陳東艷，苗 兵

(中國(guó)科學(xué)院大學(xué)材料科學(xué)與光電技術(shù)學(xué)院， 北京 100049)

卡西米爾效應(yīng)是1948年由著名荷蘭物理學(xué)家Casimir[1]發(fā)現(xiàn)的。Casimir通過(guò)計(jì)算預(yù)測(cè)置于真空中的兩塊無(wú)窮大平行導(dǎo)體板，由于對(duì)真空量子漲落的邊界約束，從而板間會(huì)誘導(dǎo)產(chǎn)生一個(gè)長(zhǎng)程吸引力，即卡西米爾力，該現(xiàn)象稱(chēng)為卡西米爾效應(yīng)，是真空零點(diǎn)能的一種物理體現(xiàn)。

由于卡西米爾力是一個(gè)微弱的力，所以在實(shí)驗(yàn)上進(jìn)行驗(yàn)證比較困難。對(duì)卡西米爾效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，最早來(lái)自于Sparnaay[2]在1958年進(jìn)行的一個(gè)實(shí)驗(yàn)，Sparnaay利用彈簧巧妙地構(gòu)造了一個(gè)電容器，力的變化體現(xiàn)為容易測(cè)量的電容量的變化，從而定性地從實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證了卡西米爾力的存在。隨著實(shí)驗(yàn)技術(shù)的進(jìn)步，人們?cè)絹?lái)越追求實(shí)驗(yàn)的精度，美國(guó)華盛頓大學(xué)的Lamoreaux[3]在1997年率先以足夠的精度從實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證了卡西米爾力，實(shí)現(xiàn)了卡西米爾力的定量測(cè)量。Lamoreaux測(cè)量的是一個(gè)鍍金圓球透鏡與一塊金屬板之間的卡西米爾力，金屬板與一個(gè)精準(zhǔn)的扭秤相連，測(cè)量精度在5%～10%。1998年，Mohideen和Roy[4]使用激光技術(shù)更精確地測(cè)量了鍍鋁平板和小球之間的卡西米爾力，精度達(dá)到1%。

對(duì)經(jīng)典卡西米爾效應(yīng)的研究持續(xù)了半個(gè)多世紀(jì)，研究越來(lái)越細(xì)致和深入，有大量的研究成果。在理論研究方面，人們主要集中在研究不同的幾何構(gòu)型和邊界條件下的卡西米爾力，詳見(jiàn)綜述性文獻(xiàn)[5-9]。

20世紀(jì)70年代，人們發(fā)現(xiàn)只要在存在長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)的漲落場(chǎng)中引入邊界約束，邊界間就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)由漲落所誘導(dǎo)的力，這種力被稱(chēng)為廣義的卡西米爾力。由真空漲落所引起的卡西米爾力只是其中的一種，另外如統(tǒng)計(jì)力學(xué)臨界點(diǎn)處的密度場(chǎng)等，這些具有長(zhǎng)程漲落特性的場(chǎng)都可以滿(mǎn)足產(chǎn)生卡西米爾力的條件。1978年，F(xiàn)isher和De Gennes[10]首次將經(jīng)典的卡西米爾效應(yīng)推廣到熱卡西米爾效應(yīng)或者臨界卡西米爾效應(yīng)，漲落背景場(chǎng)由量子漲落替換為臨界點(diǎn)處的長(zhǎng)程密度漲落，開(kāi)辟了臨界卡西米爾效應(yīng)研究的新領(lǐng)域。

近年來(lái)，在對(duì)臨界卡西米爾效應(yīng)的研究中，一個(gè)研究重點(diǎn)是在統(tǒng)計(jì)力學(xué)伊辛普適類(lèi)中平行板幾何約束下的卡西米爾力，包括平衡態(tài)的臨界卡西米爾力和非平衡態(tài)的卡西米爾力[11]。

本文研究伊辛普適類(lèi)在平行板受限下的臨界卡西米爾力，不同于常用的場(chǎng)論方法[12-13]，我們基于歐拉-麥克勞林求和法(Euler-Maclaurin summation)，發(fā)展了一套計(jì)算兩塊平行板之間臨界卡西米爾力的有效方法，這種方法得到的結(jié)果與用場(chǎng)論方法得到的結(jié)果基本一致，并且簡(jiǎn)單易操作。計(jì)算結(jié)果表明，在平行板幾何約束下，伊辛普適類(lèi)的臨界卡西米爾力表現(xiàn)為一種長(zhǎng)程吸引力，與邊界間距的標(biāo)度指數(shù)為-3，該標(biāo)度指數(shù)與標(biāo)度分析的結(jié)果一致。

1 模型描述

如圖1所示，考慮在伊辛普適類(lèi)中，板間距離為a的平行板受限體系中的臨界卡西米爾效應(yīng)。方便起見(jiàn)，取熱能kBT=1。在邊界上，采用Dirichlet邊界條件，即要求邊界上密度場(chǎng)為零。該邊界條件使得垂直于平板方向的漲落模式離散化：(qz=nπ/a)，其中n=1,2,…。漲落波矢大小為q2=|q∥|2+qz2，其中q∥表示平行于平板方向的二維波矢。注意在本文中所有的長(zhǎng)度都已由體系的微觀相互作用力程約化為無(wú)量綱量。

圖1 板間距離為a的平行板受限體系Fig.1 Confinement set-up of parallel plates with the distance a

由統(tǒng)計(jì)力學(xué)可知，伊辛普適類(lèi)在臨界點(diǎn)上的高斯?jié)q落自由能寫(xiě)成如下形式

(1)

(2)

這里定義x=1/Λ，并且

(3)

其中，在對(duì)平行波矢的積分結(jié)果中，舍去了與無(wú)窮大有關(guān)的項(xiàng)，因?yàn)樽詈笥?jì)算卡西米爾力的漲落自由能只需要保留有限大小的項(xiàng)。

2 歐拉-麥克勞林求和法

為了計(jì)算上式中的無(wú)窮級(jí)數(shù)求和，采用歐拉-麥克勞林求和法。歐拉-麥克勞林求和公式是一個(gè)將積分與求和聯(lián)系起來(lái)的式子，被數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家廣泛應(yīng)用，其具體表達(dá)式(只取到3階導(dǎo)數(shù))如下

(4)

式中：f(t)表示一個(gè)可微函數(shù)，a和b是積分限常數(shù)，h是離散步長(zhǎng)。

定義函數(shù)f(t)=t-2(x-1),取離散步長(zhǎng)h=1，根據(jù)歐拉-麥克勞林公式有

(5)

其中，

(6)

這里，將所有與無(wú)窮大有關(guān)的項(xiàng)歸并，用∞表示。簡(jiǎn)單的運(yùn)算可得

(7)

同樣，所有與無(wú)窮大有關(guān)的項(xiàng)已經(jīng)用∞表示。進(jìn)一步，得到

(8)

這里，類(lèi)似于量子場(chǎng)論中由無(wú)窮的真空零點(diǎn)能計(jì)算卡西米爾力的方法，已經(jīng)舍去無(wú)窮大，只取了有限部分。

我們注意到黎曼函數(shù)的級(jí)數(shù)定義為

(9)

因此易知，需要求算的無(wú)窮級(jí)數(shù)可用黎曼函數(shù)表示如下

(10)

由黎曼函數(shù)的性質(zhì)有

(11)

顯然，這一結(jié)果與我們用歐拉-麥克勞林求和法得到的結(jié)果(8)一致。

由式(7)，進(jìn)一步可得

(12)

同樣，只保留有限部分。由此可得

(13)

綜合以上結(jié)果，得到漲落自由能如下

(14)

該結(jié)果與場(chǎng)論結(jié)果[13]基本一致。

進(jìn)一步，臨界卡西米爾力由漲落自由能對(duì)邊界距離的導(dǎo)數(shù)得到，即

≈-0.048a-3.

(15)

由該結(jié)果可知，對(duì)于伊辛普適類(lèi)，平行板受限下的臨界卡西米爾力表現(xiàn)為一個(gè)長(zhǎng)程吸引力，并且與板間距離的標(biāo)度指數(shù)為-3。

3 標(biāo)度分析

本小節(jié)對(duì)臨界卡西米爾力的標(biāo)度指數(shù)做簡(jiǎn)單的標(biāo)度分析。

這里定義的臨界卡西米爾力表現(xiàn)為兩平行板之間的分離壓(disjoining pressure)，因此有[f]=E/L3,這里E和L分別代表能量和長(zhǎng)度。注意，能量已由熱能約化。在伊辛普適類(lèi)中，臨界點(diǎn)上漲落的關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度發(fā)散，因此不允許存在一個(gè)有限大小的關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度進(jìn)入臨界卡西米爾力的表達(dá)式。體系中只有兩平行板之間的距離是可以進(jìn)入最后結(jié)果的特征長(zhǎng)度，因此，立即得到f∝a-3,這正是本文得到的標(biāo)度指數(shù)。需要指出的是雖然標(biāo)度指數(shù)可以通過(guò)標(biāo)度分析得到，然而臨界卡西米爾力在特定幾何約束和邊界條件下表現(xiàn)為吸引或排斥，只能通過(guò)具體計(jì)算得到。

4 結(jié)論

本文應(yīng)用歐拉-麥克勞林求和公式對(duì)卡西米爾效應(yīng)進(jìn)行研究，對(duì)平行板受限下伊辛普適類(lèi)的臨界卡西米爾力進(jìn)行解析推導(dǎo)，基于歐拉-麥克勞林求和公式與黎曼函數(shù)的相關(guān)知識(shí)發(fā)展出一套計(jì)算臨界卡西米爾力的有效方法。此方法對(duì)研究其他體系中的卡西米爾效應(yīng)具有重要的借鑒意義。在未來(lái)的工作中，我們將嘗試將該方法用于其他受限幾何，以及其他統(tǒng)計(jì)力學(xué)普適類(lèi)中臨界卡西米爾力的計(jì)算。