馬小箭，趙環(huán)環(huán)

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山西大同037009）

近年來,高階中立型微分方程與其所對(duì)應(yīng)的不等式最終有界正解的存在性受到了許多學(xué)者的關(guān)注,得到了一些較好的研究成果[1-2]。

在2004年,歐陽自根等[1]研究了奇數(shù)階中立性微分方程

和相對(duì)應(yīng)的不等式

得到了它們存在最終正解的充要條件。

2008年,劉有軍等[2]研究了偶數(shù)階帶分布時(shí)滯微分方程

和相對(duì)應(yīng)的不等式

同樣得到了它們最終正解存在是等價(jià)的。

通過此類方程的發(fā)展過程和其的證明過程來看,為了得到關(guān)鍵的不等式,會(huì)將方程的階數(shù)分為奇偶來討論,并且在證明過程中也會(huì)體現(xiàn)出較大的差異,這對(duì)方程和其對(duì)應(yīng)的不等式形式也提出了一定的要求。通過對(duì)文獻(xiàn)[1]認(rèn)真研讀和詳細(xì)分析后,將方程的階數(shù)由偶數(shù)改為奇數(shù), 利用了新的引理,克服了在算子構(gòu)造上的困難,同樣得到了它們最終正解存在的充要條件。為了相關(guān)工作，我們還認(rèn)真查閱了關(guān)于非振動(dòng)解存在性的著作和論文[3-8]。

考慮奇數(shù)階多時(shí)滯中立型微分方程：

和其對(duì)應(yīng)的不等式

（1）這 里n為 奇 數(shù) ，

（2）fj(t,u)是關(guān)于u的單調(diào)不減的實(shí)函數(shù)，且ufj(t,u)>0,j=1,2,…,l。

定義1若方程的一個(gè)解有任意大的零點(diǎn),則稱其為方程的振動(dòng)解,否則,稱之為非振動(dòng)解。

定義2若x(t)是方程（1）的解，且存在充分大的T>t0,當(dāng)t≥T時(shí),x(t)≥0,則x(t)為方程（1）的一個(gè)最終正解。

引理1設(shè)，使得令是不等式的(2)的一個(gè)最終有界正解，設(shè)

則最終有

證明由于x(t)最終有界，且，使得，則y(t)也最終正解，由(2)式知，

定理1設(shè)引理的所有條件都成立，且

(H1) 當(dāng)t充分大時(shí)，

(H2)min{n} >0, 且當(dāng)t充分大時(shí)，存在j,(1 ≤j≤l),使得Pj(s)≠ 0,s∈ [t,t+σ]，則方程(1) 存在有界的最終正解的充要條件是不等式(2)存在有界的最終正解。

證明必要性是顯然的。

充分性，設(shè)不等式(2)式的一個(gè)有界的最終正解x(t),t＞0，令

由引理1和(2)式最終有

用(4)式并對(duì)(2)從t到∞積分，得

重復(fù)以上步驟n+1 次，再用到(4) 式，可得

用Toneell's定理，交換積分次序，得

又因?yàn)?/p>

所以

即

選取T≥0，使得(4)式成立，且x(t-u)>0，

考慮函數(shù)集

且定義Ω 上的算子S如下：

易知S是連續(xù)的。由(6)式容易看出S是從Ω到Ω 的一個(gè)映射，對(duì)于任意的z∈Ω ，都有(Sz)(t)>0,T-u≤t

且

則由(6)式簡(jiǎn)單推導(dǎo)，可得

所以是(1)的一個(gè)非負(fù)解。

證明ω(t)＞0，t≥T-u,否則存在，t*≥T, 使得ω(t)＞0，T-u≤t≤t*, 且ω(t)=0。則

這暗含著

bi(t?)=0,i=1,2,…,m,Pj(s)fj(s,ω(s-σj))=0,j=1,2,…,l,這與(H1)或(H2)矛盾，因此ω(t)是方程 (1)的一個(gè)最終有界正解，證畢。