謝雨婧， 袁 曉

(四川大學(xué)電子信息學(xué)院， 成都 610064)

1 引 言

近年來，分數(shù)微積分的概念在數(shù)學(xué)之外，特別是物理、化學(xué)、生物、工程等領(lǐng)域的應(yīng)用激起了人們相當(dāng)大的關(guān)注，并發(fā)現(xiàn)使用分數(shù)微積分比整數(shù)微積分更能精確描述或建模實際的問題[1]. 分抗元(Fractor，有時人們簡稱分抗)是一種能實現(xiàn)分數(shù)階積分或微分運算的新電路元件，并使用符號F表示，理想μ階分抗元的阻抗(或?qū)Ъ{)為

I(μ)(s)=F(μ)sμ, 0<|μ|<1

(1)

式中，s=σ+jΩ是復(fù)頻率變量(也稱為運算變量)；μ是運算階；sμ稱為μ階微積分算子，簡稱分數(shù)算子. 常量F(μ)是分抗元的電路集總特征值，簡稱分抗值(Frac-tance). 分抗元越來越廣泛地應(yīng)用到電路設(shè)計中[2,3]，且已形成分數(shù)階電路與系統(tǒng)的研究方向. 由于理想的分抗元件不存在，人們通過對各種分數(shù)階現(xiàn)象與過程的觀察，構(gòu)建了許多在一定頻率范圍內(nèi)實現(xiàn)半階分抗的無源分抗逼近電路.該電路利用可實現(xiàn)的無源整數(shù)階元件(電阻，電容，電感)構(gòu)造二端網(wǎng)絡(luò)，特別是(RC網(wǎng)絡(luò))來逼近理想分抗元[4,5]，此類無源網(wǎng)絡(luò)稱為分抗逼近電路.通過對分數(shù)微積算子、分抗與分抗逼近電路及其運算特征分析[6,7]，可將電路的分數(shù)微積分運算性能，通過標(biāo)度拓展或非正則標(biāo)度方程拓展至任意階分數(shù)算子的有理逼近[8,9].

許多物理現(xiàn)象，包括某些類型的電噪聲、介質(zhì)中極化阻抗的弛豫行為和音樂的譜密度，表現(xiàn)出與頻率有關(guān)的分數(shù)次冪函數(shù)，或等效的對數(shù)-對數(shù)波德圖上的分數(shù)斜率，這類過程可稱為1/f型過程或分形系統(tǒng)[10]，表示為

(2)

在大多數(shù)情況下，系統(tǒng)通常在低頻段(0←Ω<Ωτ)處表現(xiàn)出有限的幅值. 因此，一些研究者通過Pade近似表示單分數(shù)冪極點(Single-Fractional Power Pole)函數(shù)，描述分形系統(tǒng)的頻率現(xiàn)象[11]. 文獻[12]描述了由無源R和C恒相元件組成的梯形網(wǎng)絡(luò)模型來表示(2)的函數(shù). 由此，Charef等提出描述分形系統(tǒng)的一種由若干零極對級聯(lián)分支組成的奇異函數(shù)方法[13](又稱Charef有理逼近)，Charef有理逼近使用適當(dāng)?shù)挠欣韨鬟f函數(shù)來描述分數(shù)階系統(tǒng). 文獻[14]給出了分數(shù)PID控制器的有理函數(shù)和模擬電路實現(xiàn)，通過例子說明了該方法的有效性. 分數(shù)算子的Charef有理逼近是一種使用比較廣泛的有理逼近方法，在分數(shù)階混沌系統(tǒng)和分數(shù)階控制系統(tǒng)等[15,16]方面應(yīng)用較多. Zourmba等[17]利用Charef逼近方法近似傳遞函數(shù)用于實現(xiàn)小數(shù)積分電路單元，該模型比現(xiàn)有模型需要的組件更少，并且供了更高的精度.

本文根據(jù)單分數(shù)冪極點與單分數(shù)冪零點(Single-Fractional Power Zero)模型的奇異傳輸函數(shù)，利用Charef有理逼近法的零極點組合逼近，引入兩個非正則的標(biāo)度方程——新穎標(biāo)度方程來表征Charef有理逼近的極限情形. 探究新穎標(biāo)度方程迭代獲得的有理函數(shù)序列的運算有效性、運算性能和零極點分布，最后得到與典型標(biāo)度方程不同的新穎特性.

2 Charef有理逼近與新穎標(biāo)度方程

2.1 單分形的奇異結(jié)構(gòu)

μ階單分數(shù)冪極點與零點系統(tǒng)的傳輸函數(shù)在復(fù)頻域分別表示為[11]

(3a)

HZ(s)=(1+s/pτ)μ, 0<μ<1

(3b)

令w=τs(稱為歸一化運算變量)，其中τ=1/pτ為松弛時間常數(shù). 對單分數(shù)冪極點傳輸函數(shù)(3a)式與冪零點(3b)傳輸函數(shù)歸一化后分別得

(4a)

yz(w)=(1+w)μ

(4b)

ΛP(?)=lg|HP(j·10?)|=-μlg|1+j·10?|

(5a)

ΛZ(?)=lg|HZ(j·10?)|=μlg|1+j·10?|

(5b)

在?→±∞的極限情況下，幅頻特征函數(shù)ΛP(?)/ΛZ(?)分別趨近于兩條漸進直線.

(6a)

(6b)

根據(jù)式(5)和式(6)可知，單分數(shù)冪極點無理函數(shù)的幅頻特征曲線可用兩條漸近線近似表示(如圖1所示).

圖1 單分數(shù)冪極點與零點傳輸函數(shù)的幅頻特征曲線及其漸近線Fig.1 Amplitude-frequency characteristic curve and its asymptote of single fractional power pole and zero transfer function

2.2 Charef有理逼近與零極點對子系統(tǒng)

將式(4a)的無理函數(shù)yP(w)通過實零極點對形式重寫為有理逼近函數(shù)，并在有限的頻率范圍內(nèi)，可以截斷為一個有限的迭代次數(shù)k，使用yPk(w)逼近yP(w).

(7)

第i對零極點對(zi,pi)一次子系統(tǒng)的歸一化阻抗函數(shù)為

(8)

(9)

式(9)中，實數(shù)oi表示零點頻率指數(shù)和實數(shù)χi表示極點頻率指數(shù)[18].令極點與零點之比為

(10)

得一次零極點子系統(tǒng)的頻域特征函數(shù):

(1) 幅頻特征函數(shù)

(11a)

(2) 相頻特征函數(shù)

(11b)

(3) 階頻特征函數(shù)

(11c)

圖2a零極點對子系統(tǒng)函數(shù)Ei(w)的幅頻特征曲線可由一條斜率為-1和兩條水平漸近線組成的Z形折線近似表示，是由零點與極點的共同作用導(dǎo)致的.由(10)式可知，lgα取值越大，一次子系統(tǒng)的運算特征的帶寬越大[19]. 子系統(tǒng)函數(shù)Ei(w)的相頻特征?i(?)和階頻特征ui(?)具有偶對稱性和局域化特性圖2b和2c，正是這種每個一次子系統(tǒng)都會產(chǎn)生波峰的局域化特性，使得無理函數(shù)序列yP(w)在頻域產(chǎn)生準(zhǔn)周期性的運算振蕩現(xiàn)象，運算振蕩現(xiàn)象是所有一次子系統(tǒng)的集體行為[20](3.2節(jié)詳細分析).

圖2 一次子系統(tǒng)的頻域特征曲線 Fig.2 Frequency domain characteristic curve of the primary subsystem

2.3 Charef有理逼近過程

根據(jù)圖1描述的單分數(shù)冪極點傳輸函數(shù)yP(w)的幅頻特征曲線在波特圖中可用兩條漸近線近似表示，以及圖2描述零極點對子系統(tǒng)函數(shù)Ei(w)的運算特征函數(shù)，組合可得子系統(tǒng)逼近幅頻曲線的過程如圖3.

2.4 零極點分布關(guān)系

遞進因數(shù)(Recursive Factors)α,β，標(biāo)度因子(Scaling Factor)σ，可根據(jù)漸進幅頻誤差δ表示.

α=10[δ/10(1-μ)]

(12a)

β=10[δ/10μ]

(12b)

σ=αβ=10[δ/10μ(1-μ)]

(12c)

當(dāng)0<σ<1時為反比拓展，當(dāng)1<σ<∞時為正比拓展[10]. 零點和極點頻率以遞進分布形式確定，以單分數(shù)冪極點的傳輸函數(shù)為例有

(13a)

(13b)

另外，極點pi與前一極點pi-1的位置比等于零點zi與前一個零點zi-1的位置比為

(14a)

(14b)

根據(jù)上述公式，可以從第一個極點得到所有的極點和零點，關(guān)系如下.

pi=σip0,i=0～k

(15a)

zi=σiαp0,i=0～k-1

(15b)

2.5 新穎標(biāo)度方程

為了用線性時不變的系統(tǒng)模型表示單分數(shù)冪極點與單分數(shù)冪零點，需要用有理傳遞函數(shù)來逼近其無理傳遞函數(shù). 使用Charef等人[14]給出的近似方法，在傳輸函數(shù)的幅頻曲線圖上使用斜率為-μ的直線近似表示，該漸近線由復(fù)平面負實軸上零極點對應(yīng)的若干條斜率為-1和0的直線構(gòu)成. 因此給出近似結(jié)果，單分數(shù)冪極點傳輸函數(shù)yP(w)=(1+w)-μ, Charef-I有理逼近：

(16a)

單分數(shù)冪零點傳輸函數(shù)yZ(w)=(1+w)μ, Charef-D有理逼近：

(16b)

給定一個有理可實現(xiàn)的初始阻抗函數(shù)y0(w)=N0(w)/D0(w)，根據(jù)式(13)可以構(gòu)造迭代過程有理函數(shù)序列{yΙk(w),k∈+}、{yDk(w),k∈+}，如下式.

(17a)

(17b)

得到兩個非正則的新穎標(biāo)度方程

(18a)

(18b)

3 新穎標(biāo)度方程的近似求解與真實解

3.1 近似求解與運算有效性

運算有效性是指非正則的標(biāo)度方程給定初始迭代函數(shù)y0(w)的迭代過程

yk(w)=F(ayk-1(σw)),k∈+

(19)

兩個非正則新穎標(biāo)度方程，在高頻段可以近似簡化為正則標(biāo)度方程. 對于Ⅰ型新穎標(biāo)度方程有

(20)

yΙ(w)≈ζΙwμΙ→μΙ=0

(21)

yΙ(w)≈ζΙwμΙ→μΙ=-lgα/lgσ

(22)

由上式可得，Ⅰ型新穎標(biāo)度方程在高頻段具有負分數(shù)階算子.

對于D型新穎標(biāo)度方程有

(23)

yD(w)≈ζDwμD→μD=0

(24)

yD(w)≈ζDwμD→μD=lgα/lgσ

(25)

由上式可得，D型新穎標(biāo)度方程在高頻段具有正分數(shù)階算子.

從數(shù)學(xué)角度分析，新穎標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列yΙ(w)的運算階都應(yīng)在高頻段有效，且I型新穎標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列yΙ(w)的有效運算階是負任意分數(shù)階，D型新穎標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)序列yD(w)的有效運算階是正任意分數(shù)階. 典型標(biāo)度方程反比拓展0<σ<1都在高頻段有效，正比拓展0<σ<1都在低頻段有效[22]. 但兩種新穎標(biāo)度方程的運算有效頻段與標(biāo)度因子σ是正比或反比拓展無關(guān)，這與常規(guī)拓展標(biāo)度方程的運算有效性不同，正是新穎標(biāo)度方程新穎性質(zhì)的體現(xiàn).

3.2 新穎標(biāo)度方程的真實解與運算振蕩現(xiàn)象

近似求解可從理論上判斷標(biāo)度方程的運算有效性，真實解可驗證近似求解的準(zhǔn)確性，有利于直觀分析運算性能和逼近性能[23]. 由半階有效的分抗逼近電路拓展得到的具有可構(gòu)造任意分數(shù)階運算性能的標(biāo)度化分抗逼近電路特征. 以I型新穎標(biāo)度方程為例，給定初始阻抗為yΙ0(w)=1，迭代求得有理阻抗函數(shù)序列如下式.

(26a)

(26b)

(26c)

給定合適的標(biāo)度因子σ，使用Matlab求解式(26)可得有理阻抗函數(shù)序列{yΙk(w),k∈+}，對應(yīng)的運算特征曲線如圖4所示.

D型新穎標(biāo)度方程的有理阻抗函數(shù)序列

(27)

對應(yīng)的階頻特征曲線與相頻特征曲線如圖6.

觀察圖4、圖5和圖6，新穎標(biāo)度方程迭代生成有理逼近函數(shù)存在運算振蕩現(xiàn)象[24]，存在固定的振蕩周期如下.

圖4 正比拓展時I型新穎標(biāo)度方程運算性能(σ=5, k=10)Fig.4 Operational performance of I-type novel scale equation with proportional expansion(σ=5, k=10)

圖5 反比拓展時I型新穎標(biāo)度方程運算性能 (σ=1/5, k=10)Fig.5 Operational performance of the I-type novel scale equation when inversely expanded (σ=1/5, k=10)

圖6 正比和反比拓展時D型新穎標(biāo)度方程的運算性能 (σ=5, σ=1/5)Fig.6 Operational performance of the D-type novel scaling equation when the proportional and inverse ratios are expanded(σ=5， σ=1/5)

W=|lgσ|,σ≠1

(28)

由于單分數(shù)冪極點與零點系統(tǒng)由若干個零極點一次子系統(tǒng)組成，每個零極點子系統(tǒng)Ei(?)都會產(chǎn)生局域化的波峰圖(如圖2b和2c)，導(dǎo)致有理函數(shù)yΙk(w)、yDk(w)在頻域產(chǎn)生了準(zhǔn)周期的振蕩現(xiàn)象. 階頻特征振蕩的幅度與標(biāo)度因子σ和分數(shù)算子μ有關(guān).

4 新穎標(biāo)度方程的奇異性質(zhì)

有理函數(shù)序列yk(w)，取w=j·10?(?是頻率指數(shù)變量)可得頻域特征函數(shù).

yk(j·10?)=Λk(?)exp(j·θk(?))

(29a)

式中幅頻特征：

Λk(?)=lg|yk(j·10?)|

(29b)

相頻特征：

θk(?)=Arg{yk(j·10?)},?∈R

(29c)

階頻特征：

(29d)

相頻特征和階頻特征刻畫了分數(shù)算子有理迭代過程的運算性能. 以初始阻抗為例，對比I型新穎標(biāo)度方程在正比與反比拓展條件下的運算性能.

I型新穎標(biāo)度方程正比拓展(σ=5)迭代次數(shù)為10次的數(shù)值解與近似求解的理論值一致，在高頻范圍內(nèi)實現(xiàn)負任意階分數(shù)算子wu有理逼近如圖4b.虛線表示分數(shù)算子μΙ=-0.1～-0.9，取值間隔為0.2的理想頻域特征曲線，其中α的值是根據(jù)近似解(μΙ=-lgα/lgσ)計算得到.

I型新穎標(biāo)度方程反比拓展(σ=1/5)迭代次數(shù)為10次的數(shù)值解在高頻段不存在分數(shù)階性質(zhì)，但在甚低頻段實現(xiàn)正任意階分數(shù)算子wμ有理逼近如圖5b，這與近似求解的理論結(jié)果不一致. 反比拓展的數(shù)值解無法通過近似求解的理論結(jié)果解釋，這是新穎標(biāo)度方程的第二個奇異性質(zhì).

D型新穎標(biāo)度方程與I型新穎標(biāo)度方程的情況相似，正比拓展(σ=5)高頻段正任意分數(shù)階有效圖如圖6b，反比拓展(σ=1/5)低頻段負任意分數(shù)階有效圖如圖6d.

根據(jù)2.4節(jié)零極點分布關(guān)系的式(12)，畫出兩種新穎標(biāo)度方程的零極點分布圖，進一步分析反比拓展時數(shù)值解與近似解不一致的原因. 分析I型和D型新穎標(biāo)度方程正反比拓展的零極點分布圖. 以I型新穎標(biāo)度方程正反比拓展為例，根據(jù)零極點頻率指數(shù)oki和xki與零極點的關(guān)系式(9), 標(biāo)度因子正比與反比分別取值σ=5、σ=1/5，迭代次數(shù)k=10，令分數(shù)階算子μΙ=-0.1～-0.9，取值間隔為0.2，求得新穎標(biāo)度方程有理函數(shù)序列不同分數(shù)算子μΙ對應(yīng)的零極點指數(shù)的分布圖如圖7. 其中，橫坐標(biāo)?表示零極點的頻率指數(shù)，縱坐標(biāo)表示不同的運算階μΙ.

觀察圖7中不同階數(shù)的零極點指數(shù)分布可知，當(dāng)標(biāo)度因子σ取值固定，階數(shù)μΙ取值不同時，極點指數(shù)的值幾乎不變，而零點指數(shù)之間的間距隨階數(shù)μΙ的增加而不斷變大.

圖7 正比和反比拓展時I型新穎標(biāo)度方程不同階數(shù)的零極點分布圖(σ=5, σ=1/5, k=10)Fig.7 The distribution diagrams of poles and zeros of different orders of the I-type novel scaling equation with proportional and inverse expansion (σ=5, σ=1/5, k=10)

令階數(shù)μΙ=-0.5，標(biāo)度因子對數(shù)化lgσ分別取值為0.2、0.6、1.0、1.4，Ⅰ型新穎標(biāo)度方程電路的節(jié)數(shù)k=15. 圖8和圖9分別是正比拓展和反比拓展在標(biāo)度因子σ取值不同的頻率指數(shù)分布. 根據(jù)施卜椿等[25]對標(biāo)度分形分抗逼近電路的零極點分布規(guī)律的研究可知，零極點的值與節(jié)號i之間呈線性關(guān)系，此斜率與標(biāo)度因子σ有關(guān). 標(biāo)度分形鏈與標(biāo)度分形格電路等零極點的頻率特征指數(shù)?k=-ilgσ.

觀察圖8和圖9發(fā)現(xiàn)，不同的標(biāo)度因子σ取值，零點頻率指數(shù)與極點頻率指數(shù)的斜率的確與lgσ相關(guān).

圖8 I型新穎標(biāo)度方程正比拓展不同標(biāo)度因子σ零極點頻率指數(shù)分布圖(k=15)Fig.8 Type I novel scaling equation proportionally expands the exponential distribution diagram of zero-pole frequency with different scaling factors σ (k=15)

圖9 I型新穎標(biāo)度方程反比拓展不同標(biāo)度因子σ零極點頻率指數(shù)分布圖(k=15)Fig.9 Type I novel scaling equation inversely expands the exponential distribution diagram of zero-pole frequency with different scaling factors σ (k=15)

根據(jù)仿真數(shù)據(jù)可得零極點線性分布規(guī)律的近似表達式如下式.

(31)

正比拓展或反比拓展的零極點分布都滿足上式關(guān)系. 新穎標(biāo)度方程取不同的σ值，其對應(yīng)的零極點頻率指數(shù)斜率為正標(biāo)度因子的對數(shù)，與其他標(biāo)度方程對應(yīng)的斜率為負的標(biāo)度因子的對數(shù)不相同，這是新穎標(biāo)度方程的另一奇異性質(zhì)的體現(xiàn).

5 結(jié) 論

描述了分數(shù)算子的Charef有理逼近的具體逼近過程，用Z形逼近(遞進分布的零極點對逼近)分形系統(tǒng)，將單分數(shù)冪極點傳輸函數(shù)重寫成零極點對形式的有理函數(shù). 單分數(shù)冪極點與冪零點系統(tǒng)的傳輸函數(shù)根據(jù)Charef有理逼近法以及零極點的分布關(guān)系，得到兩個非正則的標(biāo)度方程分別是Ⅰ型和D型新穎標(biāo)度方程. 通過對新穎標(biāo)度方程的運算性能的分析，近似求解發(fā)現(xiàn)Ⅰ型和D型新穎標(biāo)度方程在高頻范圍內(nèi)實現(xiàn)正或負任意階分數(shù)算子wu有理逼近，在低頻段都不具有分數(shù)階特性. 發(fā)現(xiàn)這一有效頻段不同以往典型的非正則標(biāo)度方程的近似解結(jié)果，這是新穎標(biāo)度方程的第一點奇異性質(zhì). 接著對新穎標(biāo)度方程迭代生成的有理函數(shù)函數(shù)序列式(26c)求真實解，得到反比擴展的情況下在低頻段具有運算有效性，這與近似求解的結(jié)論不符. 真實解與近似解的結(jié)果不符，這是新穎標(biāo)度方程的第二點奇異性質(zhì). 進一步分析Charef 標(biāo)度方程的零極點分布情況，發(fā)現(xiàn)在正比或反比拓展的情況下分別取不同標(biāo)度因子的值，零極點頻率指數(shù)分布的斜率為lgσ，這與其他典型標(biāo)度方程的零極點指數(shù)斜率-lgσ不同，這是第三點奇異性質(zhì).

根據(jù)分數(shù)階算子的Charef有理逼近過程獲得的新穎標(biāo)度方程，分析其奇異的性質(zhì)只是研究的開端部分. 后續(xù)還有如下可以深入研究的內(nèi)容以及問題善待解決：(1) 關(guān)于新穎標(biāo)度方程反比拓展的近似解無法使用Liu氏粗解解釋真實解的結(jié)果，本文目前無法解釋該現(xiàn)象的原因，或許存在異于Liu氏粗解的關(guān)于非正則標(biāo)度方程的新解法；(2) 通過階頻指標(biāo)O、相頻指標(biāo)P和斜率指標(biāo)K等，探尋新穎標(biāo)度方程其他的奇異性質(zhì)；(3) 根據(jù)新穎標(biāo)度方程，給出一個具體的電路應(yīng)用實例.