馬馳騁　張希農　代祥俊　周長城　郭宗和

摘要： 軸向運動結構是一類廣泛使用的工程傳送元件，而在傳送過程中常常包含質量運動或者質量變化，質量的運動或改變和軸向運動間相互耦合作用，使結構的振動更加突出。為滿足軸向運動機構高精度準定位的需求，圍繞含變質量構件的機械臂結構，開展變質量-軸向運動耦合作用結構的振動主動控制研究。首先基于Galerkin法和模態(tài)疊加法建立了變質量-軸向運動壓電梁的控制方程，然后針對系統(tǒng)的時變特性，設計LQG控制器對系統(tǒng)進行振動主動控制，并分析了多種工況下結構的振動抑制問題，最后采用Choi-Williams分布將信號在時頻域上分解，分析了控制前后系統(tǒng)的時頻特性。數(shù)值分析表明，施加LQG控制后，系統(tǒng)的橫向振動在相關頻率內都得到了有效的抑制，使用Choi-Williams分布可以準確反映系統(tǒng)振動頻率與振動能量隨時間的變化規(guī)律。通過研究含時變參數(shù)的軸向運動結構的運動特性和振動主動控制，對于智能機械臂結構設計具有一定指導意義。

關鍵詞： 振動主動控制; 軸向運動梁; 變質量; LQG控制器

中圖分類號： TB 535? 文獻標志碼： A? 文章編號： 1004-4523（2019）03-0396-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.03.003

引 言

柔性機械臂結構在工程搬運或者傳輸?shù)刃袠I(yè)極大程度上替代了人力勞動，有效提高了質量傳輸效率。然而構件的軸向運動或者物品質量的變化都會引起結構整體參數(shù)的改變，關于含變質量構件的軸向運動結構的動力學問題研究，開展的相對較晚，而在各類交通工具，車橋耦合系統(tǒng)，空天大型柔性結構和荷載機械臂等實際工程問題中，又迫切地需要開展變質量-軸向運動系統(tǒng)的動力學響應及其振動主被動控制方面的科學研究。

Marynowski等詳細總結了軸向運動結構的研究進展，隨著工業(yè)自動化的普及，有關軸向運動結構動力學問題的研究近年來迅速增多[1]。Ghayesh等[2]為解決時變速度軸向運動梁的非線性動力學問題，在計算中綜合使用了Galerkin法、模態(tài)疊加法和偽弧長法，F(xiàn)FT變換等技術，對分析軸向運動結構提供了一種參考。Yang等[3]針對軸向運動梁的橫向與縱向耦合振動，基于 Galerkin法推導了系統(tǒng)的運動方程，通過調整速度參數(shù)，得到了系統(tǒng)振動能量傳遞規(guī)律，結果表明耦合振動的能量轉移可以用來實現(xiàn)結構的振動控制。呂海煒等[4]提出了一種全新的夾層梁理論，用于建立軸向運動軟夾層梁橫向振動控制方程，比傳統(tǒng)軸向運動夾層梁模型的應用范圍更廣，更有普適性?？紤]梁的剪切變形的影響，陳紅永等[5]研究了軸向運動Timoshenko梁在軸向載荷作用下的振動特性，探索了影響臨界速度和臨界載荷的因素，對于軸向受載運動系統(tǒng)設計具有一定指導意義。劉金建等[6]重點研究了軸向運動黏彈性梁橫向振動的穩(wěn)定性問題，分析了軸向勻速運動中功能梯度黏彈性梁亞臨界區(qū)域內橫向振動的復頻率隨軸向運動速度、材料梯度指數(shù)等參數(shù)的變化情況。

從上述軸向運動結構動力學問題的研究中發(fā)現(xiàn)，軸向運動會顯著影響機械臂結構的操作精度和運動穩(wěn)定性，采用主動控制來提高結構的運動精度是一項迫切而可行的工作。張偉等針對軸向運動弦線和作動器組成的耦合系統(tǒng)的橫向振動控制，采用自適應方法[7]和Lyapunov方法[8]，均對該類系統(tǒng)的振動進行了有效的控制。He等[9]則對有輸出約束的運動弦系統(tǒng)進行了振動控制研究。劉定強等[10]利用有限差分法，采用二次最優(yōu)控制和速度反饋法分析軸向運動矩形薄膜橫向振動的控制問題，并給出了最優(yōu)控制律。王亮等[11-12]提出主動振子和主動力兩種方法，有效地控制了軸向運動速度、變長度懸臂梁的橫向振動。在某些機器人系統(tǒng)運動中，構件除了有軸向運動，還會有繞軸轉動。Zhao[13]等采用一種自感應作動器對安裝有轉動關節(jié)的軸向運動機器臂開展了振動主動控制，有效地降低了軸向運動機械臂的振動幅值。在天然氣石油開采中，鉆井隔水系統(tǒng)普遍面臨著變長度變張力以及變速度等問題，He[14]等采用一種邊界控制策略實現(xiàn)了某鉆井隔水系統(tǒng)的振動抑制。

針對含變質量構件的軸向運動梁，本文主要開展了時變參數(shù)系統(tǒng)的動力學響應分析及振動主動控制兩個方面的工作，具體內容如下：首先推導了變質量-軸向運動壓電梁結構的運動方程，研究了該類系統(tǒng)的振動特性;然后采用LQG控制器對質量增大和質量減少兩類工況下的軸向運動結構進行了振動控制;最后探索了基于Choi-Williams分布函數(shù)的時頻分析技術在時變參數(shù)系統(tǒng)振動控制中的應用。

2 動力學特性分析

仿真中梁結構的結構阻尼比值分別取1%和0.05%。當梁長度不變時，系統(tǒng)簡化為含末端變質量的懸臂梁結構，梁末端的位移響應曲線如圖3所示。梁結構初始長度1.8 m，m（t）從0增大到2 kg，或者從2 kg減少到0。雖然梁長度不改變，但是從圖3中仍可以看出，末端質量減小時，振動頻率增大，同時位移幅值逐漸增大;而質量增大時，振動頻率降低，同時位移幅值逐漸減小。這是由于質量變化引起的一個非結構阻尼項，該非結構阻尼項與系統(tǒng)的質量變化率成正比，當<0時，質量變化引起一個非結構負阻尼，使得系統(tǒng)的振幅增大;反之，>0時，系統(tǒng)質量增大相當于引起一個正阻尼，使得系統(tǒng)振幅加速衰減。

當末端質量不變時，系統(tǒng)簡化為含集中質量的軸向運動梁。梁長度的改變會同時引起系統(tǒng)剛度和質量的變化，軸向運動梁末端的響應如圖4所示，伸長時系統(tǒng)的頻率降低，同時振幅增大，隨軸向移動速度增加，從0.05 m/s到0.15 m/s再到0.25 m/s，梁的橫向振動位移幅值增大的更快，而縮短時隨軸向移動速度增加，梁的橫向振動位移幅值衰減加速。

當既有質量變化，又有軸向運動時，一方面需要考慮軸向運動對系統(tǒng)的影響;另一方面也要考慮質量變化對系統(tǒng)的影響，系統(tǒng)的運動規(guī)律更加復雜。含變質量構件的軸向縮短梁的末端位移響應如圖5（a）所示，末端質量增大引起的非結構正阻尼使梁的橫向振動幅值衰減更加迅速;末端質量減小時，附加負阻尼會減慢振動的衰減。伸長時梁末端的響應如圖5（b）所示，減小末端質量，附加負阻尼使梁的橫向振動幅值增加更加明顯;末端質量增大時，質量變化引起的附加正阻尼會削弱軸向伸長引起的振幅增大。含變質量參數(shù)的軸向運動梁的運動規(guī)律如表3所示，只有當v>0，<0和v<0，>0時，才能直接判斷系統(tǒng)幅值的改變規(guī)律，但是與之相關的頻率信息又無法直接確定，這些因素都增加了振動控制的困難度和復雜性。

3 LQG控制器

對于含變質量的軸向運動結構，系統(tǒng)內質量參數(shù)、剛度參數(shù)和阻尼參數(shù)都隨時間變化，傳統(tǒng)的控制方法如PID反饋控制，難以保證時變參數(shù)系統(tǒng)全局控制的穩(wěn)定性[16]，LQG控制法是一種穩(wěn)定而且適用性廣的控制策略，通過選擇評價指標的加權系數(shù)，實現(xiàn)最優(yōu)控制，控制流程圖如圖6所示。

4 振動控制

在薄壁結構的振動中，主要以低階模態(tài)為主，因此主動控制的中心思想是盡可能消耗低階振動能量。針對變質量-軸向運動梁的自由振動，給定結構一個初始位移，與梁的一階模態(tài)接近，釋放位移約束后，結構開始振動，然后通過LQG控制器，調控壓電片實現(xiàn)梁的振動抑制。

首先考慮梁伸長（v=0.1 m/s）的情況，質量增大和質量減少兩種工況下系統(tǒng)的位移響應如圖7所示。對比控制前后的位移響應，可以明顯看出施加LQG控制后，結構的振動幅值迅速衰減，說明了LQG策略對時變參數(shù)系統(tǒng)控制的有效性。而且從圖7（b）中可以發(fā)現(xiàn)，位移幅值隨時間逐漸增大，這說明系統(tǒng)質量減小引起的非結構負阻尼作用十分顯著，因此在結構動力學分析中，質量變化引起的非結構阻尼效應不可忽略，尤其是質量減少的系統(tǒng)。

類似的，梁縮短（v=-0.1 m/s），末端質量變化時系統(tǒng)的位移響應如圖8所示，運動過程中梁的長度從1.8 m縮短到0.8 m。從圖中可以發(fā)現(xiàn)施加控制后，結構的振動得到有效的抑制。對比圖8（a）和（b）中未控制時系統(tǒng)的響應曲線，也表明系統(tǒng)質量變化引起的非結構阻尼作用會很大程度上影響系統(tǒng)的振動特性。

5 時頻響應分析

在變質量系統(tǒng)的振動信號處理中，使用Fourier變換雖然可以得到系統(tǒng)的頻域特征，但是無法得到系統(tǒng)共振頻率和振動能量的時變特性[17-18]。為了更全面地分析時變參數(shù)系統(tǒng)的非穩(wěn)態(tài)響應信號，科研工作者運用了多種時頻分布函數(shù)，如Wigner-Ville分布，短時傅里葉變換（STFT），Choi-Williams分布（Choi Williams Distribution，簡稱CWD）等[17]，這些分布函數(shù)被廣泛應用于機械設計、振動監(jiān)測和故障診斷等領域。相比較Wigner-Ville分布等技術，Choi-Williams分布函數(shù)采用固定核函數(shù)濾波，具有良好的信號分辨率和時頻聚集性，可以有效抑制多個頻率信號分量共存時的交叉項干擾，使能量在時頻域上的分布更加密集，因此本文采用Choi-Williams分布函數(shù)來分析處理控制前后的非平穩(wěn)響應信號。

對圖7（a）中的位移響應曲線做CWD，得到了圖9中顯示的控制前后系統(tǒng)位移曲線的時頻響應譜。梁結構從1.8 m伸長至2.8 m， 同時系統(tǒng)的質量從0增加到2 kg，從圖9中可以看出系統(tǒng)的振動頻率從2.37 Hz降低到0.75 Hz，同時可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的振動能量隨時間迅速減少，也就是說施加控制后，系統(tǒng)的振動得到了有效控制。對于質量減少的情況，時頻響應譜圖如圖10所示：系統(tǒng)的振動頻率從1.65 Hz降低到0.98 Hz，從圖10（a）可以看出，系統(tǒng)的振動能量隨時間增加，這是非結構負阻尼起了重要的作用。

同樣的，對圖8中的位移響應做CWD，可以得到圖11和12中顯示的梁縮短時，質量增大工況和質量減少工況時的時頻響應譜。梁結構從1.8 m縮短至0.8 m，系統(tǒng)質量從0增加到2 kg時，從圖11，12中可以看出系統(tǒng)振動頻率從2.37 Hz增大到6.42 Hz;而當系統(tǒng)質量從2 kg減少到0時，系統(tǒng)的振動頻率從1.6 Hz增大到12 Hz。對比圖11和12，施加控制后，振動能量迅速減小，說明通過LQG控制器對時變參數(shù)系統(tǒng)開展振動控制是可行的。

綜上所述，借助時頻分析技術，可以得到系統(tǒng)振動頻率隨時間的變化規(guī)律和系統(tǒng)振動能量的變化譜圖，這是傳統(tǒng)FFT 變換無法得到的。對于質量時變系統(tǒng)，系統(tǒng)沒有固定振動頻率，而是以時變振動頻率形式存在，但是系統(tǒng)振動頻率的范圍可以通過系統(tǒng)質量的變化范圍確定， 這也是時變系統(tǒng)與時不變系統(tǒng)差別最大的地方。在某些工作環(huán)境中，系統(tǒng)所受外激勵力的作用頻率可能恰好在系統(tǒng)的振動頻率變化范圍內，這時候需要在限定的頻率范圍內開展主動控制，而通過時頻分析技術，可以得到頻率與時間的對應關系，為時變參數(shù)系統(tǒng)的振動控制提供參考。

6 結 論

通過對變質量-軸向運動梁的振動特性分析和主動控制研究，得到以下結論：

1） 質量變化使系統(tǒng)振動頻率變化的同時，會引起一個非結構阻尼，該非結構阻尼正比于系統(tǒng)的質量變化率。質量增加，質量變化率大于零，非結構阻尼為正阻尼;系統(tǒng)質量減少，質量變化率小于零，非結構阻尼為負阻尼，負阻尼可能引起系統(tǒng)振動幅值的增大和系統(tǒng)振動的不穩(wěn)定。

2） 使用LQG控制器對變質量-梁組合結構的自由振動系統(tǒng)的振動控制效果顯著，在時變的頻率范圍內，結構的振動都得到了有效的抑制。

3） 通過響應信號的時頻分析，可以得到系統(tǒng)的振動頻率隨時間的變化規(guī)律和振動能量的時頻響應譜。根據時頻分析，便于在指定時間指定頻率對系統(tǒng)的振動進行抑制。

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Abstract： Axially moving structures are widely used as basic components in kinds of delivery systems. It is very common that mass changing or mass moving occurs in the process of delivery， which causes the increase or decrease of the total mass. The coupling of variation of the mass and the axially moving makes more significant vibration of the structures. This paper studies the active vibration control of the axially moving structures with time varying mass by taking an axially moving manipulator attached with a time varying concentrated mass as a specific subject. The governing equations of the time varying system are derived using Galerkin method and mode superposition method. Then LQG controller is designed for controlling the vibration of the system with different conditions taken into account， including the increasing mass system and the decreasing mass system. Finally， the response signals are decomposed by the method of Choi Williams distribution， and the time frequency features are obtained. Numerical simulations demonstrate that the vibration of the system is effectively controlled under the LQG controller in the limited range of frequencies， and the variation of the frequency and vibration energy can be given by Choi Williams distribution， showing that it is a much more powerful tool than FFT. The study on the dynamic characteristics and active control of the axially moving structures with time varying mass can offer guides to innovative design of smart manipulators.

Key words： active vibration control; axially moving beam; variable mass; LQG