵的自成像。在不改變實(shí)驗(yàn)環(huán)境參數(shù)設(shè)置時(shí)，即保持顯微物鏡和相機(jī)的相對(duì)位置不變時(shí)，光柵自成像在CMOS傳感器接收處與光學(xué)晶格的放大比例相同。在已知光柵參數(shù)的情況下，可以將泰伯效應(yīng)引起的光柵自成像作為參考，通過標(biāo)定法得到若干像素點(diǎn)之間的實(shí)際長(zhǎng)度，以此為基礎(chǔ)來測(cè)量光學(xué)晶格微結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)。

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及結(jié)果分析

2.1 實(shí)驗(yàn)方案及步驟

實(shí)驗(yàn)中采用單縱模連續(xù)半導(dǎo)體激光器作為光源，其工作波長(zhǎng)為532 nm，功率約為 60 mW，線寬小于0.01 pm，相干長(zhǎng)度超過50 m，偏振度大于100∶1，完全滿足本全息干涉實(shí)驗(yàn)的要求。由于激光功率較大，為防止激光進(jìn)入人眼造成危險(xiǎn)，在激光器出口處放入中性濾波片減弱光強(qiáng)。具體實(shí)驗(yàn)方案及步驟如下:

(1) 搭建實(shí)驗(yàn)光路。圖4為實(shí)驗(yàn)光路圖，由平面光路和立體光路兩部分構(gòu)成，平面光路將激光分為3束，立體光路分為上光路和下光路。激光出射后經(jīng)中性濾波片后由第1片分光鏡獲得2束光束，其中1束由全反鏡和萬向鏡反射到顯微物鏡鏡口處，為上光路的光束1；另1束經(jīng)由第2片分光鏡分光，再分別反射至顯微物鏡口，為下光路的光束2、3，在各束光路中均放置偏振片和1/4玻片用于調(diào)節(jié)各束光的偏振和光強(qiáng)。根據(jù)三角晶格的光束配置調(diào)整各光束方向，在顯微物鏡口會(huì)聚干涉，從而產(chǎn)生二維三角光學(xué)晶格。對(duì)于其他類型的光學(xué)晶格，可根據(jù)各自的光束配置調(diào)整干涉光夾角來產(chǎn)生相應(yīng)的光學(xué)晶格微結(jié)構(gòu)。

圖4 實(shí)驗(yàn)光路圖

(2) 將干涉產(chǎn)生的光學(xué)晶格圖樣傳輸至計(jì)算機(jī)顯示，實(shí)時(shí)觀察光學(xué)晶格圖案。3光束干涉形成的微結(jié)構(gòu)經(jīng)顯微物鏡放大100倍，然后由CMOS傳感器采集圖像傳輸至計(jì)算機(jī)，在計(jì)算機(jī)上打開Microvision MV Camera Performance軟件，實(shí)時(shí)觀察放大后的二維光學(xué)晶格。

(3) 實(shí)時(shí)調(diào)整光路參數(shù)優(yōu)化光學(xué)晶格。以干涉效果對(duì)比度為優(yōu)化參數(shù)，實(shí)時(shí)觀察和調(diào)節(jié)各光束的偏振和光強(qiáng)，達(dá)到最佳干涉狀態(tài)和最高對(duì)比度。具體通過調(diào)節(jié)兩兩光束干涉實(shí)現(xiàn)，首先擋住第3束光，調(diào)節(jié)1、2束光達(dá)到最佳干涉狀態(tài)；同理調(diào)節(jié)2、3和1、3兩組光的干涉狀態(tài)達(dá)到最高對(duì)比度；最后3束光同時(shí)入射產(chǎn)生三角晶格圖案，圖5所示為實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖5 三角光學(xué)晶格實(shí)驗(yàn)結(jié)果

(4) 在同一實(shí)驗(yàn)環(huán)境下產(chǎn)生泰伯效應(yīng)自成像，用于后續(xù)測(cè)量晶格常數(shù)。已知所用光柵的參數(shù)為300 L/mm，保持實(shí)驗(yàn)環(huán)境參數(shù)不變，緊貼顯微物鏡口放置光柵，用分束后的某1束激光垂直照射光柵，結(jié)合計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)觀察產(chǎn)生的自成像圖案，緩慢增大光柵與顯微物鏡鏡頭的距離，獲得成像效果最佳的自成像并保存，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。

圖6 光柵的泰伯效應(yīng)自成像

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析處理

首先，以泰伯效應(yīng)產(chǎn)生的光柵自成像為參考，計(jì)算單位像素對(duì)應(yīng)的真實(shí)長(zhǎng)度并作為測(cè)量過程的基準(zhǔn)量，測(cè)量三角晶格3個(gè)方向a、b、c上的晶格常數(shù)da、db、dc。然后計(jì)算晶格常數(shù)理論值，由前面理論分析可知，三角光學(xué)晶格可看成3組相干光兩兩干涉的平行條紋疊加而成，故可利用式(1)計(jì)算3組平行平面的間距，進(jìn)而根據(jù)平行平面距離和晶格常數(shù)之間的幾何關(guān)系計(jì)算晶格常數(shù)的理論值。最后將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論值進(jìn)行比較，討論標(biāo)定法測(cè)量的有效性。

2.2.1 基于泰伯效應(yīng)標(biāo)定法測(cè)量實(shí)驗(yàn)結(jié)果的晶格常數(shù)

(1) 取光柵自成像的圖案，在已知光柵常數(shù)的情況下標(biāo)定得到相鄰像素之間的距離。如圖6所示，在光柵自成像上選擇跨越31條光柵線的線段作為標(biāo)定線，長(zhǎng)度共30個(gè)光柵常數(shù)，即30d，其中d為光柵常數(shù)；該線段兩端點(diǎn)的像素坐標(biāo)分別為(531,372)和(1 163，372)，相距共632個(gè)像素。已知光柵參數(shù)為每毫米300條刻線，故可得30d=0.1 mm。根據(jù)前面數(shù)據(jù)可求得相鄰像素代表的實(shí)際距離δ=0.1 mm÷632=158.23 nm。

(2) 將實(shí)驗(yàn)得到的三角光學(xué)晶格圖案導(dǎo)入Matlab，利用標(biāo)定法測(cè)量其晶格常數(shù)。圖7為3束光同時(shí)入射干涉產(chǎn)生的三角光學(xué)晶格，在該圖樣上沿晶格的周期方向a、b、c各取1段標(biāo)定線段，其長(zhǎng)度分別為39da、35db、42dc，其中da、db、dc為沿a、b、c方向的晶格常數(shù)，具體參數(shù)見表2。結(jié)合前面的δ=158.23nm計(jì)算得到的晶格常數(shù)為：da=2 788.37 nm、db=3 087.74 nm、dc=2 768.76 nm，從而完成晶格常數(shù)的實(shí)驗(yàn)測(cè)量。

圖7 三光束干涉實(shí)驗(yàn)結(jié)果

晶格周期方向端點(diǎn)坐標(biāo)像素差晶格常數(shù)/(nm)a(977 ,151),(433 ,571)6872 788.37b(678 ,77),(666 ,760)6833 087.74c(1 171 ,515),(536 ,145)7352 768.76

2.2.2 晶格常數(shù)理論計(jì)算

下面對(duì)晶格常數(shù)進(jìn)行理論計(jì)算，以便與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。通過測(cè)量實(shí)驗(yàn)環(huán)境參數(shù)，可計(jì)算得到3組相干光兩兩干涉產(chǎn)生的平行面間距d1t、d2t、d3t，進(jìn)而利用d1t、d2t、d3t和晶格常數(shù)dat、dbt、dct之間的幾何關(guān)系，推導(dǎo)計(jì)算出晶格常數(shù)理論值，其中at、bt、ct代表理論計(jì)算中晶格的周期方向，具體見圖8。

圖8 條紋與水平方向的夾角

(1) 幾何參數(shù)測(cè)量計(jì)算。圖9所示為實(shí)驗(yàn)環(huán)境參數(shù)，需要說明的是，該圖中為測(cè)量方便選取實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為XOY平面，所用坐標(biāo)系僅用于計(jì)算幾何關(guān)系，與圖1的坐標(biāo)系無關(guān)。A、B、C為萬向鏡上的光束反射點(diǎn)位置，D為干涉點(diǎn)，a、b、c分別為3束光從萬向鏡光點(diǎn)到干涉點(diǎn)距離。線段d、e、f、g、h、i、j可由直接測(cè)量得到，具體如下：d=f=16.9 cm，e=27.9 cm，g=h=7.5 cm，i=65.0 cm，j=21.2 cm，通過簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系計(jì)算得到：AB=BC=13.31 cm，AC=15 cm，a=c=65.57 cm，b=65.34 cm?？梢娙切蜛BC為一等腰三角形。

圖9 實(shí)驗(yàn)光路幾何參數(shù)

(2) 計(jì)算兩兩干涉條紋間距。在△ABD、△BCD、△ACD中，分別利用余弦定理計(jì)算得到(2, 3)、(1, 2)、(1, 3)3組光束組合的夾角分別為：θ1=13.13°，θ2=θ3=11.67°。由式(1)計(jì)算得到(2，3)光束組合的干涉條紋間距為d1t=2 325.55 nm，而(1，2)和(1，3)兩組光束的干涉條紋間距相等，為d2t=d3t=2 616.46 nm。

(3) 計(jì)算晶格常數(shù)理論值。圖10給出了條紋間距d1t、d2t、d3t和晶格常數(shù)dat、dbt、dct之間的幾何關(guān)系。由sin(θ)=d2t/(2d1t)求得θ=34.23°，進(jìn)而可求得晶格常數(shù)理論值為：dct=dat=d2t/sin(2θ)=2 812.83 nm，dbt=2datsin(θ)=3 164.53 nm，其中dct與dat的夾角為68°。需要說明的是，原計(jì)劃設(shè)計(jì)光路產(chǎn)生三角晶格微結(jié)構(gòu)，但是由于實(shí)際光路參數(shù)調(diào)節(jié)存在一定的誤差，使得光路參數(shù)偏離了理想情況，將上述結(jié)果和三角晶格的參數(shù)條件比較發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果略微偏離了完美三角晶格。

圖10 條紋間的幾何關(guān)系

2.3 結(jié)果分析和討論

表3所示為實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果比較及相對(duì)誤差?？梢钥闯?，理論計(jì)算結(jié)果和基于泰伯效應(yīng)標(biāo)定法測(cè)量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果非常接近，最大相對(duì)誤差僅為2.48%，可見實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論計(jì)算結(jié)果符合得很好。其誤差來源于實(shí)驗(yàn)裝置幾何參數(shù)的測(cè)量誤差和實(shí)驗(yàn)裝置振動(dòng)導(dǎo)致圖像采集不穩(wěn)定帶來的偏差。綜上可知，本文提出的基于泰伯效應(yīng)的標(biāo)定法可用來簡(jiǎn)便、快速、精確測(cè)量光學(xué)微結(jié)構(gòu)的尺寸，無需復(fù)雜的實(shí)驗(yàn)參數(shù)測(cè)量和計(jì)算，是一種很好的微結(jié)構(gòu)尺寸測(cè)量方法，可推廣應(yīng)用于測(cè)量更復(fù)雜的微結(jié)構(gòu)尺寸。

表3 標(biāo)定法測(cè)量晶格常數(shù)與理論計(jì)算對(duì)比

3 結(jié) 語

本實(shí)驗(yàn)結(jié)合多光束激光全息法和實(shí)時(shí)顯示技術(shù)設(shè)計(jì)新型的全息實(shí)驗(yàn)，用于近代物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)。以三角光學(xué)晶格為例探討了光學(xué)晶格的產(chǎn)生原理和光束配置，并在實(shí)驗(yàn)中利用CMOS傳感器實(shí)時(shí)傳輸干涉圖樣

到計(jì)算機(jī)進(jìn)行觀察分析。此外，提出一種新型的基于泰伯效應(yīng)的標(biāo)定法精確測(cè)量微結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)，利用已知光柵在同一實(shí)驗(yàn)環(huán)境中產(chǎn)生的自成像作為參考，通過標(biāo)定法方便快捷地獲得晶格常數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，而且與理論計(jì)算結(jié)果符合得很好。該標(biāo)定法無需測(cè)量實(shí)驗(yàn)光路參數(shù)，可用來簡(jiǎn)便、快速、精確測(cè)量光學(xué)微結(jié)構(gòu)的尺寸，不僅巧妙克服實(shí)驗(yàn)光路參數(shù)難以準(zhǔn)確測(cè)量的困難，而且避免了繁瑣的計(jì)算，是一種高效的微結(jié)構(gòu)測(cè)量方法。此外，本實(shí)驗(yàn)無需曝光和顯影等步驟，具有形象、方便、高效等優(yōu)點(diǎn)，有效降低了實(shí)驗(yàn)教學(xué)成本。