福建省莆田第二中學(xué) (351131)

蔡海濤

解析幾何是高考數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，直線與圓錐曲線位置關(guān)系又是解析幾何中常見的重要考查類型.很多學(xué)生無法正確解答，往往是不知道設(shè)點的坐標(biāo)還是直線方程，或是隨便設(shè)一種形式，面對繁雜的運算最終難以完成.還有些教師甚至指導(dǎo)學(xué)生遇到直線與圓錐曲線位置關(guān)系時,就是“聯(lián)立”、“判別式”、“韋達定理”的三部曲.筆者認為，設(shè)直線方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立,然后設(shè)而不求、整體代換,確實是常規(guī)套路,但是所有問題一定要聯(lián)立嗎？聯(lián)立后又一定是整體代入嗎？本文以近年來的高考題為例,談?wù)勥@類問題處理的方法和策略.

1.大聯(lián)立

(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：∠OMA=∠OMB.

(2)當(dāng)l與x軸重合時，∠OMA=∠OMB=0°.當(dāng)l與軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB.

綜上，∠OMA=∠OMB.

評注:直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，常常是先設(shè)直線方程，再把它與圓錐曲線方程聯(lián)立，如果不好求交點坐標(biāo)，一般是把已知條件或要解決問題進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，利用韋達定理整體處理，用代數(shù)方法來解決幾何問題.這種處理方法叫“大聯(lián)立”，適合于交點坐標(biāo)較難求出的類型.

2.小聯(lián)立

(1)當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時，求△AMN的面積；

(2)當(dāng)2|AM|=|AN|時，求k的取值范圍．

評注:本題與例1類似之處是設(shè)直線,然后與圓錐曲線方程聯(lián)立，區(qū)別之處是容易解出交點坐標(biāo).這種處理方法叫“小聯(lián)立”，適合于知道一個交點坐標(biāo)的情況，可根據(jù)韋達定理求出另一個交點坐標(biāo).往往這種類型已知一個點的橫坐標(biāo)為1,則可以利用韋達定理求出兩根之積易得另一點坐標(biāo),或是已知一個點的橫坐標(biāo)為0,則可以利用韋達定理求出兩根之和易得另一點坐標(biāo),一個點的縱坐標(biāo)為1或0時情況類似.

3.不聯(lián)立

總之，以上三種方法是解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的常用方法，在具體應(yīng)用時，應(yīng)仔細分析，靈活選取.