溫新奇，靳海濤

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

組合恒等式的證明和發(fā)現(xiàn)是組合數(shù)學(xué)的一個(gè)重要研究課題，其傳統(tǒng)證明方法靈活多變，往往涉及代數(shù)、組合、分析等數(shù)學(xué)分支。近些年來，計(jì)算機(jī)代數(shù)方法的興起使得組合恒等式的證明有了革命性突破。需要特別指出的是，研究人員利用Gosper 算法和Zeilberger 算法[1]，可以證明絕大多數(shù)的超幾何恒等式。然而，組合數(shù)學(xué)中存在大量的非超幾何序列，因此其相關(guān)恒等式的證明正成為當(dāng)下研究的熱點(diǎn)。研究表明，處理非超幾何和式的一個(gè)基本思路就是將其轉(zhuǎn)化為超幾何項(xiàng)，例如文獻(xiàn)[2]中采用Newton-Andrews方法將調(diào)和數(shù)轉(zhuǎn)化為超幾何項(xiàng)，文獻(xiàn)[3]利用圍道積分將Bernoulli 數(shù)轉(zhuǎn)化為超幾何項(xiàng)。

調(diào)和數(shù)是一類經(jīng)典的非超幾何組合序列，在算法分析、數(shù)論以及量子物理學(xué)等領(lǐng)域中發(fā)揮著重要作用。此外，調(diào)和數(shù)的相關(guān)恒等式的研究也引起研究人員的廣泛關(guān)注。例如文獻(xiàn)[4]通過一個(gè)含有調(diào)和數(shù)的恒等式證明了著名的Beukers 猜想，文獻(xiàn)[5]研究了含有調(diào)和數(shù)的Euler 和，并給出了大量無窮和等式。因此，給出證明和發(fā)現(xiàn)含有調(diào)和數(shù)的相關(guān)恒等式的系統(tǒng)化方法具有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值。目前的方法主要包括計(jì)算機(jī)代數(shù)方法[2]、部分分式分解[6]、Riordan 群[7]和求導(dǎo)算子[8-9]等。本文利用形式留數(shù)算子[10]給出了調(diào)和數(shù)的一個(gè)超幾何表示[11]，將調(diào)和數(shù)的相關(guān)求和問題轉(zhuǎn)化為超幾何求和問題，進(jìn)而利用經(jīng)典的Gosper 算法和Zeilberger 算法處理相應(yīng)和式，最后通過取留數(shù)得到原始和式的相應(yīng)結(jié)果。

1 基礎(chǔ)知識

1.1 形式留數(shù)算子

定義對其形式留數(shù)定義為resz（f（z））：=z-1f（z）=a-1。

性質(zhì)對給定的有resz（kf（z）+tg（z））=kresz（f（z））+tresz（g（z））。

1.2 調(diào)和數(shù)Hn的超幾何表示

由于調(diào)和數(shù)是非超幾何項(xiàng)（即Hn+1/Hn不是關(guān)于n的有理函數(shù)），因此處理相關(guān)和式的核心是給出調(diào)和數(shù)的超幾何表示。一個(gè)經(jīng)典方法是考慮函數(shù)f（x）=利用微積分知識不難證明Hn=f′（0）。文獻(xiàn)[2，9]就利用該超幾何表示證明和發(fā)現(xiàn)含有調(diào)和數(shù)的相關(guān)恒等式。

對非負(fù)整數(shù)n，記

本文利用該函數(shù)給出了調(diào)和數(shù)的另一個(gè)超幾何表示。

性質(zhì)H（n，x）是關(guān)于 n 的超幾何項(xiàng)，并有

證明

1.3 Gosper算法和Zeilberger算法

Gosper 算法和Zeilberger 算法是處理超幾何項(xiàng)和式的2 個(gè)經(jīng)典算法，其具體計(jì)算步驟和歷史發(fā)展可見文獻(xiàn)[1]。

（1）Gosper 算法完全解決了超幾何項(xiàng)的不定和問題?？紤]不定和式其中，tk為一個(gè)超幾何項(xiàng)。Gosper 算法將尋找一個(gè)超幾何項(xiàng)zk，使得tk=Δkzk=zk+1- zk。若算法成功，則給出zk，進(jìn)一步對k 求和可得Sn=zn+1-z0；若算法失敗，則表明tk不存在超幾何不定和。

（2）Zeilberger 算法用來處理雙超幾何項(xiàng)的定和問題?？紤]和式其中，F(xiàn)（n，k）為關(guān)于n，k 的超幾何項(xiàng)。Zeilberger 算法將尋找與k 無關(guān)的一些多項(xiàng)a0（n），a1（n），…，aJ（n）式和一個(gè)有理函數(shù)R（n，k），滿足如下斜遞推關(guān)系：

一般地，記 G（n，k）=R（n，k）F（n，k）。進(jìn)一步，式（2）兩邊對k 求和可得到和式f（n）滿足的一個(gè)遞推關(guān)系式。為證明恒等式f（n）=T（n），只需驗(yàn)證T（n）滿足該遞推關(guān)系，且與f（n）具有相同的初值即可。

2 調(diào)和數(shù)相關(guān)恒等式的證明

給定一個(gè)含有調(diào)和數(shù)的相關(guān)和式，基本思路如下：

（1）將求和項(xiàng)代換為對應(yīng)的超幾何項(xiàng)表示，從而變?yōu)槌瑤缀魏褪健?/p>

（2）利用Gosper 算法或Zeilberger 算法，得到對應(yīng)超幾何項(xiàng)的不定和或斜遞推關(guān)系式。

（3）對所得的不定和或斜遞推關(guān)系式取形式留數(shù)并對k 求和，即可得到相關(guān)恒等式或和式滿足的遞推關(guān)系式。

一般情況下，對定和等式只需驗(yàn)證恒等式右端也滿足同一遞推關(guān)系式，且取相同的初值即可。

2.1 Gosper算法的應(yīng)用

利用Gosper 算法給出幾個(gè)已知恒等式的新證明。

例1證明經(jīng)典著作[12]中的如下反演公式：

證明記求和項(xiàng)為tk，并記x）。由 Gosper 算法可得：

利用式（1）并注意到：

對式（3）兩邊取留數(shù)可得：

進(jìn)一步，對k從0到n求和，即得：

例2證明如下恒等式：

Garvan 首先給出了該恒等式的猜想[13]，Paule 和Schneider 在文獻(xiàn)[2]中利用Sigma 軟件包證明了該猜想，Chu 和Donno 在文獻(xiàn)[8]利用超幾何級數(shù)重新證明了該等式。

證明記求和項(xiàng)為tk，記x），由 Gosper 算法可得：

化簡可得：

例3計(jì)算和式

解記求和項(xiàng)為 tk，記 Tk=kH（k，x），由 Gosper 算法可得：

利用式（1）并注意到：

對式（4）兩邊取留數(shù)可得：

將上式兩邊對k 求和得：

例4計(jì)算和式

解記求和項(xiàng)為 tk，并記 Tk=k2H（k，x），由Gosper算法可得：

利用式（1）并注意到：

對式（5）兩邊取留數(shù)可得：

上式兩邊對k 求和可得：

同理，上式可整理為：

2.2 Zeilberger算法的應(yīng)用

利用Zeilberger 算法給出幾個(gè)已知恒等式的新證明。

例5證明如下恒等式：

Prodinger[6]利用部分分式分解給出了該恒等式。之后，Osburn 等[15]利用計(jì)算機(jī)代數(shù)包Sigma 重新證明了上式。

證明記左端和式為f（n），并記F（n，k）=（-1）k·，由 Zeilberger 算法可得：

利用式（1）并注意到：

對式（7）取留數(shù)并對k 求和可得：

于是，可得f（n）滿足遞推關(guān)系：

可以驗(yàn)證式（6）右端也滿足上述關(guān)系且與f（n）有相同初值，故恒等式成立。

例6證明如下恒等式：

Paule 等[2]利用計(jì)算機(jī)代數(shù)包Sigma 發(fā)現(xiàn)并證明了該恒等式，文獻(xiàn)[11]利用Abel-Zeilberger 算法也給出了證明。

證明要證上式成立，即證：

注意到在式（9）中：

根據(jù)式（1），對式（9）取留數(shù)并對 k 求和可得：

注意到其中：

即可得f（n）滿足遞推關(guān)系式為：

可以驗(yàn)證式（8）右端也滿足上述關(guān)系且與f（n）有相同初值，故恒等式成立。

例7證明如下恒等式：

文獻(xiàn)[2]首先證明了該恒等式，文獻(xiàn)[9]重新給出了證明。

證明當(dāng)n=0 時(shí)，上式左右兩邊均等于1，該恒等式成立。

下面考慮n ＞0 的情形。

式中：

注意到：

根據(jù)式（1），對式（11）取留數(shù)并對 k 求和得：

注意到：

故可得f（n）滿足如下遞推關(guān)系：

式中：n ＞0，利用f（1）=0 即可證明該恒等式當(dāng)n ＞0時(shí)成立。

注：文獻(xiàn)[2]中還考慮了如下和式：

采用本文方法，均可給出相應(yīng)和式的遞推關(guān)系式，在此不再贅述。

本文方法也適用于含有一般廣義調(diào)和數(shù)的相應(yīng)和式。僅以文獻(xiàn)[6]中的如下恒等式為例進(jìn)行說明。

其次，記左端和式為f（n），并記F（n，k）=（-1）n-k·，則由Zeilberger 算法可得：

式中：記

同理，利用式（13），對式（14）取留數(shù)并對 k 求和，注意到右端為：

故可得f（n）滿足遞推關(guān)系式：

可以驗(yàn)證式（12）右端也滿足上述關(guān)系且與f（n）有相同初值，故恒等式成立。

3 結(jié) 語

本文利用形式留數(shù)給出了調(diào)和數(shù)的一個(gè)超幾何表示并由此利用經(jīng)典的機(jī)器證明——Gosper 算法和Zeilberger 算法來處理含有調(diào)和數(shù)的相應(yīng)和式。通過給出一些經(jīng)典恒等式的新證明，發(fā)現(xiàn)本文方法靈活有效。此外，該方法還可用于證明含有廣義調(diào)和數(shù)的相應(yīng)恒等式。在后續(xù)的研究中，一方面，將進(jìn)一步擴(kuò)展該方法并將其用于發(fā)現(xiàn)新的恒等式；另一方面，還將研究該方法在證明含有調(diào)和數(shù)的超同余式中的應(yīng)用。