石向陽(yáng)

編者按：本期我們特地邀請(qǐng)了常年對(duì)全國(guó)卷進(jìn)行深入研究，具有豐富經(jīng)驗(yàn)的教師來(lái)探索高考命題的趨勢(shì)，同時(shí)給出相應(yīng)的預(yù)測(cè)題，以此為考生指明復(fù)習(xí)的方向，幫助考生把握高考的熱點(diǎn)，啟發(fā)考生的思維，以期各位考生能在今年的高考中多拿分.

熱點(diǎn)1：函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)的四大性質(zhì)是高考對(duì)函數(shù)內(nèi)容考查的重中之重，其中單調(diào)性與奇偶性更是高考的必考內(nèi)容.在高考命題中，函數(shù)常與方程、不等式等其他知識(shí)結(jié)合進(jìn)行考查.

預(yù)測(cè)題1 定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）= f（x），且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=-x2+1，0≤x<1，2-2x，x≥1.若對(duì)任意的x∈[m，m+1]，不等式f（1-x）≤f（x+m）恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為

A.-1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? B.- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?C.- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D.

參考答案 C

熱點(diǎn)2：函數(shù)圖像的判斷

根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的圖像，要從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等方面入手，結(jié)合給出的函數(shù)圖像進(jìn)行全面分析，有時(shí)也可結(jié)合特殊的函數(shù)值進(jìn)行輔助推斷，這是判斷函數(shù)圖像問(wèn)題的基本方法.

判斷復(fù)雜函數(shù)的圖像，常借助導(dǎo)數(shù)這一工具，先對(duì)原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值，從而對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行篩選.要注意函數(shù)求導(dǎo)之后，導(dǎo)函數(shù)發(fā)生了變化，故導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)定義域會(huì)有所不同，我們必須在原函數(shù)的定義域內(nèi)研究函數(shù)的極值和最值.

預(yù)測(cè)題2 函數(shù)f（x）=ex+ae-x與g（x）=x2+ax在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像不可能是

參考答案 C

熱點(diǎn)3：函數(shù)的零點(diǎn)

類型一 函數(shù)零點(diǎn)（即方程的根）的確定

常見(jiàn)的有：函數(shù)零點(diǎn)大致存在區(qū)間的確定，零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定，兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或有幾個(gè)交點(diǎn)的確定.解決這類問(wèn)題的常用方法有：解方程法、利用零點(diǎn)存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是等號(hào)兩端對(duì)應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程，多以數(shù)形結(jié)合法求解.

預(yù)測(cè)題3 已知函數(shù)f（x）滿足：①定義域?yàn)镽;②？坌x∈R，都有f（x+2）= f（x）;③當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=-|x|+1，則方程f（x）= log2|x|在區(qū)間[-3，5]上解的個(gè)數(shù)是

A.5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? B.6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? C.7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? D.8

參考答案 A

類型二 由函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題

解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是利用函數(shù)與方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式進(jìn)行求解.

預(yù)測(cè)題4 設(shè)f1（x）=|x-1|，f2（x）=-x2+6x-5.函數(shù)g（x）是這樣定義的：當(dāng)f1（x）≥f2（x）時(shí)，g（x）= f1（x）;當(dāng)f1（x）< f2（x）時(shí)，g（x）= f2（x）.若方程g（x）=a有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.（-∞，4） ? ? ? ? B.（0，4） ? ? ? ? C.（0，3） ? ? ? ? D.（3，4）

參考答案 D

熱點(diǎn)4：不等式恒成立時(shí)逆求參數(shù)的取值范圍 （最值）

不等式恒成立問(wèn)題一直是高考命題的熱點(diǎn)，把函數(shù)問(wèn)題、導(dǎo)數(shù)問(wèn)題和不等式恒成立問(wèn)題交匯命制壓軸題成為一個(gè)新的熱點(diǎn)命題方向.

預(yù)測(cè)題5 已知函數(shù)f（x）= + ，當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，f（x）> + ，求k的取值范圍.

參考答案 （-∞，0].

由不等式恒成立求解參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，直接含參討論函數(shù)的性質(zhì)，有點(diǎn)煩瑣，卻是官方青睞的正統(tǒng)解法，考生要仔細(xì)體會(huì)和掌握.分離變量法也很有效，但部分題型利用分離變量法處理時(shí)，會(huì)出現(xiàn)“ ”型代數(shù)式，利用洛必達(dá)法則雖能較好地處理，但有超綱的嫌疑.在這種情況下使用導(dǎo)數(shù)的定義，既能避免煩瑣的分類討論，又能避免使用洛必達(dá)法則.

熱點(diǎn)5：虛設(shè)零點(diǎn)整體代換證明不等式恒成立

要證明f（x）>0恒成立，只要證明fmin（x）= f（x0）>0.一般情況下，x0是導(dǎo)函數(shù)f ′（x）的變號(hào)零點(diǎn).如果f ′（x）=0是超越形式，我們無(wú)法求出導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，這時(shí)我們一律對(duì)零點(diǎn)“設(shè)而不求”，通過(guò)形式化的合理代換或推理，謀求一種整體的轉(zhuǎn)換和過(guò)渡，將超越式化簡(jiǎn)為普通式.

預(yù)測(cè)題6 已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）.當(dāng)m≤2時(shí)，證明：f（x）>0.

提示 由已知推理得f（x）≥ex-ln（x+2）.令g（x）=ex-ln（x+2）.通過(guò)求導(dǎo)可得g′（x）在（-2，+∞）上單調(diào)遞增.又g′（-1）=e-1-1<0，g′（0）= >0，所以存在唯一的x0∈（-1，0），使得g′（x0）=0.通過(guò)函數(shù)單調(diào)性可得gmin（x）=g（x0）= -ln（x0+2）.通過(guò)推理得g（x0）>0，可得gmin（x）>0，即g（x）>0，所以f（x）>0.

熱點(diǎn)6：分離函數(shù)法證明函數(shù)型不等式

在用差值函數(shù)法直接證明F（x）= f（x）-g（x）>0無(wú)法完成的情況下，就要考慮用分離函數(shù)法了.先將f（x）>g（x）同解變形，整理成H（x）>G（x），整理的原則是不等式兩邊的函數(shù)H（x），G（x）容易用導(dǎo)數(shù)法研究它們的單調(diào)性，然后證明Hmin（x）≥Gmax（x），再說(shuō)明兩邊取最值的自變量不一致，即證得H（x）>G（x），從而F（x）>0.該方法主要適用于同時(shí)含有l(wèi)n x，ex的不等式.

預(yù)測(cè)題7 已知f（x）=exln x+ ，證明：f（x）>1.

提示 即證xln x+ > .令h（x）=xln x+ （x>0），求導(dǎo)可知h（x）≥h（ ）= .令g（x）= （x>0），求導(dǎo)可知g（x）≤g（1）= .于是有h（x）>g（x），從而f（x）>1.

熱點(diǎn)7：放縮法證明含參數(shù)的函數(shù)型不等式

給定參數(shù)的取值范圍，證明含參函數(shù)f（x）>0恒成立，一般先利用參數(shù)取值范圍的端點(diǎn)值對(duì)f（x）>0進(jìn)行放縮，變成新的不含參數(shù)的不等式.常用的放縮有：ex≥x+1，ln x≤x-1， ≤ln（1+x）≤x， < < .（在解答題中使用時(shí)一定要給出證明過(guò)程）

預(yù)測(cè)題6其他證法提示 經(jīng)分析只需證明ex-ln（x+2）>0，（另法1）即證ex >ln（x+2），或（另法2）即證 > ，或（另法3）即證 > e2.

熱點(diǎn)8：雙變量不等式問(wèn)題

類型一 整體換元構(gòu)建函數(shù)

一般地，在變形過(guò)程中若出現(xiàn)指數(shù)形式 - = [1- ]，可考慮對(duì)k（x1-x2）作整體換元;若出現(xiàn)對(duì)數(shù)形式ln x2-ln x1=ln ，可考慮對(duì) 作整體換元.

預(yù)測(cè)題8 已知函數(shù)g（x）= -k有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，證明：x1x2>e2.

類型二 利用結(jié)構(gòu)相似構(gòu)建函數(shù)

在關(guān)于x1，x2的雙變量問(wèn)題中，若無(wú)法將所要證明的不等式整體轉(zhuǎn)化為關(guān)于m（x1，x2）的表達(dá)式，可通過(guò)分離變量，凸顯出原不等式隱藏的規(guī)律，即左右兩邊式子的結(jié)構(gòu)特征相似，則考慮將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題進(jìn)行處理，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)消元的目的.

預(yù)測(cè)題9 已知f（x）=x-aln x（a<0）對(duì)（0， ）上的任意兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)x1，x2，恒有|f（x1）- f（x2）|< | - |，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案 - ≤a<0.（責(zé)任編校？筑馮琪）