徐仁旭，徐會作，錢偉茂

（1.浙江建設(shè)職業(yè)技術(shù)學院人文與信息系，浙江杭州311231；2.溫州廣播電視大學教師教學發(fā)展中心，浙江溫州325000；3.湖州廣播電視大學遠程教育學院，浙江湖州313000）

0 引 言

設(shè)p∈R,a,b＞0,則Neuman-Sándor平均NS(a,b)[1],調(diào)和平均H(a,b),幾何平均G(a,b)，算術(shù)平均A(a,b),二次平均Q(a,b)和p階冪平均Mp(a,b)可分別定義為

對所有不同的正實數(shù)a和b成立。

近年來，Neuman-Sándor平均 NS(a,b)和其他二元平均的比較得到了深入研究，涉及的重要不等式可參見文獻[2-30]。

NEUMAN等[1]證明了不等式

對所有不同的正實數(shù)a和b均成立。

2012年，YANG[31]建立了不等式

對所有不同的正實數(shù)a和b成立，其中

文獻[32-33]證明了雙向不等式

對所有不同的正實數(shù)a和b成立當且僅當

本文的主要結(jié)果是給出以下幾個最佳參數(shù)α1,α2,α3,α4,β1,β2,β3,β4∈ (0,1)使得下列雙向不等式：

對所有不同的正實數(shù)a和b均成立。

1 引 理

為了證明主要結(jié)果，需引入以下相關(guān)引理。

引理1[34-35]設(shè)函數(shù)在[a,b]連續(xù)，在(a,b)可導，且g′(x)≠ 0。若f′(x)/g′(x)在(a,b)單調(diào)遞增（遞減），則函數(shù)[f(x)-f(a)]/[g(x)-g(a)]和[f(x)-f(b)]/[g(x)-g(b)]也在(a,b)單調(diào)遞增（遞減）。若f′(x)/g′(x)是嚴格單調(diào)的，則上述結(jié)論的單調(diào)性也是嚴格的。

引理2[36-37]設(shè)實冪級數(shù)和在 (-r,r)(r＞0)上 收 斂 ，且an,bn＞0對所有的n成立。 若序列{an/bn}嚴格單調(diào)遞增（遞減），則函數(shù)x?A(x)/B(x)在(0,r)嚴格單調(diào)遞增（遞減）。

引理3函數(shù)在區(qū)間嚴格單調(diào)遞減，且值域為

證明設(shè)f1(x)=sinh2(x)-x2,經(jīng)簡單計算可得

其中，

且

對所有n≥0成立。

注意到

引理4函數(shù)在區(qū)間嚴格單調(diào)遞增，值域為

證明設(shè)g1(x)=sinh2(x)-x2,

經(jīng)簡單計算可得

利用冪級數(shù)展開可得

其中，

且

對所有n≥0成立。

由 引 理 2和 等 式(9)及 不 等 式(10)、(11)得嚴格單調(diào)遞增。

注意到

引理5設(shè)p∈R，

則以下結(jié)論成立：

(i)若p=7/9,則當x∈ (0,1)時h(x)＜ 0。

證明(i)當p=7/9時,等式(13)可化為

對所有x∈(0,1)成立。即結(jié)論(i)得證。

由不等式(15)～(18)和等式(21)可得

對所有x∈(0,1)成立。

因此,由不等式(19)、(20)和(22)，結(jié)論(ii)得證。

引理6設(shè)p∈R,

則以下結(jié)論成立：

(i)若p=8/9,則當時,k(x)＞ 0;

證明(i)當p=8/9時，有

由等式(23)和不等式(25)得

因此, 由不等式(26)～(28)，結(jié)論(ii)得證。

2 主要結(jié)果及證明

定理1雙向不等式

對所有不同的正實數(shù)a和b成立當且僅當

證明不等式(29)可改寫成

由A(a,b),Q(a,b)和NS(a,b)是對稱和一階齊次的，不失一般性，假設(shè)a＞b＞0，設(shè)

則不等式(30)可化為

由不等式(31)及引理3得，不等式(29)對所有不同的正實數(shù)a和b成立當且僅當

定理2雙向不等式

對所有不同的正實數(shù)a和b成立當且僅當α2≤2/3，

不 失 一 般 性 ，假 設(shè)a＞b＞0，v=(a-b)/(a+

證明不等式(32)可改寫成則不等式(33)可化為

由不等式(34)及引理4，可得不等式(32)對所有不同的正實數(shù)a和b成立當且僅當α2≤2/3，β2≥ (1+

定理3雙向不等式

對所有不同的正實數(shù)a和b成立當且僅當

且β3≥ 7/9。

證明因H(a,b),Q(a,b)和NS(a,b)是對稱和一階齊次的，不失一般性，假設(shè)a＞b＞0，x=(a-b)/(a+b)∈ (0,1)且p∈ (0,1)。則根據(jù)式(1)和(2)得

經(jīng)簡單計算得

其中，

其中h(x)由等式(13)定義。

以下分2種情形證明。

情形1由引理5(ii)和 等 式 (41)可 知 ，存 在λ0∈ (0,1)，使 得H1(x)在嚴格單調(diào)遞減，在[λ0,1)嚴格單調(diào)遞增。

由等式(39)、(40)及H1(x)的分段單調(diào)性可得，存在λ∈ (0,1)使得H(x)在(0,λ]嚴格單調(diào)遞減，在[λ,1)嚴格單調(diào)遞增。

注意到此時等式(38)變成

由等式(36)、(37)和(42)及H(x)的分段單調(diào)性可得

對所有不同的正實數(shù)a和b成立。

情形2p=7/9。由引理5(i)和等式(41)可得，H1(x)在(0,1)嚴格單調(diào)遞增。

由 等 式 (36)、(37)、(39)、(40)及H1(x)的 單 調(diào) 性可得

對所有不同的正實數(shù)a和b成立。

注意到

由 等 式 (35)、(45)、(46)和 不 等 式 (43)、(44)，定 理 3得證。

定理4雙向不等式

對所有不同的正實數(shù)a和b成立當且僅當α4≤8/9，

證明因H(a,b),A(a,b),Q(a,b)和NS(a,b)是對稱和一階齊次的，不失一般性，假設(shè)a＞b＞0，且p∈ (0,1)，則由等式(1)和(2)得

經(jīng)簡單計算可得

其中，

k(x)由等式(23)定義。

以下分2種情形證明。

情形1p=8/9。由等式(54)和引理6(i)可知，嚴格單調(diào)遞減。

由 等 式 (48)、(49)、(51)、(52)及K1(x)的 單 調(diào) 性得到

對所有不同的正實數(shù)a和b成立。

情形2由等式(54)和引理 6(ii)得,存在使得K1(x)在嚴格遞增，在嚴格遞減。

由等式(53)得到

由等式(51)、(52)和不等式(56)及K1(x)的分段單調(diào)性可知，存在使得K(x)在 (1,μ]單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。

注意到等式(50)變?yōu)?/p>

因 此,由式(48)、(49)和(57)及K(x)的分段單調(diào)性可得

對所有不同的正實數(shù)a和b成立。注意到

由 等 式 (47)、(59)、(60)和 不 等 式 (55)、(58)，定 理 4得證。