李繼猛

（邵陽(yáng)學(xué)院理學(xué)院,湖南邵陽(yáng)422004）

0 引 言

討論時(shí)標(biāo)上一類(lèi)二階廣義Emden-Fowler型非線(xiàn)性中立型泛函動(dòng)態(tài)方程

的 振 蕩 性 ，這 里y(t)=x(t)+B(t)g(x(τ(t)))，φ1(u)=|u|λ-1u，φ2(u)=|u|β-1u，λ＞ 0,β＞ 0 為 實(shí)常數(shù)；T為任意時(shí)標(biāo)，Δ表示時(shí)標(biāo)T上的Δ-導(dǎo)數(shù)，其詳細(xì)敘述可參考文獻(xiàn)［1-4］。并假設(shè)方程（1）總滿(mǎn)足條件（H1）～（H4）：

（H1） 函 數(shù)A(t),B(t),b(t)P,(t)∈Crd(T,R)，且A(t)＞ 0，0 ≤B(t)＜ 1，b(t)≥ 0，P(t)＞ 0，-b/A∈R+。

（H2）函數(shù)τ(t),δ(t)均為定義在時(shí)標(biāo)T到T上的時(shí)滯函數(shù)，且滿(mǎn)足

（H3）函 數(shù)g(u),F(u)∈C(R,R)，且 當(dāng)u≠ 0時(shí)ug(u)＞ 0，uF(u)＞ 0，且存在常數(shù) 0＜η≤ 1和L＞ 0，使得

關(guān)于時(shí)標(biāo)的基本理論及時(shí)標(biāo)上動(dòng)態(tài)方程的理論可參考文獻(xiàn)［1-3］，方程（1）的解及其振蕩性定義可參考文獻(xiàn)［3-20］。由于考慮的是解的振蕩性，所以總假設(shè)時(shí)標(biāo)T是無(wú)界的：supT=+∞。對(duì)t0∈T且t0＞0，定 義 時(shí) 標(biāo) 區(qū) 間 為 [t0,+∞)T=[t0,+∞)∩T。本文僅關(guān)注方程（1）的非最終恒為零的解。

方程（1）包含了許多應(yīng)用廣泛的特殊方程，較為典型的有

對(duì)于這些方程，SAKER［5］率先討論了當(dāng)α＞1為正奇數(shù)之商時(shí)半線(xiàn)性動(dòng)態(tài)方程（E1）的振蕩性，得到了該方程的若干振蕩準(zhǔn)則，但其結(jié)果對(duì)0＜α≤1是不適用的。緊接著，韓振來(lái)等［6］討論了一般方程（E2）的振蕩性，推廣并改進(jìn)了文獻(xiàn)［5］的結(jié)果，但也要求λ＞1為2個(gè)正奇數(shù)之商且aΔ(t)≥ 0。之后，ERBE等［7］、CHEN等［8］利用時(shí)標(biāo)上的有關(guān)理論及黎卡提（Riccati）變換技巧研究了動(dòng)態(tài)方程（E3）的振蕩性，得到方程（E3）振蕩的一些判別準(zhǔn)則，推廣并改進(jìn)了以上有關(guān)結(jié)果，但也要求γ是2個(gè)正奇數(shù)之比。最近，張全信等［4，9-11］研究了二階半線(xiàn)性阻尼動(dòng)態(tài)方程（E4）的振蕩性（這里γ＞0），得到了大量關(guān)于該方程振蕩的判別準(zhǔn)則，但這些振蕩準(zhǔn)則對(duì)時(shí)滯函數(shù)都有較強(qiáng)的要求：“τ是嚴(yán)格遞增的可微函數(shù)且τ(T)=T”。在這些研究的基礎(chǔ)上，楊甲山［12］研究了時(shí)標(biāo)上更一般的動(dòng)態(tài)方程（1）的振蕩性，當(dāng)（H4）成立時(shí)得到了方程（1）振蕩的若干充分條件，去掉了文獻(xiàn)［4，9-11］中對(duì)時(shí)滯函數(shù)“τ是嚴(yán)格遞增的可微函數(shù)且τ(T)=T”的要求，遺憾的是，卻要求AΔ(t)≥ 0，因此，文獻(xiàn)［12］的結(jié)果對(duì)下列方程不適用：

其中，

本文的目的是在較寬松的條件下，研究方程（1）的振蕩性，改善以上文獻(xiàn)對(duì)方程的各種限制條件（如τ是嚴(yán)格遞增的可微函數(shù)且τ(T)=T；AΔ(t)≥0等），從而使得到的結(jié)果適用范圍更廣。

1 方程的振蕩準(zhǔn)則

引理1［2］若x(t)是Δ可微的且最終為正或最終為負(fù)，則

引理2［12］設(shè)A＞ 0,B＞ 0，λ＞ 0為常數(shù)，則

引理 3［12］設(shè)（H1）～（H4）成立，若x(t)是方程（1）的一個(gè)最終正解，則存在t1∈[t0,+∞)T，使得當(dāng)t∈[t1,+∞)T時(shí) ， 有y(t)＞ 0，yΔ(t)＞ 0，A(t)φ1(yΔ(t))＞ 0，[A(t)φ(yΔ(t))]Δ＜ 0，且1x(t)≥ [1-ηB(t)]y(t)。

定理1若存在函數(shù)φ∈C1(T,(0,+∞))，使得

常數(shù)δ0=G(T0)＜δ(t)，而T0≥t0充分大。則方程（1）在[t0,+∞)T上是振蕩的。

證明反證法。反設(shè)方程（1）在[t0,+∞)T上有一個(gè)非振蕩解x（t），不妨設(shè)x（t）為最終正解（若x（t）為最終負(fù)解，可令y(t)=-x(t)，類(lèi)似可證），存在t1∈[t0,+∞)T，當(dāng)t∈[t1,+∞)T時(shí)，x(t)＞ 0，x(τ(t))＞ 0，x(δ(t))＞ 0。 從 而 引 理 3 的 結(jié) 論成立。

由方程（1）得

由式（2），可得

事實(shí)上，由式（2），當(dāng)β＞ 1時(shí)，有

當(dāng)0＜β≤ 1時(shí)，有

由引理 3知，函數(shù)A(t)φ1(yΔ(t))=A(t)(yΔ(t))λ在t1∈[t0,+∞)T上單調(diào)減小，故可得

上式兩邊同除以y(δ(t))，整理得

類(lèi)似地，對(duì)充分大的T0∈[t0,+∞)T及δ0=G(T0)＜δ(t)，有

即

從而

于是，由θ(t,δ0)的定義知，

定義Riccati變換

則w(t)＞ 0（t∈ [T0,+∞ )T）。

若λ≤β，β＞ 1，由式（4）、（5）及引理3，有

由引理3，當(dāng)t∈[t1,+∞)T時(shí)，可得

事實(shí)上，由引理3的結(jié)論知，當(dāng)t∈[t1,+∞)T時(shí) ，有y(t)≤y(σ(t))，并 且 有A(t)(yΔ(t))λ≥A(σ(t))(yΔ(σ(t)))λ，由此即得式（9）。于是由式（8）和式（6），得

又y(t)＞ 0,yΔ(t)＞ 0，所以存在常數(shù)α＞ 0，使得y(σ(t))≥α，t∈ [t1,+∞ )T，從而

如果0＜β≤ 1，利用式（5），此時(shí)式（8）變?yōu)?/p>

類(lèi)似地，可推得式（10）仍然成立。于是，由式（10）及

引理2中的不等式，有

由式（12），進(jìn)一步可得

式（13）取上極限，由常數(shù)k,ω1及ω2的定義得到與式（3）矛盾的結(jié)論！

若λ＞β，β＞ 1，則與上面λ≤β，β＞ 1時(shí)的情形一樣，可得式（8）。由式（8），并利用式（6）、（7）及（9），可得

由引理3得，當(dāng)t∈[t1,+∞)T時(shí)，

即

亦即

從而

如果0＜β＜ 1，由式（5），類(lèi)似可得式（14）仍然成立。于是，由式（14）并利用引理2中的不等式，得

進(jìn)一步,由式（16）可得

上式取上極限，由常數(shù)k,ω1及ω2的定義得到與式（3）矛盾的結(jié)論！定理證畢。

注1若方程（1）中,γ=β，g（u）=u，（fu）=u，則由定理1可得方程（其中z（t）=x（t）+r（t）x（τ（t）），γ＞0）

的振蕩準(zhǔn)則，這就是文獻(xiàn)［13］中的定理3.1。顯然，本文無(wú)“τ=δ，τ是嚴(yán)格遞增可微的且τ°σ=σ°τ”限制條件；若方程（1）中γ=β，B(t)≡ 0，f(u)=u，則由定理 1可得方程（E4）的振蕩準(zhǔn)則，但本文無(wú)“τ是嚴(yán)格遞增可微的且τ(T)=T”限制條件；此外，定理1還去掉了文獻(xiàn)［12］的限制條件“AΔ(t)≥ 0”，而且，定理1的條件式（3）較文獻(xiàn)［12］的條件更加簡(jiǎn)潔。

用與文獻(xiàn)［12］定理2～定理6完全相同的方法，再結(jié)合定理1，可得到方程（1）其他類(lèi)型的振蕩準(zhǔn)則。

定理2如果存在函數(shù)φ∈C1(T,(0,+∞))和常數(shù)γ≥ 1，使得

其中函數(shù)Ψ(t)及常數(shù)k,ω1及ω2的定義同定理1，則方程（1）在[t0,+∞)T上是振蕩的。

例1考慮時(shí)標(biāo)T=[1,∞)T上的二階動(dòng)態(tài)方程（E5），即方程

再取T0＞ 1且δ0=g(T0)=1 ＜δ(t)，則

在定理1中取φ(t)=t，注意到β＞λ，L=1，則有

即定理1條件均滿(mǎn)足，因此，由定理1知，方程（E5）是振蕩的。