楊柏楠，曹聚亮，于瑞航，蔡劭琨

（國(guó)防科技大學(xué)智能科學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)沙410073）

0 引言

航空重力測(cè)量是一種以飛機(jī)為載體，利用航空重力儀等設(shè)備獲取地球重力場(chǎng)信息的重力測(cè)量方法[1]。高精度的重力場(chǎng)信息是研究地質(zhì)構(gòu)造和勘探礦產(chǎn)資源不可或缺的重要信息[2]，捷聯(lián)式航空重力儀是一種經(jīng)典的用于獲取高精度重力數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)儀器[3]。

捷聯(lián)式航空重力儀的核心是一套慣性/衛(wèi)星組合導(dǎo)航系統(tǒng)，因此在衛(wèi)星導(dǎo)航精度一定的前提下，由捷聯(lián)式重力測(cè)量的基本原理可知，加速度計(jì)敏感的比力測(cè)量精度將較大地影響重力測(cè)量的精度[4]。在器件精度難以提高的情況下，傳感器參數(shù)估計(jì)的效果直接決定了器件能否充分發(fā)揮其潛力。在進(jìn)行重力測(cè)量的過程中，加速度計(jì)參數(shù)通常直接采用在實(shí)驗(yàn)室條件下標(biāo)定出的傳感器參數(shù)。由于慣性器件的自身特性，傳感器參數(shù)存在逐次啟動(dòng)不重復(fù)性誤差，這對(duì)于高精度的重力測(cè)量而言，會(huì)降低重力測(cè)量的精度。因此，采用合適的方法對(duì)加速度計(jì)的參數(shù)進(jìn)行外場(chǎng)標(biāo)定很有必要。雙軸旋轉(zhuǎn)平臺(tái)令系統(tǒng)進(jìn)行有規(guī)律的轉(zhuǎn)位運(yùn)動(dòng)，可在無水平和方位基準(zhǔn)的條件下，實(shí)現(xiàn)加速度計(jì)在靜止載體上的標(biāo)定[5]。因此，引入雙軸旋轉(zhuǎn)平臺(tái)，可使捷聯(lián)式重力儀在外場(chǎng)環(huán)境中進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

本文以靜態(tài)條件下的加速度計(jì)參數(shù)模型為基礎(chǔ)，采用全局可觀性方法對(duì)系統(tǒng)的可觀性進(jìn)行了分析，得到了參數(shù)完全可觀的條件，并以此設(shè)計(jì)了標(biāo)定方案[6]。利用有限位的雙軸旋轉(zhuǎn)平臺(tái)對(duì)標(biāo)定方法進(jìn)行驗(yàn)證，設(shè)計(jì)編排方案，對(duì)加速度計(jì)參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)，并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了分析，給出了結(jié)論。

1 靜態(tài)多位置可觀性分析

在靜態(tài)條件下，加速度計(jì)的測(cè)量值與輸出值的關(guān)系可表示為[7]

式（2）中，Ka為加速度計(jì)的刻度因數(shù)，Na為加速度計(jì)輸出的脈沖，f0為加速度計(jì)零偏，δa為加速度計(jì)的噪聲。將式（2）代入式（1），然后對(duì)其取模求平方，可得

化簡(jiǎn)可得

設(shè)

可將式（4）整理為如下形式

假設(shè)存在m（m≥10）個(gè)靜態(tài)位置的輸出，則有

在各加速度計(jì)的刻度因子符號(hào)已知的情況下，如果加速度計(jì)零偏滿足，則足夠多的靜態(tài)測(cè)試位置（m≥9）可保證加速度計(jì)測(cè)量組成的矩陣列滿秩，詳細(xì)推導(dǎo)過程見文獻(xiàn)[8]。綜上所述，當(dāng)存在足夠多的靜態(tài)位置（m≥9）時(shí)，加速度計(jì)的參數(shù)可觀。

2 編排方案設(shè)計(jì)

根據(jù)上文中靜態(tài)多位置可觀性分析的結(jié)果，當(dāng)存在足夠多的靜態(tài)位置，即滿足條件時(shí)，理論上可以對(duì)加速度計(jì)的標(biāo)度因數(shù)和零偏進(jìn)行估計(jì)。在實(shí)際設(shè)計(jì)編排方案時(shí)，需要通過轉(zhuǎn)臺(tái)為標(biāo)定提供足夠多的位置，使得上述條件得到滿足。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有設(shè)備，選用有限位的雙軸平臺(tái)作為實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)臺(tái)，其實(shí)物圖及重力儀如圖1所示。

圖1 雙軸平臺(tái)及重力儀Fig.1 Biax platform and gravimeter

實(shí)驗(yàn)室所用的重力儀采用了前上右的載體坐標(biāo)系，它的x軸與平臺(tái)的內(nèi)框旋轉(zhuǎn)軸重合，z軸與平臺(tái)的外框旋轉(zhuǎn)軸重合，平臺(tái)不存在繞天向軸的角運(yùn)動(dòng)。

該雙軸旋轉(zhuǎn)平臺(tái)的性能參數(shù)如表1所示，其在俯仰和橫滾方向上只能實(shí)現(xiàn)-30°～+30°之間的角運(yùn)動(dòng)。在進(jìn)行標(biāo)定路徑編排設(shè)計(jì)時(shí)，需要該平臺(tái)的性能參數(shù)及標(biāo)定加速度計(jì)所需滿足的條件。

表1 雙軸旋轉(zhuǎn)平臺(tái)的性能參數(shù)Table 1 Performance parameters of biax rotating platform

充分利用雙軸平臺(tái)的可旋轉(zhuǎn)角度，通過俯仰和橫滾方向上的角運(yùn)動(dòng)，使得加速度計(jì)與重力矢量之間的相對(duì)位置足夠多，則可對(duì)加速度計(jì)的參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。由于所用平臺(tái)為雙軸旋轉(zhuǎn)平臺(tái)，重力儀在天向軸方向上不存在角運(yùn)動(dòng)，因此在設(shè)計(jì)編排標(biāo)定路徑時(shí)，僅需考慮水平兩個(gè)軸的角運(yùn)動(dòng)。在路徑表中，“+”表示正向旋轉(zhuǎn)，“-”表示反向旋轉(zhuǎn)，數(shù)字代表所需旋轉(zhuǎn)的角度。例如，（+30°，+30°）表示繞內(nèi)框正向旋轉(zhuǎn)30°和繞外框正向旋轉(zhuǎn)30°，如圖 2（a）所示；而（+30°，-30°）表示繞內(nèi)框正向旋轉(zhuǎn)30°和繞外框負(fù)向旋轉(zhuǎn) 30°，如圖2（b）所示。

具體標(biāo)定路徑如表2所示。

圖2 旋轉(zhuǎn)后的平臺(tái)實(shí)物圖Fig.2 Drawing of the platform after rotation

表2 標(biāo)定路徑編排Table 2 Layout of calibration path

對(duì)于所設(shè)計(jì)的標(biāo)定路徑能否滿足傳感器參數(shù)估計(jì)的要求，需要進(jìn)行理論計(jì)算并與上文中提到的靜態(tài)多位置可觀的條件進(jìn)行比較。假設(shè)，在位置1時(shí)（轉(zhuǎn)臺(tái)零位時(shí)），加速度計(jì)所測(cè)得的重力理論值為正常重力，即fb=[0-g0]T，那么可以由此給出其他位置的加速度計(jì)的理論輸出；在位置2時(shí)（相對(duì)位置1內(nèi)框旋轉(zhuǎn)+30°），其理論輸出為；在位置3時(shí)（相對(duì)位置2外框旋轉(zhuǎn)+30°），其理論輸出為；在位置4時(shí)（相對(duì)位置3外框旋轉(zhuǎn)-60°），其理論輸出為。同理，可以計(jì)算其他位置的加速度計(jì)理論輸出。其中，g為標(biāo)準(zhǔn)重力值。將加速度計(jì)的理論輸出作為其實(shí)際的脈沖輸出，計(jì)算矩陣，得到

綜上所述，上文所設(shè)計(jì)的標(biāo)定路徑可以對(duì)加速度計(jì)的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并滿足實(shí)驗(yàn)要求。

3 實(shí)驗(yàn)及分析

在常溫下，對(duì)某型光纖陀螺捷聯(lián)式重力儀進(jìn)行標(biāo)定測(cè)試，所用重力儀如圖1所示，標(biāo)定所用路徑如表2所示，共有17個(gè)靜態(tài)位置，每個(gè)位置采樣100s。

將重力儀按指定方式安裝在雙軸旋轉(zhuǎn)平臺(tái)上，然后控制內(nèi)框和外框按上文中所設(shè)計(jì)的標(biāo)定路徑進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，記錄下各軸加速度計(jì)的脈沖輸出，具體如圖3所示。

圖3 3個(gè)軸的加速度計(jì)輸出Fig.3 Output of three-axes accelerometer

通過對(duì)輸出脈沖進(jìn)行數(shù)據(jù)截取，去除加速度計(jì)在旋轉(zhuǎn)過程中的脈沖，以此用于加速度計(jì)的參數(shù)估計(jì)[9]。以模標(biāo)定算法[8]為基礎(chǔ)，結(jié)合雙軸平臺(tái)的相關(guān)特點(diǎn)，對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)，可以得到加速度計(jì)參數(shù)的估計(jì)值，結(jié)果如表3所示。

以第1組實(shí)驗(yàn)為例，Ka對(duì)角線上元素與參考標(biāo)定結(jié)果的最大偏差為8.61607×10-8，對(duì)應(yīng)的傳感器刻度因子偏差為 8.61607×10-8/（1.515979×10-4）=565×10-6，而非對(duì)角線上元素的最大誤差為1.80993×10-6。從此結(jié)果來看，在對(duì)傳感器的刻度因數(shù)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，各加速度計(jì)的刻度因子估計(jì)效果較好，而3個(gè)加速度計(jì)之間的安裝誤差則估計(jì)較差，加速度計(jì)的零偏估計(jì)也較差。

表3 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)結(jié)果及參考標(biāo)定結(jié)果Table 3 Results of calibration experiment and reference calibration

此次實(shí)驗(yàn)對(duì)安裝誤差和零偏的估計(jì)值精度略差，這可能源于以下幾個(gè)原因：首先，在此次實(shí)驗(yàn)中，轉(zhuǎn)臺(tái)的角位置精度指標(biāo)為0.2°，轉(zhuǎn)臺(tái)精度誤差使得加速度計(jì)之間的安裝誤差被掩蓋，非對(duì)角線上的估計(jì)值可能包含轉(zhuǎn)臺(tái)的非正交誤差，轉(zhuǎn)臺(tái)精度誤差也導(dǎo)致其靜態(tài)位置難以保證足夠的精度，使得零偏的測(cè)量出現(xiàn)較大的誤差；其次，通過位置靜態(tài)測(cè)量，難以激勵(lì)出安裝誤差；最后，在進(jìn)行外場(chǎng)實(shí)驗(yàn)時(shí)，缺乏實(shí)驗(yàn)室的減震降噪條件，而在實(shí)驗(yàn)過程中靜止時(shí)間較短，難以通過濾波的方法平滑噪聲。下面，重點(diǎn)對(duì)加速度計(jì)的刻度因數(shù)進(jìn)行研究。

針對(duì)上文中安裝誤差估計(jì)值精度較低的問題，提出如下解決思路。根據(jù)文獻(xiàn)[8]，加速度計(jì)的線性脈沖輸出模型如下

式（9）中，[NaxNayNaz]T為采樣時(shí)間T的脈沖輸出，為各個(gè)加速度計(jì)輸入與輸出的比例關(guān)系，矩陣為安裝關(guān)系。假設(shè)安裝誤差角為小角度，可將式（9）化簡(jiǎn)為

由式（9）可知，各加速度計(jì)的刻度因子與安裝關(guān)系之間不相關(guān)，若安裝關(guān)系矩陣已知，求解刻度因子，然后用矩陣運(yùn)算計(jì)算加速度計(jì)的刻度因數(shù)。加速度計(jì)的外場(chǎng)標(biāo)定是充分利用已知條件對(duì)加速度計(jì)的部分參數(shù)進(jìn)行的重新標(biāo)定，而不是在實(shí)驗(yàn)室條件下的全參數(shù)標(biāo)定；加速度計(jì)之間的安裝誤差是由重力儀出廠過程中的制作工藝導(dǎo)致的，因此在重力儀的使用過程中，加速度計(jì)之間的安裝關(guān)系基本不變。

綜上所述，為解決外場(chǎng)標(biāo)定中安裝誤差估計(jì)精度較差的問題，可利用實(shí)驗(yàn)室三軸轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定出安裝關(guān)系，然后將此結(jié)果用于重力儀的外場(chǎng)標(biāo)定。表4為采用此方法的改進(jìn)后的刻度因數(shù)。

以第1組為例，改正后的非對(duì)角線元素精度提高了10～103量級(jí)，其非對(duì)角線元素與參考結(jié)果的最大偏差為 1.95997×10-10，則 1.95997×10-10/（3.45720×10-7）=567×10-6，與對(duì)角線的刻度因子偏差精度相當(dāng)。因此，此改進(jìn)方法較好地解決了安裝誤差估計(jì)精度較差的問題。

截取一段處于水平位置的靜態(tài)測(cè)量數(shù)據(jù)，分別使用第1組外場(chǎng)標(biāo)定的加速度計(jì)參數(shù)和實(shí)驗(yàn)室三軸轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定的加速度計(jì)參數(shù)進(jìn)行純慣導(dǎo)解算，其結(jié)果如圖4所示。

從2800s的導(dǎo)航解算結(jié)果來看，本文所用方法的經(jīng)度誤差略優(yōu)于實(shí)驗(yàn)室三軸轉(zhuǎn)臺(tái)的標(biāo)定效果，而在緯度誤差方面兩者則基本一致；從運(yùn)動(dòng)軌跡來看，本文所用方法也略優(yōu)于實(shí)驗(yàn)室標(biāo)定；具體到導(dǎo)航解算的位置誤差，經(jīng)過2800s的純慣性導(dǎo)航，本文所用方法使得導(dǎo)航精度提高了14m。綜上所述，本文所用標(biāo)定方法與實(shí)驗(yàn)室三軸轉(zhuǎn)臺(tái)標(biāo)定方法的純慣性導(dǎo)航精度相當(dāng)，證明了對(duì)加速度計(jì)進(jìn)行外場(chǎng)參數(shù)估計(jì)，可在一定程度上改善重力測(cè)量的精度。

表4 改進(jìn)后的Ka標(biāo)定結(jié)果Table 4 Improved calibration results of Ka

圖4 純慣性導(dǎo)航結(jié)果對(duì)比Fig.4 Results comparison of pure inertial navigation

4 結(jié)論

從以上的分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果來看，引入雙軸旋轉(zhuǎn)平臺(tái)，采用對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)要求的標(biāo)定算法，可以較為精確地估計(jì)加速度計(jì)的刻度因數(shù)，在一定程度上減少了重力儀逐次啟動(dòng)不重復(fù)性誤差，提高了重力儀的測(cè)量精度。當(dāng)然，在零偏的估計(jì)上還存在一定的問題，雙軸旋轉(zhuǎn)平臺(tái)的精度需要提高，需降低由轉(zhuǎn)臺(tái)相關(guān)誤差帶來的影響。在靜態(tài)測(cè)量時(shí)，可采用以時(shí)間換精度的策略，通過長(zhǎng)時(shí)間的測(cè)量來平滑噪聲。