廣東省華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631)張佳淳 何小亞

“數(shù)學(xué)教育的未來之路是以理解、探究、問題解決為價(jià)值取向,追求數(shù)學(xué)素養(yǎng)的達(dá)成,并促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.”[1]于是,教數(shù)學(xué)就不能只是達(dá)到“知其然而不知其所以然”的工具性理解水平,而應(yīng)該要達(dá)到“知其然且知其所以然”的關(guān)系性理解水平.2011年上海松江區(qū)特級(jí)教師阮曉明等老師的調(diào)查表明[2],教師、學(xué)生都認(rèn)為二面角是高中數(shù)學(xué)十大難點(diǎn)概念之一,教師認(rèn)為其難度排第七,學(xué)生認(rèn)為其難度排第一.學(xué)生的認(rèn)知障礙是：(1)空間想象能力差、作不出平面角；(2)不理解二面角的大小為什么要用其平面角的大小來度量,更不清楚為什么二面角能用二面角的平面角進(jìn)行度量? 為了解決這些問題,我們給出了基于探究活動(dòng)的教學(xué)新設(shè)計(jì).

授課課題《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)(A 版)》必修2(人教版),第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.3.2 節(jié)二面角及其度量,第一課時(shí).

教材分析二面角是在學(xué)習(xí)了直線與直線所成的角、直線與平面所成的角之后,我們將領(lǐng)會(huì)的另一種“角”的概念,用它可以去描述兩個(gè)平面相交時(shí)的位置關(guān)系.學(xué)好這一概念對(duì)后續(xù)理解兩個(gè)平面的垂直關(guān)系和計(jì)算兩個(gè)平面所成角的大小是一個(gè)重要的基礎(chǔ).兩個(gè)平面相交時(shí),它們的相對(duì)位置可由兩個(gè)平面所成的“角”確定,而如何度量二面角的大小是一個(gè)難點(diǎn).根據(jù)定義異面直線所成角和線面角的經(jīng)驗(yàn),可以用化歸為“平面角”度量的思想來定義兩個(gè)半平面所成的角.

學(xué)情分析1.認(rèn)知基礎(chǔ)：在本節(jié)課之前,學(xué)生已學(xué)過斜投影、正投影；等角定理、異面直線所成角的定義,并初步接觸到空間問題化歸為平面問題的思想；線面垂直的判定、線面角的定義.2.認(rèn)知障礙：二面角大小的度量.

教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：(1)理解二面角及其平面角的定義；(2)學(xué)會(huì)用定義法作二面角的平面角.

2.過程與方法：經(jīng)歷二面角平面角的概念建構(gòu)過程,領(lǐng)悟化歸的數(shù)學(xué)思想,積累水平數(shù)學(xué)化(horizontal mathematization)[2]的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：(1)感受二面角平面角的發(fā)現(xiàn)樂趣,培養(yǎng)探究精神；(2)感受數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的魅力,激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣.

教學(xué)重點(diǎn)二面角及其平面角的定義,定義法作二面角平面角.

教學(xué)難點(diǎn)二面角大小的度量；度量的本質(zhì).

教學(xué)關(guān)鍵類比異面直線所成角和線面角,將二面角化歸為平面角；從長度、面積、體積、角、重量的度量去概括度量的本質(zhì).

教學(xué)方法問題驅(qū)動(dòng)、引導(dǎo)探究.

教學(xué)工具鏡子、手電筒、自制二面角投影模型、工字釘、激光筆、吸管、三角板、PPT、幾何畫板.

教學(xué)流程設(shè)計(jì)

各個(gè)流程的設(shè)計(jì)意圖：

設(shè)計(jì)意圖新知引入根據(jù)桑代克試誤學(xué)習(xí)理論中的“準(zhǔn)備律”,應(yīng)用“曹沖稱象”引入“化歸思想”,利用生活中的二面角實(shí)例(鏡子)創(chuàng)設(shè)情境,使學(xué)生處于學(xué)習(xí)的“饑餓狀態(tài)”,從而激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生彌補(bǔ)心理缺口的學(xué)習(xí)動(dòng)力.探索新知通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng),探究出二面角的度量方法,彌補(bǔ)“心理缺口”,歸納出二面角平面角的定義,理解二面角平面角的定義合理性.小試牛刀通過變式練習(xí),讓學(xué)生掌握二面角平面角的作法,體會(huì)二面角平面角的意義：度量兩個(gè)半平面所成角的大小。根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論,設(shè)計(jì)一系列的、逐步遞進(jìn)的變式題,幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)增長才智.小結(jié)提升回顧整節(jié)課所學(xué)內(nèi)容,并讓學(xué)生感受化歸思想的力量,認(rèn)識(shí)到追求簡單化是數(shù)學(xué)的靈魂.作業(yè)布置通過金字塔計(jì)算二面角,讓學(xué)生嘗試解決無棱二面角問題；小組作業(yè)使學(xué)生對(duì)化歸思想有更深刻的認(rèn)識(shí),反思問題使學(xué)生認(rèn)識(shí)到中學(xué)數(shù)學(xué)度量的本質(zhì).

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

(一)新知引入(3min)

(二)探索新知(15min)

時(shí)間教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖0.5min先利用鏡子模型,引入新概念“二面角”,類比平面角,引入定義、組成及表示.那么如何度量呢? 這就是我們今天要探究的內(nèi)容了.觀察發(fā)現(xiàn)二面角可大可小.1min聯(lián)系其它空間角的度量異面直線所成角和線面角,怎么度量? 它們都是把復(fù)雜的空間問題化歸為簡單的平面問題.現(xiàn)在我們要度量的第三種空間角-二面角是不是也可以化歸為平面角來度量呢?發(fā)現(xiàn)空間角都化歸為平面角度量.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)之投影平移顯然不行,投影呢? 展示二面角模型.images/BZ_37_852_1501_1321_2022.png圖1二面角模型實(shí)物圖5min(1)實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)：用正投影(即手電筒光線和投影面垂直)并在投影面上看到由射線-點(diǎn)-射線組成的平面角.(2)實(shí)驗(yàn)過程：初次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)得不到平面角,逐步移動(dòng)手電筒,在投影面上得到平面角.(3)實(shí)驗(yàn)結(jié)果：平面角的形成①點(diǎn)的形成：用工字釘確定點(diǎn)的位置,用激光筆代替手電筒,發(fā)現(xiàn)光線穿過棱,使“線成點(diǎn)”；②射線的形成：垂直投影面的光線,使“面成線”；③射線的特殊性：由棱與投影面垂直,根據(jù)線面垂直的判定,得到投影面上形成的兩條射線垂直于棱.觀察實(shí)驗(yàn)操作通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng),探究出二面角的度量方法,彌補(bǔ)“心理缺口”.

(續(xù)上表)

(三)小試牛刀(14min)

?時(shí)間教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖images/BZ_39_1059_665_1327_947.png8min例1 如圖5,在棱長為1 的正方體ABCD -A1B1C1D1 中,找出并計(jì)算二面角C1-BDC 的平面角.圖5變式1 二面角A1-AB-D變式2 二面角C1-BD-A變式3 二面角D1-AB-D學(xué)生聽講并動(dòng)手解決問題強(qiáng)化二面角平面角在度量二面角大小的應(yīng)用,并體現(xiàn)“追求簡單化”這一數(shù)學(xué)的靈魂.通過變式練習(xí),讓學(xué)生掌握二面角平面角的作法,變式4 如圖6,已知三棱錐D - ABC 的三個(gè)側(cè)面與底面全等,且AB=AC =■6min 3,BC=2,E 為BC 的中點(diǎn),求以BC 為棱,images/BZ_39_1049_1338_1328_1662.png圖6以面BCD 與面BCA 為面的二面角的大小?體會(huì)二面角平面角的意義：度量兩個(gè)半平面所成角的大小.根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論,設(shè)計(jì)一系列、逐步遞進(jìn)的變式題,幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)增長才智.

(四)小結(jié)提升(5min)

時(shí)間教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖5min受“曹沖稱象”所用“化歸思想”的啟發(fā),嘗試解決“度量鏡子”的問題.類比其他空間角的度量,將二面角化歸為平面角進(jìn)行度量,再次體會(huì)到“化歸思想”的力量.用化歸思想解決了三種空間角的度量問題.學(xué)生回顧思考回顧整節(jié)課所學(xué)內(nèi)容,并讓學(xué)生感受化歸思想的力量,認(rèn)識(shí)到追求簡單化是數(shù)學(xué)的靈魂.

(五)布置作業(yè)(3min)

時(shí)間教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖1.(生活問題)埃及的金字塔世界聞名,如圖7所示金字塔,已知PA 與正方形ABCD 所在的平面垂直,且PA=PB,求平面PAB 與平面PCD 所成二面角的度數(shù).3min images/BZ_40_846_1014_1159_1327.png學(xué)生思考完成課后作業(yè)通過計(jì)算金字塔上的二面角,讓學(xué)生嘗試解決無棱二面角問題；圖72.小組作業(yè)：(1)回顧你之前學(xué)過的哪些知識(shí)或問題解決時(shí)用到了化歸思想.images/BZ_40_765_1710_1240_2033.png圖8(2)你能否用化歸思想解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題或生活問題,數(shù)學(xué)來源于生活,又應(yīng)用于生活.3.挑戰(zhàn)性反思：從我們學(xué)過的線段的度量、面積的度量、體積的度量、角、重量的度量去思考-度量的本質(zhì)是什么?小組作業(yè)使學(xué)生對(duì)化歸思想有更深刻的認(rèn)識(shí),反思問題使學(xué)生認(rèn)識(shí)到度量的本質(zhì).

板書設(shè)計(jì)(略)

本教學(xué)設(shè)計(jì)的創(chuàng)新之處

1.用教材沒有的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)-光線正投影照射二面角模型,探索二面角大小的度量,使學(xué)生積累了水平數(shù)學(xué)化的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2.在概念教學(xué)中實(shí)現(xiàn)了化歸思想的滲透,將“追求簡單化”這一數(shù)學(xué)的靈魂貫穿始終；并通過小組作業(yè),體會(huì)數(shù)學(xué)思想的實(shí)用價(jià)值,數(shù)學(xué)是有用的!

3.彌補(bǔ)了教材中的標(biāo)題沒有“度量”這個(gè)詞匯的遺憾,將二面角的度量作為教學(xué)主線貫穿始終.并通過對(duì)挑戰(zhàn)性問題的反思,提升學(xué)生對(duì)度量的認(rèn)識(shí)水平：中學(xué)數(shù)學(xué)中度量的本質(zhì)就是以小量大!