包利華

數(shù)概念的教學(xué)在小學(xué)大致分為四個階段：20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識、100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識、萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識、大數(shù)的認(rèn)識。“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”是認(rèn)數(shù)的第三階段，與前兩個階段“20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”和“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”相比主要教學(xué)內(nèi)容相同，包括數(shù)數(shù)、數(shù)的組成、讀寫、比較大小等，都突出了對“計(jì)數(shù)單位”的認(rèn)識；所不同的是，“20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”側(cè)重認(rèn)識計(jì)數(shù)符號，“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”側(cè)重認(rèn)識位值，“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”側(cè)重深入理解“十進(jìn)制”和“位值制”。小學(xué)生對數(shù)概念的理解本質(zhì)上是數(shù)學(xué)意義的理解。劉加霞教授指出：數(shù)概念的數(shù)學(xué)意義主要是指“數(shù)”是由不同計(jì)數(shù)單位及其個數(shù)相乘再累加構(gòu)成的，其背后滲透的是十進(jìn)制和位值制。從百以內(nèi)到萬以內(nèi)，隨著數(shù)位的擴(kuò)展，計(jì)數(shù)單位的新增，數(shù)的結(jié)構(gòu)和構(gòu)成是一致的，每一個數(shù)位上的數(shù)都是若干個計(jì)數(shù)單位累加的結(jié)果。例如：4241是由4個千、2個百、4個十和1個一組成的，也可以寫成4000+200+40+1=4241。如何在數(shù)概念教學(xué)中幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)意義呢？筆者設(shè)計(jì)了《認(rèn)識整百整千數(shù)》這節(jié)課，通過不同計(jì)數(shù)單位的累加得到整百數(shù)、整千數(shù)，進(jìn)而溝通它們的內(nèi)在聯(lián)系，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)。

一、目標(biāo)定位深入本質(zhì)

1.從學(xué)生的角度看，學(xué)生更愿意思考什么問題？

我們常說，學(xué)生會的不用教，學(xué)生學(xué)了還是不會的也不用教。就這節(jié)課而言，什么是學(xué)生會的？課前，筆者讓學(xué)生介紹自己喜歡的數(shù)，從中看出，經(jīng)過“20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”和“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”兩個階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生對認(rèn)數(shù)、數(shù)數(shù)、數(shù)的意義、讀法和寫法沒有困難，還能用畫圖和文字的方式來表征。那么，學(xué)生更愿意思考什么問題？學(xué)生愿意思考的應(yīng)該是具有一定挑戰(zhàn)性的問題，也就是“跳一跳能夠摘到的桃子”。這節(jié)課的主要挑戰(zhàn)性問題有兩個：一是1000是怎么得出來的？二是如何溝通不同計(jì)數(shù)單位累加得到整百整千數(shù)？

2.從數(shù)學(xué)的本質(zhì)看，展開什么樣的過程更有意義？

1000是怎么來的呢？從本質(zhì)上看，1000的產(chǎn)生是基于三位數(shù)的認(rèn)識，三位數(shù)能表示的最大數(shù)是999，要表示比999更大的數(shù)怎么辦？只能擴(kuò)展數(shù)位。怎么表示？計(jì)數(shù)器上通過撥一撥擴(kuò)展到千位，千位上撥一個珠子，代表1個千，因此有了四位數(shù)。也就是說，1000應(yīng)該是999+1得到的。這個過程的展開，學(xué)生經(jīng)歷了1000的再創(chuàng)造過程，體會到數(shù)位擴(kuò)展的重要性，學(xué)會像數(shù)學(xué)家一樣思考問題。

據(jù)此，筆者把這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定位為兩個點(diǎn)：

（1）通過畫一畫、撥一撥、想一想等活動，把認(rèn)數(shù)與計(jì)算相結(jié)合，讓學(xué)生經(jīng)歷1000產(chǎn)生的過程，理解1000的來歷。

（2）通過溝通計(jì)數(shù)單位的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生掌握相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，能利用相同結(jié)構(gòu)順利認(rèn)識更大的數(shù)。

二、學(xué)習(xí)材料具有結(jié)構(gòu)性

教學(xué)片斷一：復(fù)習(xí)回顧整十?dāng)?shù)，認(rèn)識整百數(shù)。

出示：

師：這是一個正方形，把它平分成10個小長方形。如果1個小長方形代表1，這個大正方形我們記做？

生：10。

師：是的，10個一是10。乘法算式是？

生：10×1=10。

（出示4張這樣的正方形圖）

師：現(xiàn)在記做？你是怎么思考的？

生：我是數(shù)的：1個十、2個十、3個十、4個十，4個十是 40。

生：我列乘法算式：10×4=40。（板書：10×4=40）

師：同學(xué)們用數(shù)和計(jì)算的方法得到了40。

出示：

師：現(xiàn)在我們把這個正方形再次平分，如果1個小正方形代表1，現(xiàn)在記做？

生：100。10個十是100。

生：一行有10個，有10行，所以是 10×10=100。

（出示4張這樣的正方形圖）

師：可以怎么表示？

生：400。100×4=400，4 個百是 400。（板書：100×4=400）

師：如果再增加1張呢？

生：500。100×5=500，5 個百是500。

師：還有不一樣的表達(dá)嗎？

生：10×10×5=500。

生：250×2=500。

生：400+100=500。

師：你知道他是怎樣想的嗎？

生：（指著黑板上5張正方形圖）原來有4個百，又增加1個百，就是5個百。

（繼續(xù)增加4張同樣的正方形圖）

師：你能像上面一樣，用多種方法得出900嗎？

生：100×9=900，9 個百就是900。

生：500+400=900。表示原來的500加上現(xiàn)在的400，共900。

生：300×3=900。

生：450×2=900。

生：400×2+100=900。

師：這道算式這么復(fù)雜，誰看明白了？

生：（指著圖形說）這里是2個400，再加上100。

學(xué)習(xí)材料的設(shè)計(jì)要有結(jié)構(gòu)性，讓計(jì)算更具聯(lián)系性。在回顧整十?dāng)?shù)和認(rèn)識整百數(shù)時，我以正方形為學(xué)習(xí)材料，注重溝通本質(zhì)的聯(lián)系。100個、100個往上加得到整百數(shù)，在4張正方形圖的基礎(chǔ)上增加1張正方形圖，學(xué)生得到了400+100=500。這個過程喚起了學(xué)生對計(jì)數(shù)單位“一（個）”“十”“百”之間關(guān)系的回憶，然后主動將4個百加1個百等于500類比到4個十加1個十等于50或者是4個一加1個一等于5，學(xué)生在遷移、類比中找到了“4個計(jì)數(shù)單位加1個計(jì)數(shù)單位等于5個計(jì)數(shù)單位”這個本質(zhì)結(jié)構(gòu)。正是溝通了內(nèi)在的聯(lián)系，學(xué)生容易抓住數(shù)概念的本質(zhì)，也使得已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蜓杆龠w移到新知的理解當(dāng)中來，在教師呈現(xiàn)900這個數(shù)的時候，學(xué)生就有了多樣的表征方式。

三、過程展開充分到位

教學(xué)片斷二：認(rèn)識1000。

環(huán)節(jié)一：畫一畫。

師：900，好大一個數(shù)！如果再大一點(diǎn)你還會數(shù)嗎？

（在900的基礎(chǔ)上再10個、10個出示。學(xué)生10個、10個數(shù)到990；

在990的基礎(chǔ)上再1個、1個出示。學(xué)生1個、1個數(shù)到999）

師：我們剛才通過100個、100個，10個、10個，1個、1個地數(shù)得到了999，如果在999的基礎(chǔ)上再添上1是？

生：1000。

師：你們都知道是1000，那1000是怎么得出來的呢？

師：老師給你提供了這樣一幅計(jì)數(shù)器的圖，請你思考999+1怎么在計(jì)數(shù)器上表示呢？

出示：

（反饋交流：同時出示三種典型的表示方法）

師：仔細(xì)觀察，靜靜地思考。你看懂了哪幾種表示方法？誰能來解釋？

生：第一種只是在個位加1。

生：第二種是個位加1，個位滿十向十位進(jìn)一，劃掉，十位滿十向百位進(jìn)一，劃掉，百位滿十向千位進(jìn)一，劃掉。但是千位沒有畫出來。

生：第三種和第二種是一樣的，但多了千位。

師：比較三種不同的表示方法，你有什么想說的？

生：三種方法表示的過程是一樣的，但形式上不同，第三種增加了千位，更加清楚，我比較喜歡第三種表示方法。

師：是的，三個數(shù)位能表示的最大三位數(shù)是999，再添一個數(shù)不夠了，所以增加一個數(shù)位，叫做千位。

環(huán)節(jié)二：撥一撥。

師：剛才我們通過畫一畫表示了999+1。下面我們在計(jì)數(shù)器上撥一撥。同桌合作，邊撥邊思考：1.每次進(jìn)的1表示什么？2.每次進(jìn)1后得到哪些算式？

（反饋交流：學(xué)生演示）

生：999+1=1000。這個1表示1個一，算式是999+1。個位滿十向十位進(jìn)一，這個1表示1個十，算式是990+10。

師：不好意思打斷一下，他說990+10誰看懂了？

生：我們看到的是990，還有1個十在他手里，還沒放下去。

師：謝謝你的慢鏡頭，讓我們清楚地看到了990+10這個算式。繼續(xù)。

生：十位滿十向百位進(jìn)一，這個1表示1個百，算式是900+100。百位滿十向千位進(jìn)一，這個1表示1個千。

師：同學(xué)們真會思考，我們終于得到了1000。誰把它寫出來？

生：寫作：1000，讀作：一千。

環(huán)節(jié)三：說一說。

師：認(rèn)識了1000這個數(shù)，誰來介紹一下這個新的數(shù)？

生：1000是由 999+1得到的。

生 ：999+1=1000，990+10=1000，900+100=1000。

生：10個百是 1000。100×10=1000。

生 ：500 ×2=1000，200 ×5=1000，250×4=1000。

……

學(xué)生從999數(shù)到1000沒有困難，但為什么要有1000這個數(shù)，它是怎么得來的？這對學(xué)生來說是有挑戰(zhàn)性的問題。一方面，學(xué)生數(shù)概念擴(kuò)展的經(jīng)驗(yàn)不足；另一方面，學(xué)生習(xí)慣于思考“是什么”的問題，對于“為什么”的問題思維經(jīng)驗(yàn)比較弱。因此，認(rèn)識1000這個數(shù)，我設(shè)計(jì)了“畫一畫”“撥一撥”“說一說”三個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷1000的再創(chuàng)造過程。在此過程中，我給予學(xué)生足夠的思考空間，主要體現(xiàn)在集中反饋和問題設(shè)計(jì)上。學(xué)生畫完后，我把出現(xiàn)的三種典型作品集中呈現(xiàn)，并提出問題：“仔細(xì)觀察，靜靜地思考。你看懂了哪幾種表示方法？誰能來解釋？”學(xué)生的交流不拘一格，有的選擇一幅作品發(fā)表想法，有的選擇全部一一點(diǎn)評，還有的聚焦到兩幅作品進(jìn)行對比溝通。這樣的反饋方式，再加上合理的問題設(shè)計(jì)，能有效幫助學(xué)生拓開思考的維度。最后是給予學(xué)生思考的時間，課堂時間有限，但是學(xué)生獨(dú)立思考的時間必須要有，靜能生慧，沒有獨(dú)立思考，憑什么交流？數(shù)學(xué)特級教師俞正強(qiáng)老師說：“人類的活動都有其特定的節(jié)奏，思維活動更是如此，有時頓悟，有時冥想。節(jié)奏是時間占有的藝術(shù)。”一節(jié)課短短40分鐘，筆者在“認(rèn)識1000”這個環(huán)節(jié)花了20分鐘。這20分鐘里，學(xué)生在“畫”前思考、在“撥”時思考、在“說”前又思考，通過思考、交流、再思考、再交流，最后學(xué)生在介紹1000這個數(shù)時，表達(dá)十分豐富。正是因?yàn)榻o予了充分的信任和足夠的思考空間與時間，學(xué)生的理解才能深入，表達(dá)才能具體，最終用自己的經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)造性地解決了問題。

四、溝通計(jì)數(shù)單位內(nèi)在聯(lián)系

教學(xué)片斷三：認(rèn)識整千數(shù)。

師：認(rèn)識了1000，以千位單位繼續(xù)往下數(shù)，你會數(shù)嗎？

生：會數(shù)，1000、2000、3000、4000……

師：4000用乘法算式怎么表示呢？

生：1000×4=4000。（板書：1000×4=4000）

師：你有沒有發(fā)現(xiàn)這些算式非常像？一起讀一讀，你發(fā)現(xiàn)它們有什么特點(diǎn)和聯(lián)系嗎？

生 ：10 ×4=40，100 ×4=400，1000×4=4000。

生：我發(fā)現(xiàn)這些算式有規(guī)律。乘數(shù)依次增加1個零，積也依次增加1個零。

師：是的，還有不一樣的表達(dá)嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)這些算式都有一個乘數(shù)是4，這個4就是一個“加工廠”，1個十×4=40、1個百×4=400、1個千×4=4000。

師：“加工廠”這個詞真是形象！還有人說這些算式都與1×4=4有關(guān)，你覺得有道理嗎？

生：有道理，我也是這樣想的。

師：如果把這些算式看作一個家族，那么1×4=4你怎么理解？

生：是祖先！

生：是起源！

生：是基因!

師：再來個新成員，往下說！

生：10000×4=40000。

師：同學(xué)們真了不起！能把這些不同的算式溝通和聯(lián)系。溝通聯(lián)系是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常重要的方法，能溝通聯(lián)系也說明你已經(jīng)領(lǐng)悟了！

“溝通計(jì)數(shù)單位的內(nèi)在聯(lián)系，掌握相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”是這節(jié)課的另一個重要目標(biāo)。我們?yōu)槭裁匆J(rèn)識更大的計(jì)數(shù)單位？從本質(zhì)上講，任何一個數(shù)都可以通過1個、1個數(shù)出來，但是效率太低了，所以發(fā)明了更大的計(jì)數(shù)單位，10個、10個數(shù)，100個、100個數(shù)，1000個、1000個數(shù)，提高計(jì)數(shù)和計(jì)算的效率。因此，溝通不同計(jì)數(shù)單位的內(nèi)在聯(lián)系，能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)從“個”上升到“類”，從本質(zhì)上認(rèn)識它們具有相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。10×4=40、100×4=400、1000×4=4000，這些算式都可以理解成：“1×4=4”，也就是 1個計(jì)數(shù)單位×4=4個計(jì)數(shù)單位。掌握了這樣的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，就能以此類推，得到更多的整百整千數(shù)。

教學(xué)研究需要討論的兩個問題是“教什么”和“怎么教”。教什么？教師只有深入數(shù)學(xué)本質(zhì)，才能抓住核心問題，引導(dǎo)學(xué)生步步深入地探尋數(shù)學(xué)的本質(zhì)。怎么教？教師只有溝通知識的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生遷移、類比、概括和歸納，方能點(diǎn)燃學(xué)生思維的火花，讓課堂綻放更加絢麗的生命力。