俞 翔，趙建學，柴 凱，朱石堅

（海軍工程大學 a.艦船與海洋學院；b.動力工程學院，武漢 430033）

0 引 言

準零剛度隔振系統(tǒng)高靜低動的剛度特性不僅能實現(xiàn)系統(tǒng)的低頻隔振，還有較大的承載能力[1-2]，特別適用于艦船動力設(shè)備的隔振，受到了國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注。然而，準零剛度隔振系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)，相同參數(shù)條件但不同初始條件下有可能對應(yīng)多種運動狀態(tài)，即存在吸引子共存現(xiàn)象。系統(tǒng)運行在不同吸引子上時具有不同的隔振效果，為保證系統(tǒng)處于最優(yōu)的隔振狀態(tài)，可實施吸引子的遷移控制，即通過控制使得當系統(tǒng)運行于大振幅吸引子上時迅速遷移至振幅較小的吸引子上，從而降低基座振動，實現(xiàn)減振降噪。因此，研究吸引子的遷移控制具有重要的理論和實際意義。

Jackon等最早提出了開環(huán)控制方法[3]、參數(shù)開環(huán)控制方法[4]來控制混沌，但存在無法確定系統(tǒng)的吸引域和收斂域的缺點[5-6]。開環(huán)加閉環(huán)控制方法[7]和參數(shù)開環(huán)加閉環(huán)控制[9]彌補了這些不足，并且已成功應(yīng)用于很多復雜的非線性系統(tǒng)。如陳立群等應(yīng)用開環(huán)加閉環(huán)控制方法研究了離散動力系統(tǒng)混沌、超混沌的控制問題[8]，并以控制Lorenz混沌為例說明了參數(shù)開閉環(huán)控制方法的應(yīng)用[9]。戈新生等[10]將開環(huán)加閉環(huán)控制方法應(yīng)用于3D剛性單擺系統(tǒng)的混沌控制，使得系統(tǒng)穩(wěn)定運行在目標軌道。Wheeler等[11]將開環(huán)加閉環(huán)控制方法應(yīng)用于有效神經(jīng)元系統(tǒng)，作為從混沌吸引子中提取穩(wěn)定極限環(huán)的方法，用以模擬記憶搜索和檢索的狀態(tài)。王杰等[12]在開環(huán)加閉環(huán)控制的基礎(chǔ)上，針對任意m次多項式提出了一種開環(huán)加非線性閉環(huán)組合的控制方法，實現(xiàn)了系統(tǒng)的解到任意給定目標的輸運，并證明其傳遞域是全局穩(wěn)定的。陳立群[13]將開環(huán)加非線性閉環(huán)方法應(yīng)用于強迫Duffing系統(tǒng)和Van der Pol等系統(tǒng)，證明了傳遞域的全局性。

本文以具有柔性基礎(chǔ)的準零剛度隔振系統(tǒng)為研究對象，分析共存吸引子及其吸引域，并應(yīng)用開環(huán)加閉環(huán)控制方法實現(xiàn)了系統(tǒng)的吸引子遷移控制，使系統(tǒng)由振幅大的吸引子遷移至振幅小的吸引子上，從而實現(xiàn)減振降噪，并對控制的穩(wěn)定性進行了分析，得出目標軌道函數(shù)是全局穩(wěn)定的。

1 吸引子共存分析

圖1柔性基礎(chǔ)準零剛度隔振系統(tǒng)Fig.1 The quasi-zero-stiffness vibration isolation system with flexible foundation

有研究表明，如果彈性體的第二主頻率比第一主頻率大一倍，那么只取第一階模態(tài)也能取得較精確的結(jié)果，梁和平板的主頻率分布常能滿足上述條件[14]。因此，在只取一階模態(tài)的情況下，平板或梁式柔性基礎(chǔ)可以簡化為單自由度系統(tǒng)來進行研究[15]。柔性基礎(chǔ)準零剛度隔振系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，kqzs和k2分別表示準零剛度隔振器的非線性剛度和基座的等效剛度；c1和c2分別表示準零剛度隔振器的阻尼和基座的等效阻尼；Y1和Y2分別表示被隔振物體的位移和基座的位移；m1和m2分別表示被隔振物體的質(zhì)量和基座的等效質(zhì)量；Fcos ΩT表示激勵力[16]。以向上為正方向，可得

取w=0.5，G=0.1，ξ1=0.05，ξ2=0.15，ω=1.6。由圖 2 所示共存吸引子的相圖可知，當f=6.5 時，系統(tǒng)存在一個周期3吸引子和一個周期1吸引子，其中“+”表示龐加萊映射點。在相空間中分別選取截面為分析平面，作如圖3所示的系統(tǒng)吸引子及其吸引域圖，其中黑色區(qū)域表示周期1運動的吸引域，白色“o”為周期1吸引子；灰色區(qū)域表示周期3運動的吸引域，白色“+”表示周期3吸引子。圖3中出現(xiàn)了周期3吸引子在周期1吸引域中的情況，這是因為圖3顯示的只是周期 3 吸引子分別在所選截面上的投影，在完整的相空間中，周期3吸引子是不會出現(xiàn)在周期1吸引子所屬的吸引域中。

圖2共存吸引子的相軌跡及其龐加萊映射點Fig.2 The phase trajectories of coexistent attractors and their Poincare mapping points

圖3共存吸引子及其吸引域Fig.3 Coexistent attractors and their basins

2 柔性基礎(chǔ)準零剛度隔振系統(tǒng)的遷移控制律

第二種方法是開環(huán)加閉環(huán)控制方法，引入開環(huán)加閉環(huán)控制律可得

3 吸引子遷移控制

由圖2可看出，系統(tǒng)的周期1吸引子較周期3吸引子振幅小。由于初始條件不確定，系統(tǒng)有可能運行在振幅大的周期3吸引子上。這時，可通過設(shè)置比周期1、周期3運動振幅都小的目標軌道函數(shù)，施加控制使系統(tǒng)遷移至目標軌道，并沿目標軌道運行，這樣可以減小系統(tǒng)振幅。

對于系統(tǒng)（3），選取目標軌道

仍選取上節(jié)的系統(tǒng)參數(shù)，開關(guān)函數(shù)設(shè)置為當時間t＞200 s時，S（）t=1。

不同控制作用下系統(tǒng)的相軌跡如圖4所示，黑色實線表示施加控制前系統(tǒng)的運行軌跡，灰色虛線表示施加控制后系統(tǒng)的運行軌跡，下同。由圖4（a）和圖4（b）可以看出，施加開環(huán)加閉環(huán)控制后系統(tǒng)被準確地遷移至目標軌道。若只施加開環(huán)控制，以m2為例，如圖4（c）所示，可以看出施加控制后m2運行軌跡混亂無序，無法被遷移至目標軌道。

圖4不同控制作用下系統(tǒng)的相軌跡Fig.4 The phase trajectory of the system under different control methods

上述控制方法雖然可以實現(xiàn)減振降噪，但存在消耗能量大的問題，且未考慮穩(wěn)定性。針對這些問題，可采用另一種遷移控制策略，即在兩個吸引子的吸引域之間建立一條目標軌道，當系統(tǒng)運行至目標軌道附近時，啟動控制，系統(tǒng)沿著目標軌道被遷移至周期1吸引子的吸引域，此時關(guān)閉控制，系統(tǒng)會運行在周期1吸引子上，振幅較施加控制前變小，從而達到減振降噪的目的。

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圖5吸引子及其吸引域圖Fig.5 Attractors and their attractor domains

圖3所示的點映射圖分別是在x2=0，x˙2=0和x1=0，x˙1=0 的前提下畫出的。 所以當x1，x˙1，x2，x˙2都位于圖上周期1吸引子的吸引域內(nèi)時，系統(tǒng)未必在周期1吸引子上運行。仍選取上述矩陣A及目標軌道函數(shù)（7）。因x1、x2的目標軌道函數(shù)相同，y1、y2的目標軌道函數(shù)相同，所以當系統(tǒng)被遷移至該目標軌道時，滿足x1=x2，y1=y2。故可在-4＜范圍內(nèi)畫出系統(tǒng)的點映射圖。如圖5所示，黑色區(qū)域表示周期1吸引子的吸引域，灰色區(qū)域表示周期3吸引子的吸引域，可以看出目標軌道函數(shù)連接兩個吸引子的吸引域。設(shè)置開關(guān)函數(shù)為：若系統(tǒng)運行在周期3吸引子上，啟動控制，即令S（）t=0；系統(tǒng)被遷移至目標軌道后，且系統(tǒng)運行至圖5上的周期1吸引子的吸引域內(nèi)時，關(guān)閉控制，即令S（）t=0。

圖6開環(huán)加閉環(huán)控制下系統(tǒng)的相軌跡Fig.6 The phase trajectory of the system under open loop plus closed loop control

系統(tǒng)相軌跡如圖6所示，黑色實線表示施加控制前系統(tǒng)運行軌跡，黑色虛線表示施加控制后關(guān)閉控制前系統(tǒng)運行軌跡，灰色實線表示關(guān)閉控制后系統(tǒng)運行軌跡?？梢钥闯觯到y(tǒng)一開始運行在周期3吸引子上，啟動控制后，系統(tǒng)被遷移至目標軌道，當系統(tǒng)運行至周期1吸引子的吸引域內(nèi)時，關(guān)閉控制，系統(tǒng)經(jīng)過短暫的瞬態(tài)過程，重新運行在周期1吸引子上。如圖7所示是m1振幅隨時間變化的曲線，可以看出m1較控制前振幅變小，從而達到了減振降噪的目的。

圖7開環(huán)加閉環(huán)控制下m1的時程Fig.7 The time history of m1under open loop plus closed loop

4 穩(wěn)定性與可行性分析

令x（t）=g（t）+u（t），代入（5）式且當S（t）=1時可得

在F（g+u，t）處進行展開

代入（4）式可得

因a11=a22=a44=-10＜0，所以當時間t趨于無窮時ux1，uy1，ux2，uy2全部趨于零。故目標軌道函數(shù)的傳輸域是全局的，即當系統(tǒng)處于任何狀態(tài)時都可施加控制使其遷移至目標軌道。

由上述可知，只要恰當選取矩陣A和目標軌道函數(shù)g（t）（A須為負定的對角常數(shù)矩陣，g（t）須連接兩個共存吸引子的吸引域），即可保證吸引子遷移控制的穩(wěn)定性，確保系統(tǒng)被遷移至目標軌道，并沿著目標軌道在共存吸引子之間遷移，實現(xiàn)減振降噪。對系統(tǒng)施加吸引子遷移控制的前提是存在共存吸引子，工程實際中，隔振系統(tǒng)工況較為復雜，極大可能存在吸引子共存現(xiàn)象。開環(huán)加閉環(huán)控制率可嘗試采用作動器實現(xiàn)，控制開關(guān)可由繼電器和位移傳感器等構(gòu)成。

5 結(jié) 論

本文對具有柔性基礎(chǔ)的準零剛度隔振系統(tǒng)的共存吸引子及其吸引域進行了分析。在共存吸引子的吸引域之間建立了一條目標軌道，采用開環(huán)加閉環(huán)控制方法對系統(tǒng)進行了吸引子遷移控制。同時，對開環(huán)加閉環(huán)控制方法的穩(wěn)定性和可行性進行了分析?？梢缘玫饺缦陆Y(jié)論：

（1）該隔振系統(tǒng)隨激勵力幅值的變化呈現(xiàn)出較為復雜的動力學特性，存在吸引子共存現(xiàn)象；

（2）該隔振系統(tǒng)在開環(huán)控制下難以實現(xiàn)系統(tǒng)共存吸引子的遷移控制；而開環(huán)加閉環(huán)控制可使系統(tǒng)沿著目標軌道在不同振幅吸引子的吸引域之間遷移，使系統(tǒng)由大振幅的吸引子遷移至小振幅的吸引子上，實現(xiàn)減振降噪；

（3）通過適當選取目標軌道函數(shù)和控制律，可保證吸引子遷移控制的穩(wěn)定性，其中開環(huán)加閉環(huán)控制率可嘗試采用作動器實現(xiàn)；控制開關(guān)可采用繼電器和位移傳感器等構(gòu)成。