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淺談數(shù)學(xué)史在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值

2019-08-07 01:05藍(lán)新容
關(guān)鍵詞:起源歷史

藍(lán)新容

【摘要】抽屜原理也被稱為鴿巢原理,它是初等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的原理.本文首先給出了它的起源與歷史,接下來(lái)給出了其數(shù)學(xué)表達(dá)形式并且給出了原理的證明以及使用規(guī)范,其次分析了在初等數(shù)學(xué)教學(xué)中講述抽屜原理的必要性,同時(shí)給出了初等數(shù)學(xué)不同學(xué)段對(duì)抽屜原理的講授程度、方式,以及與之相對(duì)應(yīng)的典型案例,最后給出了關(guān)于原理的認(rèn)識(shí)與小結(jié).

【關(guān)鍵詞】抽屜原理;起源;歷史;使用規(guī)范;初等數(shù)學(xué)教學(xué)

一、抽屜原理的起源與歷史

(一)國(guó)外起源與歷史

抽屜原理又叫鴿籠原理,它是由德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷首先于19世紀(jì)初期發(fā)現(xiàn)的,亦稱狄利克雷原理,狄利克雷給出的定義是這樣的:“如果有五個(gè)鴿子籠,養(yǎng)鴿人養(yǎng)了6只鴿子,那么當(dāng)鴿子飛回籠中后,至少有一個(gè)籠子中裝有2只鴿子.”最早狄利克雷是運(yùn)用抽屜原理去解決數(shù)論的問(wèn)題.

19世紀(jì)中葉德國(guó)數(shù)學(xué)家閔可夫斯基也運(yùn)用該原理得到許多重要結(jié)果.20世紀(jì)初期杜爾首次利用鴿籠原理來(lái)解決不定方程的有理數(shù)解的問(wèn)題.并且發(fā)表了12篇論文都用到了抽屜原理.大約同一時(shí)期西根利用杜爾的結(jié)果發(fā)現(xiàn)了西根引理,并且將其作為最基本的工具研究超越數(shù).

(二)國(guó)內(nèi)起源于歷史

中國(guó)古代數(shù)學(xué)在許多領(lǐng)域都取得了重大成就,當(dāng)然,對(duì)抽屜原理也是有過(guò)一些自己的表述,《晏子春秋》里有一個(gè)“二桃殺三士”的故事.這個(gè)故事就包含了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)原理──抽屜原理.另外,在宋代費(fèi)袞的《梁溪漫志》中,就曾運(yùn)用抽屜原理來(lái)批駁“算命”一類迷信活動(dòng)的謬論.費(fèi)袞指出:把一個(gè)人出生的年、月、日、時(shí)作算命的根據(jù),把“時(shí)”作為“抽屜”,不同的抽屜只有12×365×24=105120個(gè).從而有力地從數(shù)學(xué)角度上反駁了“算命”.

二、抽屜原理的數(shù)學(xué)表達(dá)形式

(一)第一抽屜原理

原理1 把多于(n+1)個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里,則至少有一個(gè)抽屜里的東西不少于兩件.

證明 (反證法)如果每個(gè)抽屜至多只能放進(jìn)一個(gè)物體,那么物體的總數(shù)至多是n×1,而不是題設(shè)的n+k(k≥1),故不可能.

推論一 設(shè)把(n+1)個(gè)元素劃分至n個(gè)集合中(A1,A2,…,An),用a1,a2,…,an分別表示這n個(gè)集合對(duì)應(yīng)包含的元素個(gè)數(shù),則至少存在某個(gè)集合Ai,其包含元素個(gè)數(shù)值ai大于或等于2.

證明 (反證法)假設(shè)結(jié)論不成立,即對(duì)每一個(gè)ai都有ai<2,則因?yàn)閍i是整數(shù),應(yīng)有ai≤1,

于是有:a1+a2+…+an≤1+1+…+1=n

所以,至少有一個(gè)ai≥2,即必有一個(gè)集合中含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素.

原理2 把無(wú)窮多件物體放入n個(gè)抽屜,則至少有一個(gè)抽屜里有無(wú)窮個(gè)物體.

證明 (反證法)將無(wú)窮多個(gè)元素分為有限個(gè)集合,假設(shè)這有限個(gè)集合中的元素的個(gè)數(shù)都是有限個(gè),則有限個(gè)有限數(shù)相加,所得的數(shù)必是有限數(shù),這就與題設(shè)產(chǎn)生矛盾,所以,假設(shè)不成立,故必有一個(gè)集合含有無(wú)窮多個(gè)元素.(借由康托的無(wú)窮基數(shù)可將鴿巢原理推廣到無(wú)窮集中.)

說(shuō)明一 原理1,原理2,都是對(duì)第一抽屜原理的表述,其反映的問(wèn)題本質(zhì)數(shù)相同的,其中對(duì)“至少”的理解應(yīng)該是思維的核心.

說(shuō)明二 由康托的無(wú)窮基數(shù)理論可將鴿巢原理推廣到無(wú)窮集中.

(二)第二抽屜原理

原理1 把(m×n-1)個(gè)物體放入n個(gè)抽屜中,其中必有一個(gè)抽屜中至多有(m-1)個(gè)物體.

例 將19個(gè)物體放入5個(gè)抽屜中,則必定有一個(gè)抽屜中的物體至多為3個(gè).由第二抽屜原理?xiàng)l件:n=5(m×n-1=19),即5m-1=19,m=4;由第二抽屜原理結(jié)論必有一個(gè)抽屜至多有m-1=4-1=3個(gè)物體.

證明 (用反證法)假設(shè)結(jié)論不成立,即對(duì)每一ai都有ai≤nk,a1+a2+…+ak≤nk+nk+…+nk=knk=n,k個(gè)nk,∴a1+a2+…+ak

說(shuō)明三 高斯函數(shù)[x]定義:對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,[x]表示“不大于x的最大整數(shù)”.一般地,我們有:[x]≤x<[x]+1.

三、抽屜原理使用規(guī)范

在使用抽屜原理解決問(wèn)題時(shí),實(shí)質(zhì)是對(duì)“至多”“至少”問(wèn)題的一種處理方式,關(guān)鍵恰恰是對(duì)抽屜的構(gòu)造,在所謂的“二桃殺三士”中,桃子是“抽屜”,只有兩個(gè),勇士是“物體”,有三個(gè),物體數(shù)多于抽屜數(shù),所以產(chǎn)生矛盾.

在抽屜原理的使用中,抽屜的構(gòu)造是關(guān)鍵,構(gòu)造抽屜實(shí)際上就是要“尋找到合理的分類,將問(wèn)題數(shù)學(xué)抽象化”,在數(shù)學(xué)之中易于想到的是區(qū)間,數(shù)組,圖形等構(gòu)造抽屜.下面將給出在初等數(shù)學(xué)不同學(xué)段對(duì)抽屜原理的講授程度、方式,以及與之相對(duì)應(yīng)的例子,希望對(duì)廣大初中數(shù)學(xué)教師所幫助.

四、對(duì)抽屜原理在初等數(shù)學(xué)教學(xué)中的認(rèn)識(shí)

在初等數(shù)學(xué)的不同階段有不同的目標(biāo).其中,知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思考、解決問(wèn)題、情感與態(tài)度的發(fā)展四個(gè)方面的目標(biāo)是一個(gè)密切聯(lián)系的有機(jī)整體,對(duì)人的發(fā)展具有十分重要的作用,它們是在豐富多彩的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)的.抽屜原理在初等數(shù)學(xué)教學(xué)中可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)好玩的作用,幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象,數(shù)學(xué)的思考,學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維分析問(wèn)題的意識(shí),因此,在初等數(shù)學(xué)之中結(jié)合學(xué)生思維及心理發(fā)展以及教材安排講解抽屜原理是不可或缺的.

(一)對(duì)抽屜原理在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的認(rèn)識(shí)

在小學(xué)階段的新課標(biāo)數(shù)學(xué)教學(xué)總目標(biāo)之中明確提出了知識(shí)與技能目標(biāo):經(jīng)歷提出問(wèn)題、收集和處理數(shù)據(jù)、做出決策和預(yù)測(cè)的過(guò)程,掌握統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,并能解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.解決問(wèn)題目標(biāo):形成解決問(wèn)題的一些基本策略,體驗(yàn)解決問(wèn)題策略的多樣性,發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神.為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ),培養(yǎng)好的數(shù)學(xué)習(xí)慣.

以教育部2013年審定通過(guò)北京師范大學(xué)出版的義務(wù)教育小學(xué)教科書(shū)為參考,容易發(fā)現(xiàn)在書(shū)中第一冊(cè)至十二冊(cè)都有以數(shù)學(xué)好玩為單獨(dú)模塊,在四年級(jí)上冊(cè)的第八節(jié)講解了“可能性”即不確定性.同時(shí)在五年級(jí)上冊(cè)第七節(jié)也安排了“可能性”的內(nèi)容作為補(bǔ)充.另外,在四年級(jí)下冊(cè)第六節(jié)講解了“數(shù)據(jù)的分析與表示”,在六年級(jí)上冊(cè)第五節(jié)安排了“數(shù)據(jù)處理”,這樣安排是完全符合學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展心理學(xué)的.

根據(jù)這樣的安排可以在六年級(jí)上冊(cè)第五節(jié)講完數(shù)據(jù)處理之后,在下一次課程可以通過(guò)“二桃殺三士”的故事,通過(guò)引導(dǎo)將抽屜原理一講述給學(xué)生,再舉下面一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

首先教師:講述“二桃殺三士”的故事,給出國(guó)外數(shù)學(xué)家狄利克萊解決這樣問(wèn)題的方法“狄利克萊原理”也稱為第一抽屜原理.提出解決這樣類似的問(wèn)題關(guān)鍵是尋找“抽屜”在這個(gè)故事之中2個(gè)桃子就是抽屜.

下面給出一個(gè)關(guān)于抽屜原理的實(shí)際問(wèn)題

問(wèn)題:將4支鉛筆放入3個(gè)筆筒一共有多少種放法?這些放法有什么特點(diǎn)?

學(xué)生分組討論:每組準(zhǔn)備4支鉛筆3個(gè)筆筒.

小組合作:將鉛筆放進(jìn)筆筒,觀察結(jié)果,并做如下記錄,第一個(gè)筆筒放1支,第二個(gè)筆筒放枝1支,第三個(gè)筆筒放2支,計(jì)為(1,1,2).

匯總小組結(jié)果:發(fā)現(xiàn)結(jié)果有(0,0,4),(0,1,3),(0,2,2),(1,1,2).

引導(dǎo)學(xué)生觀察四種放置結(jié)果有何共同點(diǎn),得出至少有一個(gè)筆筒里面有兩支鉛筆.

教師板書(shū):4÷3=1(支)……1,教師引導(dǎo)學(xué)生歸納得出:至少數(shù)=商+1.

教師進(jìn)一步提出假如變成5支鉛筆放入3個(gè)筆筒,提問(wèn)學(xué)生得出結(jié)果教師板書(shū)出為(0,0,5),(0,1,4),(0,2,3),(1,1,3),(1,2,2).

教師板書(shū):5÷3=1(支)……2,至少數(shù)=商+1仍然成立.

教師總結(jié):“本題之中抽屜就是筆筒數(shù)量”,總結(jié)出的結(jié)論至少數(shù)=商+1,實(shí)際上就是抽屜原理的一種表述形式.

(二)對(duì)抽屜原理在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的認(rèn)識(shí)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)總目標(biāo)當(dāng)中指出發(fā)展學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)與基礎(chǔ)技能、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間觀念、解決簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.

所以在數(shù)據(jù)整理與概率統(tǒng)計(jì)部分在2012年教育部審定通過(guò)的北京師范大學(xué)出版社出版的義務(wù)教育教科書(shū)中在七年級(jí)上冊(cè)第六章給出了“數(shù)據(jù)收集與整理”等關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)的入門知識(shí),接著在七年級(jí)下冊(cè)的第六章“概率初步”給出了隨機(jī)事件與簡(jiǎn)單的概率的計(jì)算,在八年級(jí)上冊(cè)第六章“數(shù)據(jù)的分析”給出了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等來(lái)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行刻畫(huà),在九年級(jí)上冊(cè)中“對(duì)概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)”則通過(guò)游戲是否公平,投針試驗(yàn),生日日期相同的概率三個(gè)比較具有代表性的案例.

初中階段的學(xué)生具有了自己對(duì)概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)與思考,同時(shí)在初中階段是學(xué)生身心發(fā)展最迅速的時(shí)期,對(duì)知識(shí)的渴求十分強(qiáng)烈,蘇聯(lián)維果茨基的最近發(fā)展區(qū)指出教學(xué)一方面,要適應(yīng)學(xué)生現(xiàn)有的水平,但更重要的是發(fā)揮教學(xué)對(duì)發(fā)展的主導(dǎo)作用,走在兒童發(fā)展的前面,在九年級(jí)上冊(cè)講解了三個(gè)案例之后根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論給出第二抽屜原理,同時(shí)可以給出類似于下面的一個(gè)例子,以幫助初中學(xué)生進(jìn)一步提升運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

例 在3×4的長(zhǎng)方形中,任意放置七個(gè)點(diǎn),必有兩個(gè)點(diǎn)的距離至多為5.

分析 如圖1所示的為3×4=12的長(zhǎng)方形,將其分割成2×1的小矩形如圖2所示,可以得到6個(gè)形如圖2所示的2×1的小矩形,由此就構(gòu)造了6個(gè)抽屜,那么對(duì)任意放置的七個(gè)點(diǎn),必有兩點(diǎn)落入其中一個(gè)形如圖2所示的小矩形之中.

教師引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題的本質(zhì),唯有揭示本質(zhì)的東西才是易于推廣的,分析問(wèn)題實(shí)質(zhì)是第二抽屜原理的應(yīng)用,構(gòu)造6個(gè)抽屜,由第二抽屜原理12÷7≈1.71,[1.71]=2,故至少有一個(gè)抽屜要放置兩個(gè)點(diǎn).根據(jù)對(duì)角線最長(zhǎng)原理,容易得到5.

(三)對(duì)抽屜原理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的認(rèn)識(shí)

高中數(shù)學(xué)課程的總目標(biāo)是:使學(xué)生在九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步提高作為未來(lái)公民所必要的數(shù)學(xué)素養(yǎng),以滿足個(gè)人發(fā)展與社會(huì)進(jìn)步的需要.包括必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,空間想象、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力.提高提出、分析和解決問(wèn)題(包括簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題)的能力,數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力,發(fā)展獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.

以2004年審議通過(guò)的人民教育出版社出版的人教A版普通高中實(shí)驗(yàn)教科書(shū)的編排來(lái)看,在必修三用一冊(cè)書(shū)來(lái)在義務(wù)教育的基礎(chǔ)之上進(jìn)一步講統(tǒng)計(jì)概率,學(xué)完這部分知識(shí),中學(xué)階段學(xué)生已經(jīng)具有了很強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)思維以及概率意識(shí),但是,對(duì)學(xué)過(guò)的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的有用性缺乏信心,在這樣的情況之下數(shù)學(xué)教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者可以給出利用階段學(xué)過(guò)的知識(shí)為背景的一個(gè)情境豐富,實(shí)際應(yīng)用性較強(qiáng)的關(guān)于抽屜原理的案例,幫助這個(gè)階段的學(xué)生提升對(duì)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的重要性的認(rèn)識(shí).同時(shí)發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

例 證明對(duì)任意給定的2010個(gè)自然數(shù)ai(1≤i≤2010)中可以找到若干個(gè)數(shù),使得它們的和是2010的倍數(shù).

證明 以0,1,2,…,2009,即被2010除的余數(shù)分類制造抽屜,將下列數(shù)作為抽屜中的元素:

s1=a1,s2=a1+a2,s3=a1+a2+a3,…,s2010=a1+a2+a3+…+a2009+a2010.

如果上述2010個(gè)數(shù)中有一個(gè)數(shù)是2010的倍數(shù),則問(wèn)題得證;如若不然,根據(jù)抽屜原理,至少存在兩個(gè)數(shù)sm,sn,它們被2010整除余數(shù)相同,則它們的差sm-sn,仍然為ai(1≤i≤2010)中若干個(gè)數(shù)之和可以被2010整除,綜上,命題得證.

五、小 結(jié)

總之,在給出抽屜原理的背景及相關(guān)概念的基礎(chǔ)之上,結(jié)合現(xiàn)行使用相對(duì)廣泛的初等數(shù)學(xué)教材教法詳細(xì)分析了在初等數(shù)學(xué)教學(xué)之中講述抽屜原理的時(shí)間階段、內(nèi)容、程度,力求符合數(shù)學(xué)教育學(xué)的規(guī)律和教育心理學(xué)對(duì)學(xué)生身心發(fā)展的要求,并且希望通過(guò)抽屜原理滲透數(shù)學(xué)文化,數(shù)學(xué)史的一些內(nèi)容使得學(xué)生在初等數(shù)學(xué)階段愛(ài)上數(shù)學(xué),同時(shí)對(duì)廣大的中學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)有所幫助和啟發(fā).

【參考文獻(xiàn)】

[1]張文俊.數(shù)學(xué)欣賞[M].北京:科學(xué)出版社,2011:137-142.

[2]李雪敏,沈林.抽屜原理及其應(yīng)用[J].旅游縱覽,2013(9):292.

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