周子理，張 懷，石耀霖

(1 中國科學(xué)院大學(xué)地球與行星科學(xué)學(xué)院 中國科學(xué)院計(jì)算地球動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100049；2 青島海洋科學(xué)與技術(shù)國家實(shí)驗(yàn)室， 山東 青島 266237)

自進(jìn)入21世紀(jì)以來，科技的發(fā)展使得人們能夠更好地認(rèn)知海洋與開發(fā)海洋資源。擁有廣闊領(lǐng)海的中國有著豐富的海洋資源，大陸海岸線長約18 000 km，海域面積達(dá)470萬km2，海洋生物資源、近岸的潮汐能、南海的海上石油資源等都能有效緩解中國在陸地能源短缺方面的問題[1]。同時(shí)中國海洋科學(xué)研究的逐漸興起對(duì)海事預(yù)警、港口減災(zāi)、海域作業(yè)安全等方面做出了很大貢獻(xiàn)，進(jìn)一步促進(jìn)了海洋資源的利用。其中如何有效利用近岸海域資源仍是人們關(guān)心的主要問題，這要求我們對(duì)近岸復(fù)雜的水動(dòng)力環(huán)境投入大量研究，而準(zhǔn)確模擬水波在近岸區(qū)域的非線性特性則是其中重要課題之一，并具有非常重要的學(xué)術(shù)價(jià)值和工程意義。

海嘯波傳播至淺水區(qū)域時(shí)，水波的非線性會(huì)發(fā)生明顯變化。海底坡度變陡、海底粗糙程度升高等因素使得波動(dòng)的非線性程度迅速升高，這時(shí)的波高情況與線性淺水方程的模擬結(jié)果可能會(huì)有較大出入。Satake[2]利用線性和非線性淺水波方程模擬1992年Nicaragua地震引發(fā)的海嘯，發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)會(huì)過高估計(jì)海嘯波高，尤其是在波幅變大的淺水區(qū)域；而非線性系統(tǒng)又會(huì)低估海嘯爬高的高度。在中國海域的海嘯預(yù)警中，已有研究證明海嘯波傳播至中國近岸海域(如海南島附近[3]、長江三角洲[4]、東部沿海[5]、渤海地區(qū)[6])時(shí)具有明顯的非線性特征。王培濤等[7]研究線性和非線性淺水波方程在南海和東海區(qū)的適用性。他們分別考慮了海嘯首波及后續(xù)波波幅，結(jié)果表明在水深小于100 m的南海近岸區(qū)域，首波差別不大，所以在不考慮海嘯爬高作用時(shí)，用線性系統(tǒng)就可以滿足海嘯預(yù)警需求；而在水深小于100 m的東海近岸區(qū)，因首波和后續(xù)波波幅差別都較大，所以必須考慮海嘯非線性作用。Liu等[8]同樣證實(shí)在南海區(qū)域可以使用線性系統(tǒng)研究海嘯波傳播，而東海區(qū)域的非線性效應(yīng)不可忽略。

而在研究近岸其他水波問題，如淺海風(fēng)暴潮、天文潮、波生流時(shí)，其水波表現(xiàn)就是由于源項(xiàng)的非線性，若將非線性效應(yīng)(如底摩擦項(xiàng)、淺水效應(yīng)項(xiàng)、對(duì)流項(xiàng))都略去，則對(duì)應(yīng)的特征波動(dòng)狀態(tài)消失[9]。這類波多是深水波，對(duì)其的非線性研究需要根據(jù)實(shí)際水波的非線性程度選取控制方程的非線性程度。

無論是利用理論分析還是數(shù)值計(jì)算研究近岸水波問題，都需要用偏微分方程描述相應(yīng)的物理過程，即進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。同時(shí)，物理觀測(cè)也常需要偏微分方程進(jìn)一步分析或驗(yàn)證結(jié)論[10]。本文在非線性特性分類的基礎(chǔ)上，對(duì)基礎(chǔ)水波動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行探討，分析各個(gè)方程的非線性程度及其適用的物理問題。

1 近岸非線性水波基礎(chǔ)理論及控制方程

現(xiàn)今利用偏微分方程模擬近岸波浪的動(dòng)力特性主要有兩種方法。第一種是通過用水深積分、水深平均或任意水深處的速度表示垂向速度，使得三維方程降為二維，大大簡便數(shù)值模擬計(jì)算，如利用二維完全非線性Boussinesq模型研究近岸波浪與水流相互作用[11]；第二種是利用非線性方程描述整個(gè)波浪場，利用不同的非線性項(xiàng)表示不同的非線性場景，如利用VOF方法研究孤立波與防波堤之間的交互作用[12]。

最簡單的水波非線性傳播過程可表示為

(1)

式中：κ是非線性系數(shù)，ζ為總水深。在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系X=x-C0t中，式(1)歸結(jié)為Hopf方程的標(biāo)準(zhǔn)型：

(2)

一般情況下，對(duì)于給定的初始條件

ζ=f(x)，

(3)

方程(1)的解可用含參數(shù)的函數(shù)表示為

(4)

或用隱函數(shù)的形式表示為

ζ=f[x-(C0+κζ)t].

(5)

當(dāng)水波傳播具備非線性效應(yīng)時(shí)，也就是κ不等于零時(shí)，上述解的疊加原理不再成立。

水波傳播時(shí)垂向上的參數(shù)(水深、波幅、波高等，如圖1所示)可作為水波非線性程度分類的依據(jù)，Zweifel等[13]基于初始波的波幅與波高之比刻畫水波偏離靜面的程度：

0.9

(6)

0.6

(7)

0.4

(8)

式中：a1表示初始沖擊波的波幅，H1表示初始沖擊波的波高(初始波的波峰與波谷之差)，不等式兩端的允許偏差均為±10%。在實(shí)際水波中，初始波波幅常為最大波幅，且遠(yuǎn)大于接下來的后續(xù)波幅[14]，所以a1/H1<0.4的情況未被觀測(cè)到。同時(shí)，a1/H1=1.0的情況也不會(huì)在自然界發(fā)生，因?yàn)樽匀唤缰胁粫?huì)產(chǎn)生純孤立波[15]。

c為波傳播速度，η為自由水面，H為波高，a為振幅，λ為波長，h為靜水水深，ζ為總水深。圖1 近岸水波波動(dòng)場示意圖Fig.1 Geometry of nearshore water wave field

另一種給水波非線性分類的方法[10]則是利用有限振幅波Stokes理論中的參數(shù)波陡

θ=H/λ，

(9)

式中：θ是水波的波陡，H是波高，λ是波長。波陡表征水波的斜率，在有限振幅波Stokes理論中，極限狀體下波峰處波面夾角等于2π/3，得出波陡具有極限值0.142，當(dāng)大于該值時(shí)，波面發(fā)生破碎。該分類方法認(rèn)為在推導(dǎo)近岸水波方程過程中，當(dāng)波陡只保留0階近似時(shí)，對(duì)應(yīng)的水波不具備非線性特性，而適應(yīng)線性理論；保留至波陡的1階小量時(shí)，則為弱非線性；若波陡保留至2階或2階以上小量時(shí)，則為強(qiáng)非線性理論。

波浪的非線性的特征為波峰變陡，波谷趨于平坦，這體現(xiàn)了不對(duì)稱性，而這種不對(duì)稱性直接影響波浪的軌道速度，使得軌道速度也有一定的不對(duì)稱性。前人基于這類不對(duì)稱性提出傾斜指數(shù)，以此作為水波的非線性指標(biāo)。常見的傾斜指數(shù)[16]可用軌道速度、軌道速度的加速度或周期來表示：

(10)

(11)

(12)

式中：umax、amax分別是正向最大速度及最大加速度；umin、amin分別是反向最大速度及最大加速度；T是水波運(yùn)動(dòng)的周期；Tfwd是前傾波在正向運(yùn)動(dòng)中波速上升階段零點(diǎn)和波峰之間的時(shí)間；Ru、Ra、RT分別為速度傾斜指數(shù)、加速度傾斜指數(shù)、周期傾斜指數(shù)。基于大量近岸波浪的實(shí)際觀測(cè)和分析，非線性指標(biāo)的范圍為0.51≤Ru≤0.66，0.46≤RT≤0.78，這表示在近岸水動(dòng)力環(huán)境中，非線性是普遍存在且顯著的[17]?；谝陨蟽A斜指數(shù)也可對(duì)近岸非線性程度進(jìn)行分類。

上述幾種分類適用于對(duì)物理實(shí)驗(yàn)觀測(cè)(如U型振蕩水槽)中的平面波進(jìn)行特性分析，而在近岸海域、港灣港口中分析水波，常用Stoker[18]提出的波幅與水深之比(相對(duì)水深)反映非線性效應(yīng)：

α=a/h，

(13)

式中：a是水波的波輻，h是水深，α是波的非線性效應(yīng)參數(shù)。而對(duì)于不同的近岸場景或水波現(xiàn)象，非線性水波對(duì)應(yīng)的尺度與參數(shù)是復(fù)雜多樣的，同時(shí)水波的頻散性具有減緩甚至抵消非線性效應(yīng)的作用，所以研究近岸水波非線性特性時(shí)常加入頻散效應(yīng)參數(shù)來輔助分析：

ε=h2/λ2，

(14)

式中：λ是水波的波長，ε指示波的頻散效應(yīng)參數(shù)。

考慮了頻散效應(yīng)的水波非線性傳播過程可用方程(1)加入三階導(dǎo)的頻散項(xiàng)來表示，即KdV方程

(15)

根據(jù)兩個(gè)參數(shù)可將現(xiàn)有的近岸非線性水波模型進(jìn)行分類，見圖2。

圖2 根據(jù)非線性效應(yīng)和頻散效應(yīng)的非線性水波模型分類Fig.2 Classification of nonlinear water wave models based on nonlinearity and dispersion

圖2中的弱頻散性(WD)表示對(duì)應(yīng)的理論或模型只在頻散效應(yīng)參數(shù)較小的情況下才能較好地近似真實(shí)水波；如果理論或模型在頻散效應(yīng)參數(shù)較大的條件下都能良好地近似真實(shí)水波的頻散性，則稱該理論或模型是強(qiáng)頻散性(SD)的。

2 近岸弱非線性模型及適用現(xiàn)象

弱非線性水波問題主要有洪水波模擬[19]、潮汐波爬坡問題[20]、海嘯波傳播與上岸[4, 21-29, 30]，沿岸流不穩(wěn)定演化問題[31-34]，常用的方程有淺水波方程、低階Boussinesq方程、經(jīng)典的Hamilton正則方程。

2.1 淺水波方程

多數(shù)近岸海域的重要特征就是海底坡度較小，這決定了近岸水波特征量的空間變化一般都是平緩過程。在淺水條件下，水波運(yùn)動(dòng)引起的流動(dòng)在垂直方向上的加速度可以忽略不計(jì)，假設(shè)波動(dòng)場中壓強(qiáng)在垂直方向上滿足靜水壓分布規(guī)律，由此可認(rèn)為水平流速在垂直方向上的分布是接近均勻的，利用這一條件可將三維問題降為二維問題，若不考慮頻散效應(yīng)，則可用淺水波方程或長波方程描述水波運(yùn)動(dòng)，用參數(shù)表示為α=Ο(1),ε=0，淺水波方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：

(16)

(17)

鑒于淺水波方程的非線性項(xiàng)階數(shù)低，非線性弱，且完全忽略水波的頻散特性，所以經(jīng)典淺水波方程屬于圖2中縱軸上的經(jīng)典非線性淺水波區(qū)shallow water wave (SWW)區(qū)。潮汐波、海嘯波、洪水波等近岸水波問題符合SWW區(qū)域的參數(shù)條件，因此常用淺水波方程分析和解決此類問題。

Monnier等[19]利用二維淺水波方程精確模擬洪水涌入干燥近岸陸地的場景，并利用真實(shí)的地理情況(萊茲河的洪水平原)模擬歷史上的真實(shí)洪水波上岸。該洪水波模型具有動(dòng)態(tài)干濕前緣，并且在淺水波方程中加入非線性低摩擦項(xiàng)，以此精確分析非平坦河床的摩擦作用對(duì)洪水波非線性作用的貢獻(xiàn)，結(jié)果表明弱非線性無頻散性的經(jīng)典淺水波方程適用于模擬近岸洪水波上岸?，F(xiàn)今大量的海嘯模型都是基于經(jīng)典非線性淺水波方程進(jìn)行海嘯預(yù)警及海嘯災(zāi)害評(píng)估，如美國NOAA/PMEL的Titov和美國南加州大學(xué)Synolakis開發(fā)的MOST模型[21]即是利用球坐標(biāo)下的二維非線性淺水波方程模擬海嘯傳播過程，日本Tohoku大學(xué)開發(fā)的TUNAMI模型[22]利用加入摩擦項(xiàng)的非線性淺水波方程構(gòu)建近岸海嘯預(yù)警系統(tǒng)，由Arcos和Leveque開發(fā)的CLAWPACK程序包[27]則是利用非線性淺水波方程的保守形式作為海嘯傳播和上岸的控制方程。上述3個(gè)模型被大量的科研人員應(yīng)用于海嘯模擬并利用驗(yàn)潮站實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)加以驗(yàn)證[4，24-26, 29]，已經(jīng)成為近岸海嘯波模擬的成熟模型。弱非線性的淺水波方程也被應(yīng)用于分析在小波幅波浪范圍內(nèi)的沿岸流非線性不穩(wěn)定演化問題[31-33]。近期的相關(guān)工作如沈良朵[34]在非線性淺水波方程中加入波浪驅(qū)動(dòng)力項(xiàng)、側(cè)向混合項(xiàng)(或稱渦旋項(xiàng))、底摩擦項(xiàng)，3項(xiàng)均為弱非線性，且其中的側(cè)向混合項(xiàng)可對(duì)應(yīng)求得渦量場，以此分析沿岸流的非線性特征。

如今，淺水波方程模擬近岸水波的進(jìn)展方向是將靜水壓條件改為非靜水壓條件，由此可以解決經(jīng)典淺水波無法模擬某些水波色散特性的問題(如不同頻率的水波以不同速度傳播的問題)，這在一定程度上彌補(bǔ)了經(jīng)典淺水理論中完全忽略頻散性的問題。如Le等[20]保留垂直方向上的動(dòng)量方程，并利用水底面與水表面的平均值求得垂直方向的潮汐波速度，模擬越南峴港灣的潮汐事件。Aricoò和Re[30]則更加細(xì)化非靜壓的非線性淺水波數(shù)值模型，將對(duì)流加速度非線性項(xiàng)加入到垂向上的動(dòng)量方程中，并利用該模型模擬在不規(guī)則地形上的海嘯波爬坡的過程。

2.2 經(jīng)典的Boussinesq方程

雖然淺水波方程能夠有效模擬近岸的一些弱非線性的水波現(xiàn)象，但仍然無法滿足頻散作用顯著的情況，只適用于水深極小的情況或頻率極低的水波。在實(shí)際近岸問題中，水波除受非線性作用，還要受到頻散性的影響。最先考慮頻散性的工作來自Boussinesq[35]，對(duì)應(yīng)的方程即為Boussinesq方程。

(18)

(19)

(20)

式中：u(x,y,t)和v(x,y,t)分別表示水平方向x、y上的水深平均水平速度；h為靜水水位；η為瞬時(shí)波面。

經(jīng)典Boussinesq方程屬于圖2中的weakly nonlinear and weakly dispersive(WNWD)區(qū)域，相對(duì)于二維非線性淺水波方程，只是在動(dòng)量方程中加入時(shí)間-空間的三階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)作為頻散項(xiàng)，其頻散性精確到Airy波精確解的Padé[0,2]階近似，屬于二階方程。與淺水波方程一樣，仍然僅適合于淺水區(qū)域(水深小于1/5波長)。Boussinesq方程最早應(yīng)用于求得二維孤立波的分析解，其考慮了水深變化，并將維度擴(kuò)展到二維，成為經(jīng)典的Boussinesq方程[36]。因?yàn)樵诮?jīng)典的Boussinesq方程中，頻散項(xiàng)是以水深平均速度的形式表示，這使得方程僅適用于波長大于5個(gè)水深的情況，為適應(yīng)更多水波問題，前人改進(jìn)了頻散項(xiàng)[37]或?qū)⒎匠讨械乃俣葓鲇萌我馑畋硎綶38]，使得對(duì)應(yīng)的Boussinesq方程僅要求波長大于2個(gè)水深，這樣大大擴(kuò)展了Boussinesq方程的應(yīng)用范圍，改進(jìn)之后的方程稱為擴(kuò)展型Boussinesq方程。

大部分Boussinesq方程在經(jīng)擴(kuò)展之后非線性增強(qiáng)，可適用于更為復(fù)雜的近岸水波波動(dòng)情況，不再屬于WNWD區(qū)域，而弱非線性弱頻散性的Boussinesq方程更多是替代無頻散性的非線性淺水波方程，以提高問題求解的精確度，反映更多的波浪運(yùn)動(dòng)的各種變形，如折射、繞射等。如Lynette和Liu[23]利用弱非線性Boussinesq方程模擬海底滑坡誘發(fā)的海嘯，并討論頻散性在近岸水波模擬中的重要性。

2.3 經(jīng)典的Hamilton正則方程

除Boussinesq方程之外，在辛空間的Hamilton體系下建立的Hamilton正則方程,同樣可以為淺水波方程補(bǔ)充頻散特性。與Euler空間下的Boussinesq方程不同的是，Hamilton描述沒有對(duì)多個(gè)Laplace方程中的參數(shù)進(jìn)行攝動(dòng)展開，僅僅對(duì)速度勢(shì)函數(shù)進(jìn)行一次小參數(shù)展開，這樣保持系統(tǒng)的對(duì)稱性與守恒性，并且正則的方程意味著在數(shù)值求解時(shí)能保持長時(shí)間穩(wěn)定。

利用Hamilton正則方程模擬近岸水波問題的開創(chuàng)性工作來自Zakharov[39]，他提出正則共軛變量對(duì)(ζ,φ)的一對(duì)Hamilton正則方程表達(dá)式

(21)

式中：δ表示泛函導(dǎo)數(shù)，E(x,φ,ζ)為流體的總能量(勢(shì)能與動(dòng)能之和)，φ(x,t)為自由表面速度勢(shì)。

與滿足Laplace方程的流體速度勢(shì)φ不同，Hamilton正則方程中考慮的速度勢(shì)為自由表面速度勢(shì)，這就說明Hamilton方程考慮的主體為自由面的水波特性，即不可作為內(nèi)部流場的控制方程，所以將Hamilton正則方程引用在近岸弱非線性問題中時(shí)，經(jīng)常用來分析表面波問題，如明渠波的自由表面波運(yùn)動(dòng)[40]。

以Zakharov的Hamilton正則方程的形式為基礎(chǔ)，前人從非線性強(qiáng)耦合水波方程導(dǎo)出約化Hamilton正則方程[41-42]，簡化了結(jié)構(gòu)，這種方法得到廣泛應(yīng)用[43-47]。由于該方法仍然基于波陡為小量的近似假設(shè)，所以仍然僅適合于弱非線性水波的情況。

3 近岸強(qiáng)非線性模型及適用現(xiàn)象

強(qiáng)非線性水波問題主要有湍流模擬[48-49]、波群演變[50-51]、波浪越浪[52-57]、波流相互作用[58-59]，常用構(gòu)建模型的方法是Hilbert-Huang transform (HHT)方法、volume of fluid (VOF)方法、低級(jí)別的green-Naghdi理論、擴(kuò)展后的Boussinesq方程。

3.1 Hilbert-Huang transform (HHT)方法

在研究近岸有關(guān)水波、水流和外界相互作用的情況(如研究風(fēng)力)時(shí)，風(fēng)力對(duì)近岸波流的影響，一般都為強(qiáng)非線性，且常常具有強(qiáng)頻散性、強(qiáng)瞬變性，而常用的傅里葉分析不能表達(dá)這些特性。為了能分析這類強(qiáng)非線性的近岸水波場景，可利用Huang等[60]發(fā)明的HHT方法進(jìn)行水波觀測(cè)數(shù)據(jù)的分析。

HHT方法屬于圖2的strongly nonlinear and strongly dispersive (SNSD)區(qū)域。其基本思想是將任何時(shí)間數(shù)據(jù)整理成固有模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode function)，然后利用這些模態(tài)函數(shù)求其Hilbert變換，模態(tài)函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的Hilbert變換可以給出這個(gè)模態(tài)的波幅和波頻。這樣就得到隨著時(shí)間變化的非線性波的內(nèi)在性質(zhì)，可綜合分析其中體現(xiàn)的非線性、波散性和頻散性。黃大吉等[61]進(jìn)一步發(fā)展基于HHT方法的信號(hào)鏡像閉合延拓和包絡(luò)極值延拓兩種方法，避免了Hilbert變換時(shí)出現(xiàn)的端點(diǎn)問題。

在實(shí)際應(yīng)用方面，Huang等[48]利用他們自己的模型率先將HHT方法應(yīng)用到強(qiáng)非線性、非穩(wěn)態(tài)的Stokes波中，并探討該方法在湍流問題中的應(yīng)用。此外還可用HHT方法研究近岸波群的跨岸演變[50-51]，分析熱帶海岸的高頻、強(qiáng)非線性的水流波數(shù)據(jù)與溫度數(shù)據(jù)之間的相互關(guān)系[62]，研究湍流能量變化過程[49]，模擬近岸地區(qū)空氣中的大渦與海洋中強(qiáng)非線性波相互作用過程[63]等。

3.2 Volume of fluid (VOF)方法

在處理近岸的兩相流體問題時(shí)，對(duì)氣液分界的自由表面做運(yùn)動(dòng)學(xué)追蹤，一般采用VOF方法[64]。其思想與處理上岸問題中的干濕邊界時(shí)相似，VOF引入比值標(biāo)量函數(shù)Fc確定流場的自由面，F(xiàn)c為網(wǎng)格內(nèi)部的水流體積與網(wǎng)格體積之比，水體區(qū)域的Fc一般設(shè)置為1，氣體區(qū)域的Fc設(shè)置為0，在自由面上Fc介于0到1之間。一般設(shè)近岸水體是不可壓縮，則VOF函數(shù)滿足方程

(22)

式中v是速度矢量。

以上則是自由表面追蹤的VOF方程，利用該方程結(jié)合雷諾時(shí)均的Navier-Stokes方程即可對(duì)自由面進(jìn)行追蹤。追蹤的內(nèi)容包括下一時(shí)刻的VOF函數(shù)值，以及由VOF函數(shù)的分布得到的對(duì)自由面形狀和位置的重構(gòu)。重構(gòu)方法多種多樣，如幾何重構(gòu)法、施主-受主重構(gòu)法等。

利用VOF方法建立波浪模型時(shí)，直接求解N-S方程，所以可以處理自由表面上的強(qiáng)非線性現(xiàn)象，如波浪翻滾、強(qiáng)烈破碎等。Shen等[65]基于VOF方法模擬強(qiáng)非線性波浪淹沒沙壩的情況，還有研究利用VOF方法模擬近岸海堤上的爬坡、越浪問題[52-54, 56-57]。

3.3 低級(jí)別的Green-Naghdi理論

Green-Naghdi理論是由于Demirbilek和Webster[66]推導(dǎo)的層析波浪理論控制方程，其假定流體不可壓縮，并忽略其黏性。推導(dǎo)時(shí)，與淺水類方程不同，它不使用攝動(dòng)展開，也不像Hamilton正則方程那樣引入小參數(shù)，只是利用流層速度假設(shè)。以三維情況為例，流體層速度假設(shè)為

(23)

式中：un,vn和wn是未知速度系數(shù)；K為整數(shù)，表示在Green-Naghdi理論的級(jí)別；λn(z)為形狀函數(shù)，在近岸區(qū)域(屬于淺水至有限水深領(lǐng)域)，形狀函數(shù)可取為

λn(z)=zn，n=1,2,…,K.

(24)

具體的Green-Naghdi理論方程可參考文獻(xiàn)[66]。

在實(shí)際應(yīng)用方面，Kim等[67]利用無旋的G-N模型分析在傾斜沙灘上的波列的淺水作用。Bonneton等[68]總結(jié)G-N應(yīng)用于非線性水波變形、破碎、上岸過程的研究。Chazel等[69]利用G-N理論制造一個(gè)強(qiáng)非線性強(qiáng)頻散性波(SNSD wave)的傳播，使該波傳播過一個(gè)水底堤壩，最后分析所用數(shù)值方法的有效性以及系統(tǒng)的頻散特性。趙彬彬等[59]利用第1至第3級(jí)別的Green-Naghdi理論研究周期性強(qiáng)非線性水波與剪切流的相互作用。段文洋等[70]分別對(duì)比第1至第7級(jí)別的Green-Naghdi理論與Boussinesq模型，用這兩類模型模擬三維非線性波在圓形淺灘上的變形。

3.4 擴(kuò)展后的Boussinesq方程

在20世紀(jì)90年代以后，很多學(xué)者通過改進(jìn)經(jīng)典的Boussinesq方程，使得Boussinesq類模型能夠擴(kuò)大水深適用范圍、模擬強(qiáng)非線性水波運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，使其能夠應(yīng)用與近岸更多的水波問題。

Wei等[71]最早改進(jìn)經(jīng)典的Boussinesq方程中的非線性性能，沿用Nwogu[38]的推導(dǎo)方法，但摒棄弱非線性的淺水假設(shè)，保留與色散項(xiàng)同階的非線性項(xiàng)的所有階項(xiàng)，由此產(chǎn)生完全非線性Boussinesq方程。盡管這樣在一定程度上提高了方程非線性性能，但在深水情況下，方程的非線性精度卻不如線性特征，這時(shí)需要另一種形式推導(dǎo)Boussinesq方程。Agnon等[72]基于Laplace方程，通過Padé近似和算子運(yùn)算技術(shù)，得到靜水面水平速度與垂直速度之間的關(guān)系，以自由面速度和自由面為特征變量，以此設(shè)置自由面的邊界條件，最終通過速度勢(shì)級(jí)數(shù)展開建立自由面速度變量和靜水面速度變量之間的關(guān)系，得到Boussinesq類方程的新形式，后人稱之為Agnon型Boussinesq方程。之后多人對(duì)Agnon型Boussinesq方程進(jìn)行改進(jìn)及應(yīng)用工作[73-78]，其中較為典型的工作來自Wang等[79]，他們基于Agnon型Boussinesq的思路，將任意層速度替換原本的靜水面水平速度，以任意層速度和垂向速度為特征速度，推導(dǎo)含背景水流影響的具有強(qiáng)非線性和強(qiáng)頻散性的Agnon型Boussinesq方程。在無流的情況下，該方程的一維形式可表達(dá)為

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在處理近岸波流相互作用問題時(shí)，弱非線性、弱色散性(WNWD)的Boussinesq方程可以適應(yīng)于弱水流(流速的量級(jí)低于波浪的相速度的量級(jí))的情況[80]，但是近岸水域的水流流速一般比波浪的速度大，而比波浪的相速度小，但如果研究如港灣退潮、河口涌浪等問題時(shí)，通常水流流速比波浪的相速度要大，這樣會(huì)造成波流之間的非線性作用增強(qiáng)，且逆流到達(dá)一定程度(如水流速度大于等于波浪能量傳播速度)時(shí)波浪傳播會(huì)受到阻礙，而被阻礙的波浪通常非線性和色散性都非常強(qiáng)。這樣一來弱非線性弱色散性的Boussinesq方程就不適用了。Chen等[81]沿襲Yoon和Liu[80]的水流、波浪假設(shè)，推導(dǎo)適合強(qiáng)水流的強(qiáng)非線性、強(qiáng)頻散性(SNSD)的Boussinesq方程。

4 近岸完全非線性模型及適用現(xiàn)象

在處理近岸水波在海洋結(jié)構(gòu)物(或障礙物)周圍的實(shí)際工程問題(如非線性水波繞射問題[82-84]、輻射問題[84-85]、滑坡涌浪模擬[86]、水抨擊問題[83, 87-89]、邊帶不穩(wěn)定性[90]、馬蹄波傳播[91]等)時(shí)，常常需要利用到完全非線性模型。Longuet-Higgins等[92-93]最早提出完全非線性理論，他們應(yīng)用邊界元方法求解歐拉坐標(biāo)下的流體方程，而采用拉格朗日坐標(biāo)跟蹤水質(zhì)點(diǎn)，這也是后人所稱的“混合歐拉-拉格朗日”(MEL)方法。完全非線性的數(shù)學(xué)物理含義為保留非線性指數(shù)的全部階次，并為忽略任何非線性因素，淺水波方程和Boussinesq方程等時(shí)域模型都可以發(fā)展為完全非線性形式，高級(jí)別的Green-Naghdi理論也為完全非線性。完全非線性理論要求自由表面邊界條件和物面邊界條件分別在瞬時(shí)自由表面和瞬時(shí)物面上滿足，在數(shù)值計(jì)算中要求保存每一時(shí)刻的自由水面和物面的位置，每一時(shí)刻都重新剖分網(wǎng)格并建立和求解代數(shù)方程。

前文提到Wei等[71]延續(xù)經(jīng)典Boussinesq方程的推導(dǎo)，未做其他假設(shè)，并保留所有非線性階次，最早推導(dǎo)了完全非線性Boussinesq方程。Gobbi和Kirby[94]在Wei等的理論基礎(chǔ)上，進(jìn)一步用兩個(gè)水層的加權(quán)平均勢(shì)函數(shù)和波面推導(dǎo)出改進(jìn)的完全非線性Boussinesq方程。Madsen和Sch?ffer[95-96]采用Agnon型的Boussinesq方程，并將其改進(jìn)為緩坡修正的完全非線性Boussinesq水波模型，并且研究近岸環(huán)流系統(tǒng)、邊帶不穩(wěn)定性問題[90]、馬蹄波(crescent waves)的傳播[91]。趙曦等[97]將該模型應(yīng)用于海嘯生成與近岸傳播。鄒志利[98]基于勢(shì)波理論，針對(duì)海底坡度較大的復(fù)雜地形，建立適用于近岸淺水區(qū)域的完全非線性Boussinesq方程。同年，Grilli[99]也從勢(shì)流模型出發(fā)，通過求解完全非線性、完全頻散性的勢(shì)流方程，研究海底塌陷引發(fā)的海嘯模型。鄒志利[100]又從另一個(gè)角度出發(fā)，采用攝動(dòng)法，建立可用于波流相互情況下的完全非線性Boussinesq方程。馬小舟[101]從歐拉方程出發(fā)，建立適用于低頻波浪的完全非線性Boussinesq方程。房克照[102]基于Madsen和Sch?ffer[96]的工作，利用完全非線性Boussinesq方程模擬淺水波和深水波在橢圓形、圓形淺灘上的波浪傳播。

常用的近岸完全非線性模型是非線性、頻散性都高達(dá)4階的Boussiensq方程(BouN4D4)[11]。因?yàn)锽oussinesq方程不能模擬波浪破碎，所以研究近岸完全非線性情況下的破碎間斷問題時(shí)，常用完全非線性淺水波方程[89,103]。

5 總結(jié)

在國內(nèi)外大量文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)近岸區(qū)域波浪非線性傳播的模型進(jìn)行綜述，從中可以了解到近岸的非線性水波問題相當(dāng)豐富，非線性模型也多種多樣，可以得到以下結(jié)論：

1)在弱非線性水波問題中：在不考慮頻散作用時(shí)，為了更高的求解效率，非線性淺水波方程最為合適，并且在進(jìn)行數(shù)值方法改進(jìn)(如進(jìn)階為更高階的求解格式)、假設(shè)條件改進(jìn)(如改為非靜水壓)時(shí)，淺水波方程更為直觀簡易；在考慮弱頻散作用時(shí)，因?yàn)镠amilton正則方程自身的局限性，不可模擬內(nèi)部流場，所以在研究如考慮頻散效應(yīng)的海嘯波近岸傳播問題時(shí)，應(yīng)選用Boussinesq方程，研究近岸表面波問題時(shí)，則選用Hamilton正則方程可以有更好的數(shù)值穩(wěn)定性。

2)在強(qiáng)非線性問題中：若問題具有多因素的復(fù)雜性，如需要考慮溫度、壓力等多種條件，則可以選取HHT方法，因?yàn)樵摲椒ㄖ械牟l和波幅綜合體現(xiàn)非線性波的內(nèi)在性質(zhì)；若需要研究干濕迅速交替變化的問題時(shí)，最適合選用自由表面追蹤的VOF方法；如果問題中水體分層且需要考慮頻散作用，則可選用低級(jí)別的Green-Naghdi理論；適用性最廣的方程是擴(kuò)展后的Boussinesq方程，它可以用來研究大部分近岸強(qiáng)非線性強(qiáng)頻散性的水波問題。

3)在完全非線性問題中：單一研究完全非線性時(shí)，完全非線性淺水波方程可以滿足需求；在需要考慮頻散性時(shí)，則常用完全非線性Boussinesq方程隨著人們對(duì)近岸研究的深入，近岸水波模型向越來越強(qiáng)的非線性發(fā)展，由此可以研究更多自然界中可以觀測(cè)到的強(qiáng)非線性水波問題，也能因此研究水波內(nèi)在的特性。因?yàn)橛?jì)算機(jī)性能的提高和數(shù)值計(jì)算的發(fā)展，各種數(shù)值求解技術(shù)得以更新和進(jìn)步，近幾年水波模型漸漸擺脫二維假設(shè)的限制而逐漸向三維發(fā)展，使得模擬更加貼近實(shí)際情況。另一個(gè)熱門發(fā)展方向是向非靜壓條件發(fā)展，更多的學(xué)者建立非靜壓的非線性水波模型來研究近岸水波問題，這使得波浪的非線性作用有了新的內(nèi)容。

在近岸非線性的數(shù)值模擬研究，控制方程不僅考慮波浪自身的非線性特性，也內(nèi)含波流相互作用的非線性效應(yīng)，同時(shí)不同的非線性項(xiàng)有助于對(duì)近岸水波問題理解，這有助于人們能夠更好地利用近岸海洋資源，防治近岸海浪、海嘯、風(fēng)暴潮災(zāi)害。