李陳峰，高 超，馬開開，張旭輝，周學謙

（哈爾濱工程大學 船舶工程學院，哈爾濱 150001）

0 引 言

極限強度和剩余強度評估是船體結構設計非常重要的兩個方面，其中極限彎矩（承載能力）計算是其中重要的工作之一。目前，極限彎矩計算方法除了類似始屈彎矩法這類基于剖面應力分布假定的解析法外，最常用的是逐步破壞法。逐步破壞分析方法又分為簡化逐步破壞法（Smith法）[1]、非線性有限元法[2]和理想結構單元法[3]等。相比于非線性有限元法和理想結構單元法，Smith法通過離散剖面結合曲率增加和單元應力的確定，計算船體彎矩-曲率曲線來確定極限彎矩，使用方便，且計算效率和計算精度較高，在船體初步設計階段被廣泛采用。2014年IACS發(fā)布的《Common Structural Rules for Bulk Carriers and Oil Tankers》（HCSR）[4]，將其作為船體梁極限彎矩計算主要方法之一，并對計算流程作出了明確規(guī)定。

Smith法的計算精度很大程度上取決于兩個方面：單元應力-應變關系的計算精度和剖面瞬時中和軸的計算精度。對于單元的應力-應變關系，已有很多學者提出了確定的方法，HCSR也詳細給出了不同失效模式下單元應力-應變關系的簡化計算方法。對于中和軸位置的確定，在HCSR規(guī)范[4]給出的Smith法中，中和軸位置的確定通過中和軸上下部分拉壓力平衡準則來確定。該方法可以有效解決完整船剖面中和軸位置確定的問題，但是當船體發(fā)生橫傾或者破損時，剖面中和軸不僅會發(fā)生平移還會有一定的偏轉，所以Choung等人[5]給出了另一準則-力矢量平衡準則。這兩個平衡準則對于中和軸的確定提供了可靠的理論方法，但是在實際應用求解過程中，需要采用一定的數(shù)值技術來使力平衡準則及力矢量平衡準則達到預期的收斂精度。李陳峰等[6]提出采用線性搜索法追蹤中和軸位置，求解過程中以力平衡誤差值和力矢量平衡誤差值作為判斷準則，在給定的一系列解中選取一個最優(yōu)解作為瞬時中和軸的位置。這種求解方法考慮了中和軸的偏轉，雖然將中和軸的平移和偏轉作為兩個問題分開求解，與中和軸的實際移動情況不符，但是其計算結果達到了較高的精度。

剖面瞬時中和軸的求解，實際上是一個在給定空間內尋求群體最優(yōu)解的過程，Kennedy和Eberhart[7]提出的粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）可以很好地解決這一問題。PSO是一種智能優(yōu)化算法，這種優(yōu)化算法受到鳥群社會行為的啟發(fā)，群體中每個粒子都能夠從臨近的粒子和歷史經驗中獲得有利信息。在迭代過程中，每個粒子都會在個體最優(yōu)解與群體最優(yōu)解的“指導”下更新粒子的位置和速度，粒子搜索范圍將很快縮小，并以最快的趨勢趨向問題空間內的最優(yōu)解。將這種搜索方式用于Smith法追蹤中和軸位置，可以同時考慮中和軸的平移和偏轉，并以非線性迭代的方式更快地靠攏群體最優(yōu)解。

本文在考慮力平衡準則和力矢量平衡準則的基礎上，結合多目標粒子群優(yōu)化算法（Multi-Objective Particle Swarm Optimization，MOPSO）研究建立了一種非對稱剖面中和軸確定方法，并在此基礎上改進了現(xiàn)有的Smith法，以實現(xiàn)非對稱剖面的極限承載能力分析。通過對Dow1/3護衛(wèi)艦試驗模型[8]完整正浮工況和多個破損橫傾工況的極限彎矩計算，證明了對于受損船舶，中和軸偏轉對剖面彎矩有顯著影響，且基于MOPSO的中和軸確定方法具有較好的自適應和計算精度。

1 Smith法基本原理及中和軸收斂準則分析

1.1 Smith法基本原理

Smith法通過荷載增量迭代來反映剖面構件破壞的實際過程，對每一增量步，根據(jù)平斷面假設以及船體剖面的瞬時中和軸計算得到剖面上每一單元的應變，由單元的應力-應變關系可進一步得到單元的應力。剖面所有單元的應力對瞬時中和軸取矩，得到的總和即為對應增量步的剖面彎矩。逐步增加曲率，得到彎矩-曲率曲線，曲線斜率為零或為負點所對應的彎矩值即為艦船的極限彎矩。

HCSR規(guī)范中，Smith法的標準計算流程如圖1所示。其中，Ni代表中和軸的瞬時位置，χi代表每一迭代步的瞬時曲率值，Δχ代表曲率增量，χF代表終止曲率，F(xiàn)代表剖面總合力，Mi代表每一迭代步的船體梁彎矩。

1.2 非對稱剖面中和軸收斂準則

對于剖面中和軸的確定，HCSR規(guī)范中考慮剖面的力平衡，中和軸上下拉壓力合力為零，如圖2所示，給出的收斂準則如下式：

其中：Fc為剖面所有單元壓力的合力，F(xiàn)t為剖面所有單元拉力的合力，ξT為力平衡誤差值，一般取小于0.01。

HCSR規(guī)范提出的力平衡準則只適用于船體橫剖面為對稱剖面的情況，但是當船體剖面為非對稱剖面時，其受力情況如圖2所示。根據(jù)Choung等人[5]對于非對稱剖面狀態(tài)下中和軸移動情況的研究，為保證剖面的拉壓力平衡，此時中和軸將會同時發(fā)生偏轉和平移，此時要確定中和軸的位置除滿足力平衡準則外，還需要滿足力矢量平衡準則：

圖1 Smith法基本流程圖[4] Fig.1 Flow chart of procedure of Smith’s method[4]

理論上，根據(jù)上述給出的力平衡準則和力矢量平衡準則，可以確定任意剖面的中和軸位置，但要同時滿足兩個收斂準則需要一定的數(shù)值技術。

2 基于粒子群算法的中和軸確定方法及其在Smith法中的應用

圖2非對稱剖面受力情況Fig.2 Force condition under asymmetric hull cross-section

非對稱剖面中和軸的求解，實際上是一個在給定空間內尋求群體最優(yōu)解的過程。粒子群算法是一種基于隨機智能搜索的迭代方法，在搜索過程中，對于中和軸既發(fā)生平移又發(fā)生偏轉的情況，粒子群算法可將平移和偏轉作為粒子的兩個維度，通過目標函數(shù)的建立搜索中和軸位置，實現(xiàn)中和軸同時平移和偏轉；粒子的搜索空間及粒子的移動均具有隨機性，可以實現(xiàn)中和軸的非線性迭代，擴大搜索空間；并且隨著迭代的不斷進行，粒子群算法會考慮粒子之間的相互作用，帶著隨機擾動不斷更新粒子的最優(yōu)位置，可以提高中和軸計算的精度。因此，本文考慮將PSO用于非對稱剖面中和軸的確定，將其應用于改進現(xiàn)有的Smith法。

2.1 多目標粒子群算法基本原理

PSO的優(yōu)化過程為初始化產生N個粒子，每個粒子對應優(yōu)化問題的一個解，解中包含的變量個數(shù)即為粒子的維度，粒子i用d維向量xi和vi表示其位置和速度。粒子不斷更新自己的位置和速度直到發(fā)現(xiàn)滿足最大迭代次數(shù)的全局最優(yōu)解。粒子i第k次迭代的速度和位置更新方程如下：

其中：c1、c2為學習因子；rand（）為 ［0，1］之間的隨機數(shù)；w為慣性權重；Pid為粒子本身最優(yōu)解，即局部最優(yōu)解；Pgd為所有Pid中的最優(yōu)值，即全局最優(yōu)解。粒子群在開始迭代時的初始位置和速度是隨機的，然后依照公式（3）、（4）迭代，直至滿足約束函數(shù)。

由于實際問題中，中和軸的平移和偏轉為優(yōu)化問題的兩個變量，此時粒子群算法的搜索空間為二維空間，可通過多目標粒子群優(yōu)化算法（MOPSO）搜索中和軸的位置。

相對于單目標優(yōu)化問題，多目標優(yōu)化問題的關鍵在于如何選擇個體最優(yōu)和群體最優(yōu)。

本文采用線性加權法將多目標函數(shù)轉化為單目標函數(shù)，其核心思想是根據(jù)各個目標f（x）的重要程度，分別賦予一個非負的權系數(shù)，然后把這些帶權的目標加起來構造評價函數(shù)通過這個評價函數(shù)，將多目標優(yōu)化問題轉化為單目標優(yōu)化問題求解這個單目標問題可以得到最優(yōu)解。

2.2 基于粒子群算法的中和軸確定及改進的Smith法

對于剖面中和軸的求解，問題的數(shù)學模型為：

變量—中和軸的垂向位置z和與水平軸的轉角α；

約束函數(shù)—f1≤0.01，f2≤0.01。

粒子群搜索中和軸的具體流程如下：

（1）初始化粒子群：基于上一次曲率步得到的中和軸位置，在中和軸上下的最大可能移動范圍內等距離劃分得到初始的中和軸粒子群（粒子在整個搜索空間內均勻分布），存入初始集POP0中，粒子數(shù)為中和軸位移步數(shù)，n2為中和軸轉角步數(shù)，本文的粒子數(shù)n=50×50=2 500，步長step（）z和）視剖面尺寸而定。 初始化粒子的速度v（i）=0，i∈［1，…，n］，設置粒子的慣性權重w、學習因子c、迭代次數(shù)tmax、粒子最大速度vmax，慣性權重因子采用線性遞減方式，其中，學習因子為迭代次數(shù)；限定粒子最大移動范圍

（3）更新粒子群：設置迭代步數(shù)為100，第j步POPj第i個粒子的速度為，位置為，采用目標函數(shù)評價粒子，為第j步粒子選擇個體最優(yōu)解和群體最優(yōu)解依據(jù)以下公式，更新中和軸位置，得到第j+1步粒子群：

（4）達到迭代步數(shù)時，如滿足收斂要求，則結束搜索；如未滿足收斂要求，則返回步驟（1）繼續(xù)搜索直至滿足收斂要求。

進一步，將基于PSO的中和軸確定方法與Smith法結合，建立改進的Smith法以實現(xiàn)非對稱船體剖面的極限彎矩計算，其流程圖如圖3所示。

圖3基于粒子群算法的Smith法的基本流程圖Fig.3 Flow chart of the PSO-based Smith’s method

3 計算結果與分析

本文選取Dow1/3護衛(wèi)艦試驗模型[8]作為參考算例。該算例船在過去的幾十年里一直是人們使用各種計算方法計算的模板，且已存在可參考的計算結果，因此可用來驗證提出的PSO算法是否合理。

3.1 計算模型與工況定義

Dow1/3護衛(wèi)艦的半中橫剖面圖如圖4所示。船體剖面的加強筋類型及尺寸參數(shù)如表1所示，且船用鋼材的楊氏模量和泊松比分別取206 GPa和0.3。

表1 Dow1/3護衛(wèi)艦試驗模型的橫剖面型材表Tab.1 Dimensions of longitudinals of Dow’s test hull-1/3 scale frigate

圖4 Dow1/3護衛(wèi)艦試驗模型的半中橫剖面圖Fig.4 Half mid-ship section of Dow’s test hull-1/3 scale frigate

考慮船體結構和傾斜狀態(tài)，選取了Dow試驗模型完整正浮工況和多個破損橫傾工況作為計算工況，具體情況如表2所示。其中，破損狀態(tài)的破口位置位于右舷，破口中心坐標（y，z）為（2.0 m，2.8 m），破損半徑為1.0 m。

3.2 權重系數(shù)分析

采用線性加權法解決多目標粒子群優(yōu)化問題時，權重系數(shù)的選取是影響計算精度的一個重要方面。本文首先采用Case 2開展計算分析，對于權重系數(shù)w1、w2分別選取以下幾組分配方式進行計算：（1）w1=0.2，w2=0.8；（2）w1=w2=0.5；（3）w1=0.8，w2=0.2。由于中垂及中拱狀態(tài)下得到的收斂系數(shù)值變化趨勢及數(shù)值基本一致，故只列出中垂狀態(tài)下的力平衡誤差值和力矢量平衡誤差值，如圖5所示。

表2計算工況定義Tab.2 Difinition of calculation condition

圖5不同權重分配下Dow1/3護衛(wèi)艦破損船中垂工況下的力平衡誤差和力矢量平衡誤差Fig.5 Force equilibrium errors and force vector equilibrium errors in the calculation with different weight coefficients for the damaged hull in sagging condition

通過計算發(fā)現(xiàn)，隨著船體梁曲率的增加，不同權重比重下的力平衡誤差值和力矢量平衡誤差值均達到了收斂要求，且遠小于收斂系數(shù)。此外，不同權重系數(shù)的分配下，得到的力平衡誤差或力矢量平衡誤差值相差不大。這說明權重系數(shù)的分配對收斂模式沒有明顯的影響，故后續(xù)的計算采用w1=w2=0.5的權重分配。

3.3 不同工況計算結果與分析

（1）完整工況Case1計算結果

分別采用基于PSO的改進Smith法和基于線性搜索法的改進Smith法對Dow1/3護衛(wèi)艦試驗模型完整工況Case1進行計算，得到的中垂、中拱狀態(tài)下剖面中和軸移動情況及極限彎矩結果如圖6所示，將中垂、中拱狀態(tài)下剖面極限彎矩結果列入表3，并與現(xiàn)有的文獻中所有極限強度計算方法得到的值進行對比，其中Ms為中垂彎矩，Mh為中拱彎矩。

圖6 Dow1/3護衛(wèi)艦完整船正浮狀態(tài)下中和軸的移動及彎矩結果Fig.6 Bending moment&motions of NA-curvature relationships of the Dow’s 1/3 frigate model in intact condition

由圖6可得：采用基于PSO的改進Smith法計算極限彎矩時，隨著船體梁曲率的增加，剖面中和軸的移動曲線及船體剖面彎矩-曲率曲線均與基于線性搜索法的改進Smith法計算結果有很好的吻合性，這表明PSO應用于Smith法中和軸的計算可行，能夠很好地實現(xiàn)算法目的。

通過與表3列出的結果對比發(fā)現(xiàn)，基于PSO的改進Smith法計算結果與其他學者計算結果吻合良好。中垂情況下，與實驗值相比誤差值為2.8%；中拱情況下，參照Paik采用非線性有限元計算方法的結果，結果相比誤差為6.64%。另外，基于PSO的Smith法與基于線性搜索法的改進Smith法對于完整船對稱剖面得到的計算結果完全吻合，表明基于PSO算法的Smith方法在實際計算中的可行性。

表3 Dow1/3護衛(wèi)艦試驗模型完整船的所有極限強度計算結果Tab.3 Summary of ultimate strength of Dow’s test hull-1/3 scale frigate

（2）破損工況計算結果

采用基于PSO的改進Smith法對Dow1/3護衛(wèi)艦試驗模型Case 2-4工況計算剖面極限彎矩，與基于線性搜索法的改進Smith法進行結果對比，得到的中垂、中拱狀態(tài)下剖面中和軸移動情況以及極限彎矩對比圖如圖7-9所示。

圖7 Dow1/3護衛(wèi)艦破損船左傾10°狀態(tài)下中和軸的移動及彎矩結果Fig.7 Bending moment&motions of NA-curvature relationships of the Dow’s 1/3 frigate model with damaged hull and a heeling angle of 10°

圖8 Dow1/3護衛(wèi)艦破損船左傾20°狀態(tài)下中和軸的移動及彎矩結果Fig.8 Bending moment&motions of NA-curvature relationships of the Dow’s 1/3 frigate model with damaged hull and a heeling angle of 20°

圖9 Dow1/3護衛(wèi)艦破損船左傾30°狀態(tài)下中和軸的移動及彎矩結果Fig.9 Bending moment&motions of NA-curvature relationships of the Dow’s 1/3 frigate model with damaged hull and a heeling angle of 30°

從圖7-9可以看出，對于Dow1/3護衛(wèi)艦試驗模型，其計算得到的中和軸移動、船體剖面彎矩均與李陳峰等提出的改進Smith算法計算結果基本吻合，中和軸移動趨勢及彎矩變化趨勢基本一致。這說明，本文提出的基于PSO算法的Smith方法用于極限強度計算是可行的，且精度較高。

4 結 論

本文考慮非對稱剖面中和軸偏轉的問題，在力平衡準則的基礎上考慮剖面力矢量的平衡，并結合多目標粒子群優(yōu)化算法，建立了一種適用于非對稱剖面極限彎矩計算的改進Smith法。通過Dow1/3護衛(wèi)艦模型的計算分析，得到以下結論：

（1）基于剖面的力平衡準則和力矢量平衡準則，可有效地確定非對稱剖面的中和軸位置；

（2）基于PSO的中和軸確定方法具有較好的自適應和計算精度；

（3）對于受損船舶，中和軸偏轉對剖面彎矩有顯著影響，目前HCSR規(guī)范推薦的Smith法是不完全適用的。